三角関数の微分は、数学IIIの微分法の中でも最も重要なテーマの一つです。$\sin x$ を微分すると $\cos x$ になるという結果は有名ですが、その理由を原理から理解することが大切です。本記事では、極限 $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ を出発点として、三角関数の導関数を定義から導出し、合成関数の微分法と組み合わせた応用まで扱います。
三角関数の導関数を求めるためには、1つの重要な極限値が必要です。それが次の公式です。
$$\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$$
※ この極限は、$h$ がラジアンで表されていることが前提です。弧度法を使う理由はまさにこの極限がきれいに 1 になるからです。
この極限は数学IIIの極限の単元で学びました。直感的には、$h$ が十分小さいとき弧の長さ $h$ と弦の長さ $\sin h$ がほぼ等しくなることを意味しています。
もう一つ、導出の途中で必要になる極限があります。
$$\lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0$$
※ $\frac{\cos h - 1}{h} = \frac{(\cos h - 1)(\cos h + 1)}{h(\cos h + 1)} = \frac{-\sin^2 h}{h(\cos h + 1)} = -\frac{\sin h}{h} \cdot \frac{\sin h}{\cos h + 1} \to -1 \cdot \frac{0}{2} = 0$
$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ は、角度をラジアン（弧度法）で測っているからこそ成り立ちます。もし度数法（$h$ を度で表す）で計算すると、$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin h^\circ}{h} = \frac{\pi}{180}$ となり、微分公式に $\frac{\pi}{180}$ という係数がまとわりつきます。
三角関数の微分では必ず弧度法を使います。これが数学IIIで弧度法を標準とする最大の理由です。
✗ 誤：$29°30'$ のような度数法の角度にそのまま微分公式を適用する
○ 正：三角関数の微分を考えるときは、必ず角度を弧度法（ラジアン）に変換してから計算する
いよいよ $\sin x$ の導関数を求めます。微分の定義に立ち返って計算しましょう。
微分の定義より：
$$(\sin x)' = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h}$$
加法定理 $\sin(x + h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h$ を用いると：
$$= \lim_{h \to 0}\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0}\frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0}\left(\sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}\right)$$
ここで $\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} = 0$、$\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$ より：
$$(\sin x)' = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$$
別の方法として、和から積への変換公式を使う証明もあります。
和から積への公式 $\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ を用いると：
$$(\sin x)' = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{2\cos\left(x + \frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0}\cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} = \cos x \cdot 1 = \cos x$$
$\sin x$ の微分が $\cos x$ になる理由の核心は、加法定理にあります。$\sin(x + h)$ を $\sin x$ と $\cos x$ に分解できるからこそ、$h \to 0$ の極限で $\cos x$ が現れるのです。
三角関数の微分は「加法定理 + 極限 $\frac{\sin h}{h} \to 1$」の2つの道具だけで導けるということを覚えておきましょう。
$(\sin x)' = \cos x$ を定義から導く問題は、大阪大学（2013年）や大阪教育大学（2016年）で出題されています。加法定理による式変形を正確に書く練習をしておきましょう。
$\cos x$ の導関数は、$(\sin x)' = \cos x$ と合成関数の微分法を組み合わせて導くのが最もスマートです。
$\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ と書けるので、合成関数の微分法より：
$$(\cos x)' = \left\{\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right\}' = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \cdot (-1) = -\sin x$$
（直接定義から導く方法もありますが、$\sin x$ の場合と全く同様の式変形になります。）
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ですから、商の微分法を使います。
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ の両辺を微分します。商の微分法 $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ より：
$$(\tan x)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos^2 x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x}$$
$$= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$$
最後の変形で、三角関数の基本公式 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ を使いました。
$$(\sin x)' = \cos x$$
$$(\cos x)' = -\sin x$$
$$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$$
※ $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ とも書きます。また、$\frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ という変形も頻出です。
✗ 誤：$(\cos x)' = \sin x$（符号を忘れる）
○ 正：$(\cos x)' = -\sin x$（マイナスが付く）
覚え方：$\cos x$ のグラフを思い浮かべましょう。$x = 0$ で $\cos 0 = 1$（最大値）ですから、そこでは減少中です。よって $x = 0$ での微分係数は負のはず。$-\sin 0 = 0$ で増減が切り替わる点なので、$x = 0$ のすぐ右では確かに減少しています。
✗ 誤：$(\tan x)' = \frac{1}{\cos x}$ や $(\tan x)' = \frac{1}{\sin^2 x}$
○ 正：$(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$（分母は $\cos^2 x$）
商の微分法の計算を省略せず丁寧に行えば、分子が $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ になることを確認できます。
$\sin x$ を繰り返し微分すると、$\cos x \to -\sin x \to -\cos x \to \sin x \to \cdots$ と 4 回で元に戻ります。これは $\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$（オイラーの公式）から見ると、$e^{ix}$ を微分するたびに $i$ が掛かり、$i^4 = 1$ で一巡することに対応しています。
三角関数の微分は、ほとんどの場合合成関数の微分法（チェーンルール）と組み合わせて使います。前回学んだチェーンルールを思い出しましょう。
$u = g(x)$ とおくと：
$$\{\sin g(x)\}' = \cos g(x) \cdot g'(x)$$
$$\{\cos g(x)\}' = -\sin g(x) \cdot g'(x)$$
$$\{\tan g(x)\}' = \frac{g'(x)}{\cos^2 g(x)}$$
※ 「外側を微分して、内側の微分を掛ける」というチェーンルールの原則通りです。
特に頻出のパターンとして、$\sin(ax + b)$ の形を確認しておきましょう。
$\{\sin(ax + b)\}' = \cos(ax + b) \cdot a = a\cos(ax + b)$
$\{\cos(ax + b)\}' = -\sin(ax + b) \cdot a = -a\sin(ax + b)$
$\{\tan(ax + b)\}' = \frac{a}{\cos^2(ax + b)}$
三角関数の微分で覚えるべき基本公式は $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ の3つだけです。
あとは、チェーンルールや積・商の微分法と組み合わせることで、あらゆる三角関数の微分に対応できます。公式を増やすのではなく、基本公式の使い方を習熟することが重要です。
例1. $y = \sin 3x$ のとき、$y' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$
例2. $y = \cos(2x + 3)$ のとき、$y' = -\sin(2x+3) \cdot 2 = -2\sin(2x+3)$
例3. $y = \tan(2x + 3)$ のとき、$y' = \frac{2}{\cos^2(2x+3)}$
例4. $y = \sin^2 x$ のとき、$u = \sin x$ として $y = u^2$ と見ます。
$y' = 2u \cdot u' = 2\sin x \cdot \cos x = \sin 2x$
例5. $y = \sin x \cos x$ のとき、積の微分法より：
$y' = (\sin x)'\cos x + \sin x(\cos x)' = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$
✗ 誤：$(\sin 3x)' = \cos 3x$（内側の $3x$ の微分 $3$ を忘れている）
○ 正：$(\sin 3x)' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$
検算のコツ：$x = 0$ を代入して確認しましょう。$\sin 3x$ は $x = 0$ 付近で $3x$ とほぼ等しいので、傾きは $3$ のはず。$3\cos 0 = 3$ で確かに一致します。
入試では、三角関数の微分に積・商の微分法やチェーンルールを複合的に組み合わせた問題が出題されます。主なパターンを整理しておきましょう。
| パターン | 関数の例 | 使う手法 |
|---|---|---|
| 合成関数 | $\sin(ax+b)$, $\cos^n x$ | チェーンルール |
| 積の形 | $x\sin x$, $e^x\cos x$ | 積の微分法 |
| 商の形 | $\frac{\sin x}{x}$, $\frac{1}{1+\cos x}$ | 商の微分法 |
| 三角関数の累乗 | $\sin^3 x$, $\tan^2 x$ | チェーンルール |
| 三角関数の合成 | $\sin(\cos x)$ | チェーンルール（二重） |
$y = \tan^2 x$ を微分してみましょう。$u = \tan x$ として $y = u^2$ と見ます。
$$y' = 2\tan x \cdot (\tan x)' = 2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} = \frac{2\tan x}{\cos^2 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}$$
積の微分法を使います。
$$y' = (x^2)'\sin x + x^2(\sin x)' = 2x\sin x + x^2\cos x$$
商の微分法を使います。
$$y' = \frac{\cos x(1+\cos x) - \sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2} = \frac{1 + \cos x}{(1+\cos x)^2} = \frac{1}{1+\cos x}$$
三角関数の微分では、導関数がさまざまな形で表されることがあります。
✗ 焦り：答えの形が模範解答と違うから間違いだと思ってしまう
○ 正：三角関数の公式（倍角、半角、相互関係など）を使えば、同じ関数を複数の形で表せます。$2\sin x\cos x = \sin 2x$ や $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ などの変形で一致を確認しましょう。
大学数学では、$\sin^{-1} x$（アークサイン）の導関数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ や $\tan^{-1} x$（アークタンジェント）の導関数 $\frac{1}{1+x^2}$ なども扱います。これらは積分の置換公式とも深く関わっています。
Q1. $(\sin x)'$ を定義から導くとき、出発点となる極限値は何か。
Q2. $y = \sin(5x - 1)$ を微分せよ。
Q3. $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$ を商の微分法で導く際、分子に現れる三角関数の基本公式は何か。
Q4. $y = \cos^3 x$ を微分せよ。
Q5. $y = x\cos x$ を微分せよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = \sin(3x + 2)$
(2) $y = \cos^2(2x)$
(3) $y = \tan(x^2)$
(1) $y' = \cos(3x+2) \cdot 3 = 3\cos(3x+2)$
(2) $u = \cos 2x$ として $y = u^2$ と見る。
$y' = 2\cos 2x \cdot (-\sin 2x) \cdot 2 = -4\sin 2x \cos 2x = -2\sin 4x$
(3) $y' = \frac{1}{\cos^2(x^2)} \cdot 2x = \frac{2x}{\cos^2(x^2)}$
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x^2 \sin x$
(2) $y = e^x \cos 3x$
(1) 積の微分法より：
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x = x(2\sin x + x\cos x)$
(2) 積の微分法とチェーンルールより：
$y' = e^x \cos 3x + e^x(-\sin 3x) \cdot 3 = e^x(\cos 3x - 3\sin 3x)$
(2) のように $e^x$ と三角関数の積は頻出パターンです。$e^x$ の微分は $e^x$ のままで、三角関数の部分だけチェーンルールが必要です。
微分の定義を用いて $(\sin x)' = \cos x$ を証明せよ。
$\displaystyle (\sin x)' = \lim_{h \to 0}\frac{\sin(x+h) - \sin x}{h}$
加法定理より $\sin(x+h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h$ なので：
$\displaystyle = \lim_{h \to 0}\frac{\sin x(\cos h - 1) + \cos x\sin h}{h}$
$\displaystyle = \sin x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h}$
$= \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$ $\square$
$f(x) = \sin x + \frac{1}{2}\sin 2x$ とする。$0 \leq x \leq 2\pi$ における $f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。
$f'(x) = \cos x + \cos 2x$
倍角の公式 $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ を用いると：
$f'(x) = 2\cos^2 x + \cos x - 1 = (2\cos x - 1)(\cos x + 1)$
$f'(x) = 0$ とすると $\cos x = \frac{1}{2}$ または $\cos x = -1$
$0 \leq x \leq 2\pi$ の範囲で $x = \frac{\pi}{3}, \pi, \frac{5\pi}{3}$
$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$
$f(\pi) = 0 + 0 = 0$
$f\left(\frac{5\pi}{3}\right) = \sin\frac{5\pi}{3} + \frac{1}{2}\sin\frac{10\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = -\frac{3\sqrt{3}}{4}$
$f(0) = 0$, $f(2\pi) = 0$
よって、最大値は $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$（$x = \dfrac{\pi}{3}$）、最小値は $-\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$（$x = \dfrac{5\pi}{3}$）
$f'(x)$ を因数分解する際に倍角の公式を活用して $\cos x$ の2次式に帰着させるのがポイントです。三角関数の微分と三角関数の公式の両方が要求される典型的な発展問題です。