2つの関数の積や商の導関数を求める公式は、微分法において最も基本的な計算道具です。本記事では積の微分法と商の微分法の公式を導関数の定義から厳密に証明し、計算の実際と応用を学びます。3つの関数の積の微分公式にも触れ、複雑な関数の微分に備えます。
2つの微分可能な関数 $f(x)$, $g(x)$ の積 $f(x)g(x)$ の導関数は、そのまま積を微分するのではなく、特別な公式に従います。
$f(x)$, $g(x)$ が微分可能であるとき
$$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
※ 「前を微分 × 後ろそのまま ＋ 前そのまま × 後ろを微分」と覚える。
面積 $S = f(x) \cdot g(x)$ の変化を考えると直感的に理解できます。$x$ が微小量 $\Delta x$ だけ変化したとき、
$$\Delta S \approx f'(x)\Delta x \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\Delta x$$
これは長方形の面積が「横の変化分 × 縦」＋「横 × 縦の変化分」で近似されることに対応します。$\Delta x$ で割ると積の微分公式が得られます。
問題：次の関数を微分せよ。
(1) $y = (x^2 - 2)(3x^2 - 2x + 1)$
(2) $y = (2x + 1)^2(x - 3)$
解：
(1) $y' = (x^2 - 2)'(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 2)(3x^2 - 2x + 1)'$
$= 2x(3x^2 - 2x + 1) + (x^2 - 2)(6x - 2)$
$= 6x^3 - 4x^2 + 2x + 6x^3 - 2x^2 - 12x + 4$
$= 12x^3 - 6x^2 - 10x + 4$
(2) $y' = \{(2x+1)^2\}'(x-3) + (2x+1)^2(x-3)'$
$= 2(2x+1) \cdot 2 \cdot (x-3) + (2x+1)^2 \cdot 1$
$= 4(2x+1)(x-3) + (2x+1)^2 = (2x+1)\{4(x-3) + (2x+1)\}$
$= (2x+1)(6x - 11)$
$y = (x^2 - 2)(x + 1)$ のように簡単な積の場合は、展開してから微分する方が計算量が少ないこともあります。
$y = x^3 + x^2 - 2x - 2$ とすれば $y' = 3x^2 + 2x - 2$ と直接求められます。問題に応じて使い分けましょう。
関数の商 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の導関数も重要な公式があります。
$f(x)$, $g(x)$ が微分可能で $g(x) \neq 0$ のとき
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
特に $f(x) = 1$ のとき：
$$\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
✗ $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g + fg'}{g^2}$ とプラスにしてしまう
✓ 分子は「分子の微分 × 分母 マイナス 分子 × 分母の微分」= $f'g - fg'$
積の微分では「＋」、商の微分では「−」であることを明確に区別しましょう。
問題：次の関数を微分せよ。
(1) $y = \dfrac{2x - 3}{x^2 - x + 1}$
(2) $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$
解：
(1) $y' = \dfrac{(2x-3)'(x^2-x+1) - (2x-3)(x^2-x+1)'}{(x^2-x+1)^2}$
$= \dfrac{2(x^2-x+1) - (2x-3)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \dfrac{2x^2 - 2x + 2 - (4x^2 - 8x + 3)}{(x^2-x+1)^2}$
$= \dfrac{-2x^2 + 6x - 1}{(x^2 - x + 1)^2}$
(2) $y' = \dfrac{2x(x^2 - 1) - (x^2 + 1) \cdot 2x}{(x^2 - 1)^2} = \dfrac{2x(x^2 - 1 - x^2 - 1)}{(x^2 - 1)^2} = \dfrac{-4x}{(x^2 - 1)^2}$
$n = -m$（$m$ は自然数）のとき、$x^n = x^{-m} = \dfrac{1}{x^m}$ であるから
$(x^{-m})' = \left(\dfrac{1}{x^m}\right)' = -\dfrac{mx^{m-1}}{(x^m)^2} = -\dfrac{mx^{m-1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n-1}$
よって $(x^n)' = nx^{n-1}$ は $n$ が負の整数のときにも成り立ちます。
積の微分法と商の微分法は、導関数の定義から厳密に証明できます。入試でも証明を求められることがあるため、しっかり理解しておきましょう。
$y = f(x)g(x)$ とし、$x$ の増分 $h$ に対する $y$ の増分 $\Delta y$ を考える。
$$\Delta y = f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$$
ここで $f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$ に $f(x)g(x+h)$ を加えて引く（巧妙な項の追加）：
$$= \{f(x+h) - f(x)\}g(x+h) + f(x)\{g(x+h) - g(x)\}$$
両辺を $h$ で割って $h \to 0$ の極限をとると：
$$y' = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot \lim_{h \to 0} g(x+h) + f(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h}$$
$g(x)$ は微分可能であるから連続なので $\displaystyle\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$。よって
$$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \quad \square$$
積の微分法の証明では、$f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$ に対して $f(x)g(x+h)$ を加えて引く操作が鍵です。
これにより $\{f(x+h) - f(x)\}$ と $\{g(x+h) - g(x)\}$ が分離され、それぞれが導関数の定義の形になります。
方法：積の微分法と $\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)' = -\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ を利用して証明する。
まず $\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'$ を定義から求める。$g(x) \neq 0$ のとき
$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x) - g(x+h)}{h \cdot g(x+h)g(x)}$$
$$= \lim_{h \to 0} \left(-\frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right) \cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)} = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
次に $\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)}$ と見て積の微分法を適用する：
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left(-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\right)$$
$$= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \quad \square$$
積の微分法や商の微分法の証明は、大学入試でも出題されています。導関数の定義に戻って計算する力と、巧妙な式変形のテクニックが問われます。
証明で使う $g(x)$ の連続性（「微分可能ならば連続」）の根拠を明記することが、答案では重要です。
積の微分法を繰り返し適用すると、3つ以上の関数の積の微分公式が得られます。
$f(x)$, $g(x)$, $h(x)$ が微分可能であるとき
$$\{f(x)g(x)h(x)\}' = f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x)$$
※ 3つの関数のうち1つだけを微分し、残り2つはそのままにしたものを足し合わせる。
$F(x) = f(x)g(x)$、$y = F(x)h(x)$ とおく。
$y' = F'(x)h(x) + F(x)h'(x)$
$= \{f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\}h(x) + f(x)g(x)h'(x)$
$= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) \quad \square$
問題：$y = x(x+1)(x+2)$ を微分せよ。
解法1（積の微分法）：
$y' = 1 \cdot (x+1)(x+2) + x \cdot 1 \cdot (x+2) + x(x+1) \cdot 1$
$= (x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1)$
$= (x^2 + 3x + 2) + (x^2 + 2x) + (x^2 + x) = 3x^2 + 6x + 2$
解法2（展開してから微分）：
$y = x(x^2 + 3x + 2) = x^3 + 3x^2 + 2x$
$y' = 3x^2 + 6x + 2$
$n$ 個の微分可能な関数 $f_1(x), f_2(x), \ldots, f_n(x)$ の積の導関数は：
$$\{f_1 f_2 \cdots f_n\}' = \sum_{k=1}^{n} f_1 \cdots f_{k-1} \cdot f_k' \cdot f_{k+1} \cdots f_n$$
つまり、各関数を1つずつ微分し、残りはそのままにしたものの和になります。
積・商の微分法を効率的に使いこなすために、さまざまなパターンの計算練習を行いましょう。
問題：$y = \dfrac{x^3}{(x-1)(x+2)}$ を微分せよ。
解：$g(x) = (x-1)(x+2) = x^2 + x - 2$ とおく。
$$y' = \frac{3x^2(x^2 + x - 2) - x^3(2x + 1)}{(x^2 + x - 2)^2}$$
分子 $= 3x^4 + 3x^3 - 6x^2 - 2x^4 - x^3 = x^4 + 2x^3 - 6x^2$
$= x^2(x^2 + 2x - 6)$
$$y' = \frac{x^2(x^2 + 2x - 6)}{(x^2 + x - 2)^2}$$
問題：$y = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ を微分せよ。
解：$\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)' = -\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ を利用する。
$g(x) = x^2 + 1$ より $g'(x) = 2x$ であるから
$$y' = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2}$$
✗ すべての場合で積・商の微分法を機械的に適用する
✓ 展開してから微分する方が楽な場合もある。計算前に方針を比較して選ぶ
分子・分母の次数が低い場合は展開の方が速く、高次の場合は公式が有利です。
| 関数の形 | 推奨される方法 |
|---|---|
| $(x+1)(x-2)$ のような低次の積 | 展開してから微分 |
| $(x^2-1)(3x^3+2x+1)$ のような高次の積 | 積の微分法 |
| $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の分数関数 | 商の微分法 |
| $(x+1)^2(x-3)$ のように共通因数が出る積 | 積の微分法 → 共通因数でまとめる |
Q1. 積の微分法の公式 $\{f(x)g(x)\}'$ を書け。
Q2. $y = \dfrac{f(x)}{g(x)}$ の導関数の分子は $f'g + fg'$ か $f'g - fg'$ か。
Q3. $y = (3x+1)(x^2 - 4)$ を微分せよ。
Q4. $\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'$ を $g(x)$, $g'(x)$ で表せ。
Q5. 積の微分法の証明で、$f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)$ を変形する際に加えて引く項は何か。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = (2x^2 + 1)(3x - 5)$
(2) $y = \dfrac{3x + 2}{x^2 + 1}$
(1) $y' = 4x(3x - 5) + (2x^2 + 1) \cdot 3 = 12x^2 - 20x + 6x^2 + 3 = 18x^2 - 20x + 3$
(2) $y' = \dfrac{3(x^2+1) - (3x+2) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 4x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-3x^2 - 4x + 3}{(x^2+1)^2}$
$f(x)$, $g(x)$ が微分可能であるとき、$\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ を証明せよ。
$\{f(x)g(x)\}' = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$
$= \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x+h) + f(x)g(x+h) - f(x)g(x)}{h}$
$= \displaystyle\lim_{h \to 0} \left\{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \cdot g(x+h) + f(x) \cdot \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\right\}$
$g(x)$ は微分可能であるから連続であり $\displaystyle\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$
$= f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \quad \square$
$y = x^2(x-1)(x+3)$ を微分し、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めよ。
3つの関数の積の微分法を用いる。$f = x^2$, $g = x-1$, $h = x+3$ とおく。
$y' = 2x(x-1)(x+3) + x^2 \cdot 1 \cdot (x+3) + x^2(x-1) \cdot 1$
$= x\{2(x-1)(x+3) + x(x+3) + x(x-1)\}$
$= x\{2(x^2+2x-3) + x^2+3x + x^2-x\}$
$= x(2x^2+4x-6+x^2+3x+x^2-x) = x(4x^2+6x-6)$
$= 2x(2x^2+3x-3)$
$y' = 0$ とすると $x = 0$ または $2x^2 + 3x - 3 = 0$
$x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$
よって $x = 0, \, \dfrac{-3 + \sqrt{33}}{4}, \, \dfrac{-3 - \sqrt{33}}{4}$
$f(x)$, $g(x)$ が微分可能で $g(x) \neq 0$ のとき、導関数の定義と積の微分法を用いて次の公式を証明せよ。
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
Step 1. まず $\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)' = -\dfrac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$ を示す。
$$\left(\frac{1}{g(x)}\right)' = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{g(x+h)} - \frac{1}{g(x)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{g(x) - g(x+h)}{h \cdot g(x+h)g(x)}$$
$$= -\lim_{h \to 0} \frac{g(x+h) - g(x)}{h} \cdot \frac{1}{g(x+h)g(x)}$$
$g(x)$ は微分可能であるから連続なので $\lim_{h \to 0} g(x+h) = g(x)$。よって
$$= -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}$$
Step 2. $\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)}$ に積の微分法を適用する。
$$\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}' = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \left(-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\right)$$
$$= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2} \quad \square$$
商の微分法の証明には複数のアプローチがあるが、最も見通しがよいのは「逆数の微分を先に示し、積の微分法に帰着させる」方法である。逆数の微分では $g(x)$ の連続性（微分可能であるから連続）を用いる点が重要であり、答案では明記する必要がある。