微分法は関数の変化の様子を調べるための最も強力な道具です。本記事では、微分係数と導関数の定義を極限を用いて厳密に理解し、微分可能性と連続性の関係を考察します。数学IIで学んだ内容を発展させ、より一般的な関数への微分法の基礎を固めましょう。
関数 $f(x)$ の $x = a$ における変化の割合を、極限として捉えたものが微分係数です。
関数 $f(x)$ について、極限値
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$
が存在するとき、この値を関数 $f(x)$ の $x = a$ における微分係数といい、$f'(a)$ で表す。
※ $x - a = h$ とおくと、$h \to 0$ は $x \to a$ に対応するため、次のようにも書ける：
$$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$$
$\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ は、曲線 $y = f(x)$ 上の2点 $(a, f(a))$ と $(a+h, f(a+h))$ を結ぶ割線の傾き（平均変化率）です。
$h \to 0$ の極限をとることで、割線は点 $(a, f(a))$ における接線に近づき、微分係数 $f'(a)$ は曲線 $y = f(x)$ の点 $(a, f(a))$ における接線の傾きを表します。
関数 $f(x)$ について、$x = a$ における微分係数 $f'(a)$ が存在するとき、$f(x)$ は $x = a$ で微分可能であるといいます。
また、関数 $f(x)$ がある区間のすべての $x$ の値で微分可能であるとき、$f(x)$ はその区間で微分可能であるといいます。
問題：$f(x) = x^2$ の $x = 3$ における微分係数を、定義に従って求めよ。
解：
$$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 9}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6$$
関数 $f(x)$ が区間で微分可能であるとき、各 $x$ に対して微分係数 $f'(x)$ を対応させると、新しい関数が得られます。これが導関数です。
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$
関数 $y = f(x)$ からその導関数 $f'(x)$ を求めることを、$f(x)$ を微分するという。
※ $x$ の増分 $\Delta x$ を用いると次のようにも表される：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
(1) 定数の微分：$c$ が定数のとき $(c)' = 0$
(2) べき関数の微分：$n$ が整数のとき $(x^n)' = nx^{n-1}$
(3) 定数倍：$\{kf(x)\}' = kf'(x)$（$k$ は定数）
(4) 和・差の微分：$\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)$
定義に従って計算する。
$$(x^n)' = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^n - x^n}{h}$$
二項定理を用いると $(x+h)^n = x^n + nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n$ であるから、
$$= \lim_{h \to 0} \frac{nx^{n-1}h + \binom{n}{2}x^{n-2}h^2 + \cdots + h^n}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0} \left( nx^{n-1} + \binom{n}{2}x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1} \right) = nx^{n-1}$$
$h \to 0$ のとき、第2項以降はすべて $0$ に収束するため、結果は $nx^{n-1}$ となる。$\square$
問題：$f(x) = \dfrac{1}{x}$ の導関数を定義に従って求めよ。
解：
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x - (x+h)}{h \cdot x(x+h)}$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-h}{h \cdot x(x+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = -\frac{1}{x^2}$$
これは $(x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2}$ と一致する。
定義に基づく計算では、$\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}$ の分子を整理して $h$ で割れる形にすることがポイントです。
分数関数 → 通分、無理関数 → 分子の有理化、三角関数 → 和・積の変換公式、がよく使われるテクニックです。
微分可能性と連続性の間には重要な包含関係があります。
$$f(x) \text{ が } x = a \text{ で微分可能} \Longrightarrow f(x) \text{ が } x = a \text{ で連続}$$
※ 逆は一般には成り立たない。すなわち、$f(x)$ が $x = a$ で連続であっても、$f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとは限らない。
$f(x)$ が $x = a$ で微分可能であるとする。すなわち $f'(a)$ が存在する。
$$\lim_{x \to a} \{f(x) - f(a)\} = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \cdot (x - a) = f'(a) \cdot 0 = 0$$
よって $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ となるから、$f(x)$ は $x = a$ で連続である。$\square$
関数 $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で連続ですが、微分可能ではありません。
$x = 0$ における微分係数の存在を調べる。
右側の極限：$\displaystyle\lim_{h \to +0} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{h}{h} = 1$
左側の極限：$\displaystyle\lim_{h \to -0} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{-h}{h} = -1$
左側の極限値と右側の極限値が一致しないため、$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ は存在しない。
よって $f(x) = |x|$ は $x = 0$ で微分可能でない。$\square$
場合分けのある関数が接続点で微分可能であるかを判定するには：
1. まず連続であるか確認する（微分可能の必要条件）
2. 左側微分係数と右側微分係数が一致するか確認する
両者が一致すれば微分可能、一致しなければ微分可能でない。
✗ 「$f(x)$ が $x = a$ で連続だから微分可能」と結論する
✓ 連続は微分可能の必要条件であり十分条件ではない。微分可能性は別途確認が必要
グラフが「角」を持つ点（$y = |x|$ の原点など）では連続だが微分可能でない。
導関数にはさまざまな記法があり、場面に応じて使い分けます。
関数 $y = f(x)$ の導関数を次のように表す：
$$f'(x), \quad y', \quad \frac{dy}{dx}, \quad \frac{d}{dx}f(x)$$
※ これらはすべて同じ意味を持つ。
| 記法 | 名称 | 特徴 |
|---|---|---|
| $f'(x)$ | ラグランジュの記法 | 簡潔で使いやすい。特定の $x$ の値を代入しやすい（例：$f'(2)$） |
| $\dfrac{dy}{dx}$ | ライプニッツの記法 | 変数の関係が明確。合成関数の微分（連鎖律）で特に便利 |
| $\dfrac{d}{dx}f(x)$ | 微分演算子 | 「$f(x)$ を $x$ で微分する」という操作を強調する表現 |
$\dfrac{dy}{dx}$ は形式的に「$y$ の微小変化量」を「$x$ の微小変化量」で割ったものと見なせます。
合成関数の微分法では $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ のように「$du$ が約分される」形で覚えると直感的です。
ただし、$\dfrac{dy}{dx}$ は単なる分数ではなく、極限操作で定義された値であることを忘れてはいけません。
$x$ の増分を $\Delta x$、それに対応する $y = f(x)$ の増分を $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ とすると：
$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$$
$\dfrac{dy}{dx}$ は、この $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ の $\Delta x \to 0$ における極限値として理解できます。
公式を用いた微分は便利ですが、導関数の定義に基づく計算も入試で頻出です。特に、微分係数の定義を利用して極限値を求める問題は重要です。
問題：$f(x) = \sqrt{x}$（$x > 0$）の導関数を定義に従って求めよ。
解：分子の有理化を行う。
$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
問題：$f(x)$ が微分可能で $f(2) = 5$, $f'(2) = 3$ のとき、$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(2+3h) - f(2-h)}{h}$ を求めよ。
解：与式を微分係数の定義の形に変形する。
$$\frac{f(2+3h) - f(2-h)}{h} = \frac{f(2+3h) - f(2) + f(2) - f(2-h)}{h}$$
$$= 3 \cdot \frac{f(2+3h) - f(2)}{3h} + \frac{f(2-h) - f(2)}{-h} \cdot \frac{-h}{h} \cdot (-1)$$
$$= 3 \cdot \frac{f(2+3h) - f(2)}{3h} + \frac{f(2+(-h)) - f(2)}{-h}$$
$h \to 0$ のとき、$3h \to 0$、$-h \to 0$ であるから
$$= 3f'(2) + f'(2) = 4f'(2) = 4 \times 3 = 12$$
$f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を利用して、さまざまな極限値を計算できる。
パターン1：$\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a)$
パターン2：$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a + \alpha h) - f(a)}{\alpha h} = f'(a)$（$\alpha \neq 0$）
パターン3：$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a + \alpha h) - f(a + \beta h)}{h} = (\alpha - \beta) f'(a)$
✗ $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + 2h) - f(a)}{h} = f'(a)$ としてしまう
✓ 分母と分子の変化量を揃えて $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + 2h) - f(a)}{2h} \cdot 2 = 2f'(a)$ とする
Q1. 関数 $f(x)$ の $x = a$ における微分係数 $f'(a)$ の定義式を書け。
Q2. 「$f(x)$ が $x = a$ で微分可能ならば連続」の逆は成り立つか。反例を挙げよ。
Q3. $f(x) = x^3$ を導関数の定義に従って微分せよ。
Q4. $\dfrac{dy}{dx}$ という記法の名称と利点を述べよ。
Q5. $f'(1) = 4$ のとき、$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(1+2h) - f(1)}{h}$ の値を求めよ。
定義に従って、関数 $f(x) = \cos x$ の $x = a$ における微分係数を求めよ。
$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(a+h) - \cos a}{h}$$
和積の公式 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ より、
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-2\sin\left(a + \frac{h}{2}\right)\sin\frac{h}{2}}{h}$$
$$= \lim_{h \to 0} \left\{-\sin\left(a + \frac{h}{2}\right) \cdot \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\right\}$$
$h \to 0$ のとき $\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \to 1$、$\sin\left(a + \dfrac{h}{2}\right) \to \sin a$ であるから、
$$f'(a) = -\sin a$$
関数 $f(x)$ を次のように定める。
$$f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx - 2 & (x \geq 1) \\ x + c & (x < 1) \end{cases}$$
$f(x)$ が $x = 1$ で微分可能となるように、定数 $a, b, c$ の値を定めよ。
$f(x)$ が $x = 1$ で微分可能ならば連続であるから $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$。
$f(1) = a + b - 2$、$\displaystyle\lim_{x \to 1-0} f(x) = 1 + c$ より $a + b - 2 = 1 + c$ ……①
$x \geq 1$ の側：$\displaystyle\lim_{h \to +0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{a(1+h)^2 + b(1+h) - 2 - (a+b-2)}{h}$
$= \displaystyle\lim_{h \to +0} \frac{(2a+b)h + ah^2}{h} = 2a + b$
$x < 1$ の側：$\displaystyle\lim_{h \to -0} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{(1+h+c) - (a+b-2)}{h}$
① より $1 + c = a + b - 2$ であるから $= \displaystyle\lim_{h \to -0} \frac{h}{h} = 1$
微分可能の条件：$2a + b = 1$ ……②
② より $b = 1 - 2a$。① に代入：$a + (1-2a) - 2 = 1 + c$ より $c = -a - 2$。
$a$ は任意なので、例えば $a = 1$ のとき $b = -1$, $c = -3$。
一般に $b = 1 - 2a$, $c = -a - 2$（$a$ は任意の実数）。
$f(x)$ は微分可能な関数で $f(0) = 1$, $f'(0) = -2$ を満たす。このとき、次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{f(3x) - f(0)}{x}$
(2) $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(h^2) - 1}{h}$
(1) $\dfrac{f(3x) - f(0)}{x} = 3 \cdot \dfrac{f(3x) - f(0)}{3x}$
$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ であるから
$$\lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{f(3x) - f(0)}{3x} = 3f'(0) = 3 \times (-2) = -6$$
(2) $f(0) = 1$ より $\dfrac{f(h^2) - 1}{h} = \dfrac{f(h^2) - f(0)}{h^2} \cdot h$
$h \to 0$ のとき $h^2 \to 0$ であるから $\dfrac{f(h^2) - f(0)}{h^2} \to f'(0) = -2$
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(h^2) - f(0)}{h^2} \cdot h = f'(0) \cdot 0 = 0$$
関数 $f(x) = x^2 \sin\dfrac{1}{x}$（$x \neq 0$）、$f(0) = 0$ について、次の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ が $x = 0$ で連続であることを示せ。
(2) $f(x)$ が $x = 0$ で微分可能であることを示し、$f'(0)$ を求めよ。
(1) $x \neq 0$ のとき $\left|\sin\dfrac{1}{x}\right| \leq 1$ であるから
$$|f(x)| = \left|x^2 \sin\frac{1}{x}\right| \leq x^2$$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ より、はさみうちの原理から $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$。
よって $f(x)$ は $x = 0$ で連続である。$\square$
(2) $\displaystyle\frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \frac{h^2 \sin\frac{1}{h}}{h} = h\sin\frac{1}{h}$
$\left|h\sin\dfrac{1}{h}\right| \leq |h|$ であり、$\displaystyle\lim_{h \to 0} |h| = 0$ であるから、はさみうちの原理より
$$f'(0) = \lim_{h \to 0} h\sin\frac{1}{h} = 0 \quad \square$$
$x^2 \sin\frac{1}{x}$ は $x = 0$ 付近で激しく振動するが、$x^2$ の因子によって $0$ に抑え込まれる。はさみうちの原理は、極限値の存在を示す上で極めて有効なテクニックである。なお、$f'(x)$（$x \neq 0$）を公式で求めると $f'(x) = 2x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ であり、$\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しない。つまり、$f(x)$ は $x = 0$ で微分可能だが、導関数 $f'(x)$ は $x = 0$ で不連続である。