合成関数の微分法（連鎖律）は、微分法において最も重要な公式の一つです。三角関数、指数関数、対数関数など、あらゆる関数の微分の土台となります。本記事では合成関数の微分法の公式と証明のアイデアを理解し、多層的な合成関数への適用方法を身につけます。
合成関数 $y = f(g(x))$ とは、$g(x)$ の値を $f$ に代入して得られる関数です。例えば $y = (2x+1)^5$ は、$u = 2x+1$、$y = u^5$ の合成関数として理解できます。
関数 $y = f(u)$ と $u = g(x)$ について、$x$ に $g(x)$ を対応させ、さらに $f$ を適用して $y$ を得る関数
$$y = f(g(x)) = (f \circ g)(x)$$
を $f$ と $g$ の合成関数という。
$y = (2x+1)^5$ を微分するには、展開して各項を微分するという方法もありますが、計算が大変です。合成関数の微分法を使えば、展開せずに効率的に微分できます。
問題：$y = (3x + 2)^4$ を微分せよ。
展開による方法（非効率）：展開すると $y = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16$ となり、
$y' = 324x^3 + 648x^2 + 432x + 96 = 12(27x^3 + 54x^2 + 36x + 8) = 12(3x+2)^3$
合成関数の微分法による方法（効率的）：$u = 3x + 2$ とおくと $y = u^4$ であるから
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = 4u^3 \cdot 3 = 12(3x+2)^3$
同じ結果が、はるかに少ない計算で得られる。
合成関数 $y = f(g(x))$ において、$g(x)$ を内側の関数、$f(u)$ を外側の関数と呼ぶことがあります。
例えば $y = (2x+1)^5$ では、内側が $u = 2x+1$、外側が $y = u^5$ です。
合成関数の微分は「外側を微分して、内側の微分を掛ける」と覚えると便利です。
関数 $y = f(u)$, $u = g(x)$ がともに微分可能ならば、合成関数 $y = f(g(x))$ も微分可能であり：
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$
すなわち
$$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
※ ライプニッツの記法では、あたかも $du$ が「約分」されるかのように見える。これが連鎖律の直感的な理解の助けになる。
(1) べき関数との合成：
$$\{g(x)\}^n \text{ の導関数} = n\{g(x)\}^{n-1} \cdot g'(x) \quad (n \text{ は整数})$$
(2) 1次式との合成：
$$\{f(ax + b)\}' = a \cdot f'(ax + b) \quad (a, b \text{ は定数})$$
問題：次の関数を微分せよ。
(1) $y = (3x^2 - 1)^4$
(2) $y = (x^3 + 2x)^3$
(3) $y = \dfrac{1}{(2x + 1)^3}$
解：
(1) $u = 3x^2 - 1$ とおくと $y = u^4$
$y' = 4u^3 \cdot (3x^2 - 1)' = 4(3x^2 - 1)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 - 1)^3$
(2) $u = x^3 + 2x$ とおくと $y = u^3$
$y' = 3u^2 \cdot (x^3 + 2x)' = 3(x^3 + 2x)^2 (3x^2 + 2)$
(3) $y = (2x+1)^{-3}$ と書き直す。$u = 2x + 1$ とおくと $y = u^{-3}$
$y' = -3u^{-4} \cdot (2x+1)' = -3(2x+1)^{-4} \cdot 2 = -\dfrac{6}{(2x+1)^4}$
✗ $\{(3x+1)^5\}' = 5(3x+1)^4$ と内側の微分を忘れる
✓ $\{(3x+1)^5\}' = 5(3x+1)^4 \cdot (3x+1)' = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$
外側を微分した後、必ず内側の導関数を掛けることを忘れてはいけません。
連鎖律の証明の基本的なアイデアを理解しましょう。
$y = f(u)$, $u = g(x)$ とし、$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分を $\Delta u$、$y$ の増分を $\Delta y$ とする。
$\Delta u \neq 0$ のとき：
$$\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}$$
$g(x)$ は微分可能であるから連続なので、$\Delta x \to 0$ のとき $\Delta u \to 0$。
よって
$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}$$
$\Delta x \to 0$ のとき $\Delta u \to 0$ であるから
$$= \lim_{\Delta u \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \quad \square$$
上の証明では $\Delta u \neq 0$ を仮定して $\dfrac{\Delta y}{\Delta u}$ を考えました。しかし、$\Delta x \neq 0$ であっても $\Delta u = 0$ となる場合がありえます。
厳密な証明では、$\Delta u = 0$ のときも成り立つように工夫が必要です。具体的には $\varepsilon$-$\delta$ 論法を用いた方法がありますが、高校数学の範囲では上記のアイデアを理解しておけば十分です。
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ は、形式的に「分数の掛け算で $du$ が約分される」ように見えます。
これは厳密な証明ではありませんが、連鎖律の公式を覚え、正しく適用するための強力な直感的理解です。
さらに3層の合成の場合にも、$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx}$ と自然に拡張できます。
連鎖律は、3層以上の合成関数にも繰り返し適用できます。
$y = f(u)$, $u = g(v)$, $v = h(x)$ がすべて微分可能であるとき
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$$
すなわち
$$\{f(g(h(x)))\}' = f'(g(h(x))) \cdot g'(h(x)) \cdot h'(x)$$
※ 最も外側から順に微分し、内側の導関数を次々に掛けていく。
問題：$y = (x^2 + 3x)^5$ を微分せよ。
解：$u = x^2 + 3x$ とおくと $y = u^5$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} = 5u^4 \cdot (2x + 3) = 5(x^2 + 3x)^4(2x + 3)$
問題：$y = \{(2x+1)^3 + 5\}^4$ を微分せよ。
解：$v = 2x+1$、$u = v^3 + 5$、$y = u^4$ とおく。
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dv} \cdot \dfrac{dv}{dx} = 4u^3 \cdot 3v^2 \cdot 2$
元の変数に戻すと
$= 4\{(2x+1)^3 + 5\}^3 \cdot 3(2x+1)^2 \cdot 2$
$= 24(2x+1)^2 \{(2x+1)^3 + 5\}^3$
問題：$y = x^2(3x - 1)^4$ を微分せよ。
解：積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせる。
$y' = (x^2)'(3x-1)^4 + x^2\{(3x-1)^4\}'$
$= 2x(3x-1)^4 + x^2 \cdot 4(3x-1)^3 \cdot 3$
$= 2x(3x-1)^4 + 12x^2(3x-1)^3$
$= 2x(3x-1)^3\{(3x-1) + 6x\}$
$= 2x(3x-1)^3(9x-1)$
✗ $y = \{(x+1)^2 + 3\}^5$ を微分するとき、最内層 $(x+1)$ の微分を忘れて $y' = 5\{(x+1)^2+3\}^4 \cdot 2(x+1)$ とする
✓ $(x+1)' = 1$ であるため結果的に上は正しいが、一般に最内層の微分も明示的に書くべき
例えば $(2x+1)$ が最内層なら $(2x+1)' = 2$ を掛ける必要があります。層を1つずつ外して微分する習慣をつけましょう。
Step 1. 関数の構造を分析し、「外側」「内側」の関数を見分ける
Step 2. 最も外側の関数から微分を始める
Step 3. 内側の関数の導関数を掛ける
Step 4. 内側がさらに合成関数であれば、同じ手順を繰り返す
Step 5. すべて元の変数 $x$ に戻して整理する
合成関数の微分法は、べき関数の指数が有理数の場合にも拡張でき、さまざまな導関数の公式の導出に活用されます。
$r = \dfrac{p}{q}$（$p, q$ は整数、$q \geq 1$）のとき、$y = x^{p/q}$ とおく。
$y^q = x^p$ の両辺を $x$ で微分する（合成関数の微分法を用いて）と
$$qy^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx} = px^{p-1}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{px^{p-1}}{qy^{q-1}} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{(x^{p/q})^{q-1}} = \frac{p}{q} \cdot x^{p-1 - p(q-1)/q} = \frac{p}{q} \cdot x^{p/q - 1} = rx^{r-1}$$
問題：次の関数を微分せよ。
(1) $y = \sqrt{x^2 + 1}$
(2) $y = \dfrac{1}{\sqrt{3x - 2}}$
解：
(1) $y = (x^2 + 1)^{1/2}$ であるから
$y' = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$
(2) $y = (3x - 2)^{-1/2}$ であるから
$y' = -\dfrac{1}{2}(3x - 2)^{-3/2} \cdot 3 = -\dfrac{3}{2(3x - 2)^{3/2}} = -\dfrac{3}{2\sqrt{(3x-2)^3}}$
問題：$y = \dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^2}$ を微分せよ。
解：商の微分法と合成関数の微分法を組み合わせる。
$y' = \dfrac{3(x+1)^2 \cdot (x-1)^2 - (x+1)^3 \cdot 2(x-1)}{(x-1)^4}$
分子を $(x+1)^2(x-1)$ でくくる：
$= \dfrac{(x+1)^2(x-1)\{3(x-1) - 2(x+1)\}}{(x-1)^4}$
$= \dfrac{(x+1)^2(3x - 3 - 2x - 2)}{(x-1)^3} = \dfrac{(x+1)^2(x - 5)}{(x-1)^3}$
| 関数の形 | 微分の結果 |
|---|---|
| $\{g(x)\}^n$ | $n\{g(x)\}^{n-1} \cdot g'(x)$ |
| $\sqrt{g(x)}$ | $\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ |
| $\dfrac{1}{g(x)}$ | $-\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ |
| $\dfrac{1}{\{g(x)\}^n}$ | $-\dfrac{ng'(x)}{\{g(x)\}^{n+1}}$ |
| $f(ax+b)$ | $af'(ax+b)$ |
合成関数の微分法は、今後学ぶ三角関数・指数関数・対数関数の微分の基礎となります。
例えば $(\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$ や $\{e^{3x}\}' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$ などは、すべて連鎖律の適用です。
この段階で連鎖律を完全に使いこなせるようにしておくことが、微分法全体の習得の鍵です。
Q1. 合成関数の微分法（連鎖律）の公式を、ライプニッツの記法で書け。
Q2. $y = (5x + 3)^6$ を微分せよ。
Q3. $y = (x^2 - 4)^3$ を微分せよ。
Q4. 合成関数の微分で最もよくあるミスは何か。
Q5. $y = \sqrt{2x + 5}$ を微分せよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = (4x^2 - 3x + 1)^5$
(2) $y = \dfrac{1}{(x^2 + 2)^3}$
(1) $u = 4x^2 - 3x + 1$ とおくと $y = u^5$
$y' = 5u^4 \cdot (8x - 3) = 5(4x^2 - 3x + 1)^4(8x - 3)$
(2) $y = (x^2 + 2)^{-3}$ であるから
$y' = -3(x^2 + 2)^{-4} \cdot 2x = -\dfrac{6x}{(x^2 + 2)^4}$
$y = (x - 1)^3(2x + 1)^4$ を微分し、整理せよ。
積の微分法と合成関数の微分法を組み合わせる。
$y' = 3(x-1)^2(2x+1)^4 + (x-1)^3 \cdot 4(2x+1)^3 \cdot 2$
$= 3(x-1)^2(2x+1)^4 + 8(x-1)^3(2x+1)^3$
共通因数 $(x-1)^2(2x+1)^3$ でまとめる：
$= (x-1)^2(2x+1)^3\{3(2x+1) + 8(x-1)\}$
$= (x-1)^2(2x+1)^3(6x + 3 + 8x - 8)$
$= (x-1)^2(2x+1)^3(14x - 5)$
次の関数を微分せよ。
(1) $y = \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^3$
(2) $y = \sqrt{(x^2 + 1)^3}$
(1) $u = \dfrac{x+1}{x-1}$ とおくと $y = u^3$
$u' = \dfrac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{-2}{(x-1)^2}$
$y' = 3u^2 \cdot u' = 3\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^2 \cdot \dfrac{-2}{(x-1)^2} = \dfrac{-6(x+1)^2}{(x-1)^4}$
(2) $y = (x^2+1)^{3/2}$ であるから
$y' = \dfrac{3}{2}(x^2+1)^{1/2} \cdot 2x = 3x\sqrt{x^2+1}$
$y = x^{p/q}$（$x > 0$, $p, q$ は整数, $q \geq 1$）とおく。$y^q = x^p$ の両辺を $x$ で微分することにより、$(x^{p/q})' = \dfrac{p}{q}x^{p/q - 1}$ を証明せよ。
$y = x^{p/q}$ より $y^q = x^p$ ……(*)。
(*) の両辺を $x$ で微分する。左辺について、$y^q$ を $y$ の関数と見て合成関数の微分法を適用すると
$$\frac{d}{dx}(y^q) = qy^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx}$$
右辺は $(x^p)' = px^{p-1}$。よって
$$qy^{q-1} \cdot \frac{dy}{dx} = px^{p-1}$$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{px^{p-1}}{qy^{q-1}}$$
$y = x^{p/q}$ であるから $y^{q-1} = x^{p(q-1)/q}$。これを代入すると
$$\frac{dy}{dx} = \frac{p}{q} \cdot \frac{x^{p-1}}{x^{p(q-1)/q}} = \frac{p}{q} \cdot x^{p-1-p+p/q} = \frac{p}{q} \cdot x^{p/q - 1}$$
よって $(x^{p/q})' = \dfrac{p}{q} x^{p/q - 1}$ が示された。$\square$
$y^q = x^p$ のように陰的な関係式の両辺を微分する手法は「陰関数の微分法」の考え方に通じる。左辺の $y^q$ を $x$ で微分する際に、$y$ が $x$ の関数であることを踏まえて合成関数の微分法を適用する点が核心である。この証明により、$(x^n)' = nx^{n-1}$ の公式が有理数 $n$ にまで拡張される。