微分法の学習で最も大切なのは、多くの問題を解いて計算を確実にすることです。本記事では三角関数・指数関数・対数関数の微分から、合成関数の微分、陰関数の微分、媒介変数表示の微分、対数微分法まで、難易度別に整理したドリル形式の演習問題に取り組みます。各問題には丁寧な解答がついていますので、自力で解いてから確認しましょう。
まず、三角関数の微分公式を確認してから演習に入ります。
$(\sin x)' = \cos x$, $\quad (\cos x)' = -\sin x$, $\quad (\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
これらの公式を自在に使いこなせることが全ての土台です。
問1. $y = \sin 3x$ を微分せよ。
合成関数の微分法により、$y' = \cos 3x \cdot 3 = 3\cos 3x$
問2. $y = \cos^2 x$ を微分せよ。
$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x \cos x = -\sin 2x$
問3. $y = \tan 2x$ を微分せよ。
$y' = \dfrac{1}{\cos^2 2x} \cdot 2 = \dfrac{2}{\cos^2 2x}$
問4. $y = x\sin x$ を微分せよ。
積の微分法により、$y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$
問5. $y = \dfrac{\sin x}{x}$ を微分せよ。
商の微分法により、$y' = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$
問6. $y = \sin^3 x \cos x$ を微分せよ。
積の微分法と合成関数の微分を組み合わせる。
$y' = 3\sin^2 x \cos x \cdot \cos x + \sin^3 x \cdot (-\sin x)$
$= 3\sin^2 x \cos^2 x - \sin^4 x = \sin^2 x(3\cos^2 x - \sin^2 x)$
誤：$(\cos^2 x)' = 2\cos x$ （内側の微分を忘れる）
正：$(\cos^2 x)' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -\sin 2x$
合成関数では必ず内側の微分を掛けることを忘れないようにしましょう。
$(e^x)' = e^x$, $\quad (a^x)' = a^x \log a$
$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$, $\quad (\log_a x)' = \dfrac{1}{x \log a}$
問7. $y = e^{3x}$ を微分せよ。
$y' = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$
問8. $y = \log(2x + 1)$ を微分せよ。
$y' = \dfrac{1}{2x+1} \cdot 2 = \dfrac{2}{2x+1}$
問9. $y = 2^x$ を微分せよ。
$y' = 2^x \log 2$
問10. $y = xe^x$ を微分せよ。
積の微分法により、$y' = e^x + xe^x = (1+x)e^x$
問11. $y = e^x \sin x$ を微分せよ。
$y' = e^x \sin x + e^x \cos x = e^x(\sin x + \cos x)$
問12. $y = x^2 \log x$ を微分せよ。
$y' = 2x \log x + x^2 \cdot \dfrac{1}{x} = 2x\log x + x = x(2\log x + 1)$
問13. $y = \dfrac{e^x}{x^2}$ を微分せよ。
商の微分法により、$y' = \dfrac{x^2 e^x - e^x \cdot 2x}{x^4} = \dfrac{e^x(x^2 - 2x)}{x^4} = \dfrac{e^x(x-2)}{x^3}$
問14. $y = e^{-x^2}$ を微分せよ。
合成関数の微分により、$y' = e^{-x^2} \cdot (-2x) = -2xe^{-x^2}$
$\dfrac{d}{dx}e^{f(x)} = e^{f(x)} \cdot f'(x)$ という形は極めて頻出です。指数部分がそのまま残り、その導関数を掛けるだけです。
例：$(e^{\sin x})' = e^{\sin x} \cdot \cos x$、$(e^{1/x})' = e^{1/x} \cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)$
合成関数の微分法は数学IIIの微分で最も頻繁に使う技法です。外側から順に微分し、内側の微分を掛けるという手順を体に染み込ませましょう。
$y = f(g(x))$ のとき、$\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
$u = g(x)$ とおくと $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx}$ と表せます。
問15. $y = \sqrt{x^2 + 1}$ を微分せよ。
$y = (x^2+1)^{1/2}$ とみて、$y' = \dfrac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
問16. $y = \log(\sin x)$ を微分せよ。
$y' = \dfrac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$
問17. $y = e^{\cos x}$ を微分せよ。
$y' = e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = -\sin x \cdot e^{\cos x}$
問18. $y = \sin^2(3x)$ を微分せよ。
外から順に微分する。$y' = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$
問19. $y = e^{\sin 2x}$ を微分せよ。
$y' = e^{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x \cdot e^{\sin 2x}$
問20. $y = \log(\cos^2 x)$ を微分せよ。
$y = 2\log|\cos x|$ と変形してもよいが、直接計算すると：
$y' = \dfrac{1}{\cos^2 x} \cdot 2\cos x \cdot (-\sin x) = \dfrac{-2\sin x}{\cos x} = -2\tan x$
Step 1：関数の構造を「外側・中間・内側」に分解する
Step 2：外側から順に微分し、中間・内側はそのまま残す
Step 3：次に中間の部分を微分し、内側はそのまま残す
Step 4：最後に内側を微分して全体を掛け合わせる
$F(x, y) = 0$ の形で表された関数に対して、両辺を $x$ で微分し、$\dfrac{dy}{dx}$ を求めます。$y$ を $x$ の関数とみて微分する点がポイントです。
問21. $x^2 + y^2 = 1$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
両辺を $x$ で微分：$2x + 2y\dfrac{dy}{dx} = 0$
よって $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$
問22. $x^3 + y^3 = 3xy$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
両辺を $x$ で微分：$3x^2 + 3y^2\dfrac{dy}{dx} = 3y + 3x\dfrac{dy}{dx}$
$3y^2\dfrac{dy}{dx} - 3x\dfrac{dy}{dx} = 3y - 3x^2$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y - x^2}{y^2 - x}$ （ただし $y^2 \neq x$）
問23. $e^y = xy$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
両辺を $x$ で微分：$e^y \dfrac{dy}{dx} = y + x\dfrac{dy}{dx}$
$(e^y - x)\dfrac{dy}{dx} = y$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{e^y - x}$
$x = f(t)$, $y = g(t)$ のとき、$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{g'(t)}{f'(t)}$ （$f'(t) \neq 0$）
問24. $x = \cos t$, $y = \sin t$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
$\dfrac{dx}{dt} = -\sin t$, $\dfrac{dy}{dt} = \cos t$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t = -\dfrac{\cos t}{\sin t}$
問25. $x = e^t \cos t$, $y = e^t \sin t$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
$\dfrac{dx}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)$
$\dfrac{dy}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{e^t(\sin t + \cos t)}{e^t(\cos t - \sin t)} = \dfrac{\sin t + \cos t}{\cos t - \sin t}$
問26. $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$（サイクロイド）のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
$\dfrac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$, $\dfrac{dy}{dt} = a\sin t$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{a\sin t}{a(1 - \cos t)} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t}$
半角の公式を使うと $= \dfrac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} = \cot\dfrac{t}{2} = \dfrac{\cos\frac{t}{2}}{\sin\frac{t}{2}}$
誤：$y^2$ を $x$ で微分して $2y$ とする（$y$ を定数として扱ってしまう）
正：$\dfrac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \dfrac{dy}{dx}$（$y$ は $x$ の関数なのでチェインルール適用）
対数微分法は、複雑な積・商・べき乗の関数を微分するときに威力を発揮します。両辺の絶対値の自然対数をとって微分するのが基本手順です。
Step 1：$y = f(x)$ の両辺の絶対値の対数をとる：$\log|y| = \log|f(x)|$
Step 2：対数法則で右辺を整理する
Step 3：両辺を $x$ で微分する：$\dfrac{y'}{y} = (\text{右辺の導関数})$
Step 4：両辺に $y$ を掛けて $y'$ を求める
問27. $y = x^x$（$x > 0$）を微分せよ。
両辺の対数をとる：$\log y = x \log x$
両辺を $x$ で微分：$\dfrac{y'}{y} = \log x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \log x + 1$
$y' = y(\log x + 1) = x^x(\log x + 1)$
問28. $y = (\sin x)^x$（$\sin x > 0$）を微分せよ。
$\log y = x \log(\sin x)$
$\dfrac{y'}{y} = \log(\sin x) + x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = \log(\sin x) + x\cot x$
$y' = (\sin x)^x \left(\log(\sin x) + x\cot x\right)$
問29. $y = \dfrac{x^2 \sqrt{x+1}}{(x+2)^3}$（$x > 0$）を微分せよ。
$\log y = 2\log x + \dfrac{1}{2}\log(x+1) - 3\log(x+2)$
$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{2(x+1)} - \dfrac{3}{x+2}$
$y' = \dfrac{x^2\sqrt{x+1}}{(x+2)^3}\left(\dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{2(x+1)} - \dfrac{3}{x+2}\right)$
問30. $y = x^{\sin x}$（$x > 0$）を微分せよ。
$\log y = \sin x \cdot \log x$
$\dfrac{y'}{y} = \cos x \cdot \log x + \sin x \cdot \dfrac{1}{x} = \cos x \log x + \dfrac{\sin x}{x}$
$y' = x^{\sin x}\left(\cos x \log x + \dfrac{\sin x}{x}\right)$
1. $f(x)^{g(x)}$ 型（指数・底ともに変数を含む）
2. 多数の因数の積・商からなる関数
3. 高次のべき乗が複雑に絡む関数
特に $f(x)^{g(x)}$ 型は対数微分法でしか扱えないので、この形を見たら迷わず対数をとりましょう。
Q1. $y = \sin(e^x)$ の導関数を求めよ。
Q2. $y = \dfrac{\log x}{x}$ の導関数を求めよ。
Q3. $x^2 + xy + y^2 = 3$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。
Q4. $x = t^2$, $y = t^3$ のとき $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
Q5. $y = x^{1/x}$（$x > 0$）を対数微分法で微分せよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = \cos(x^2 + 1)$
(2) $y = e^{-x}\cos x$
(3) $y = \log(\sin x)$
(1) $y' = -\sin(x^2+1) \cdot 2x = -2x\sin(x^2+1)$
(2) $y' = -e^{-x}\cos x + e^{-x}(-\sin x) = -e^{-x}(\cos x + \sin x)$
(3) $y' = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \cot x$（$\sin x > 0$ の範囲で）
曲線 $x^3 + y^3 - 3xy = 0$（デカルトの正葉線）上の点 $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ における接線の方程式を求めよ。
両辺を $x$ で微分：$3x^2 + 3y^2 y' - 3y - 3xy' = 0$
$(3y^2 - 3x)y' = 3y - 3x^2$ より $y' = \dfrac{y - x^2}{y^2 - x}$
点 $\left(\dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2}\right)$ を代入：$y' = \dfrac{\frac{3}{2} - \frac{9}{4}}{\frac{9}{4} - \frac{3}{2}} = \dfrac{-\frac{3}{4}}{\frac{3}{4}} = -1$
接線：$y - \dfrac{3}{2} = -1\left(x - \dfrac{3}{2}\right)$ すなわち $y = -x + 3$
デカルトの正葉線は陰関数の微分の典型題です。まず点が曲線上にあることを確認し、$y'$ の一般式に座標を代入します。
曲線が $x = a(\cos t + t\sin t)$, $y = a(\sin t - t\cos t)$（$a > 0$）で表されるとき：
(1) $\dfrac{dy}{dx}$ を $t$ で表せ。
(2) $t = \dfrac{\pi}{2}$ における接線の方程式を求めよ。
(1) $\dfrac{dx}{dt} = a(-\sin t + \sin t + t\cos t) = at\cos t$
$\dfrac{dy}{dt} = a(\cos t - \cos t + t\sin t) = at\sin t$
$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{at\sin t}{at\cos t} = \tan t$（$t \neq 0$, $\cos t \neq 0$）
(2) $t = \dfrac{\pi}{2}$ のとき：$x = a\left(0 + \dfrac{\pi}{2} \cdot 1\right) = \dfrac{a\pi}{2}$, $y = a\left(1 - 0\right) = a$
傾き：$\tan\dfrac{\pi}{2}$ は定義されないので、接線は $x = \dfrac{a\pi}{2}$（$x$ 軸に垂直な直線）
$f(x) = \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x$（$x > 0$）について：
(1) $f'(x)$ を求めよ。
(2) $\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x)$ を求めよ。
(1) $\log f(x) = x\log\dfrac{x}{x+1} = x(\log x - \log(x+1))$
両辺を微分：$\dfrac{f'(x)}{f(x)} = \log x - \log(x+1) + x\left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right)$
$= \log\dfrac{x}{x+1} + 1 - \dfrac{x}{x+1} = \log\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}$
$f'(x) = \left(\dfrac{x}{x+1}\right)^x \left(\log\dfrac{x}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}\right)$
(2) $\log f(x) = x\log\dfrac{x}{x+1} = x\log\left(1 - \dfrac{1}{x+1}\right)$
$x \to \infty$ のとき $t = \dfrac{1}{x+1} \to 0$ とおくと、$x \approx \dfrac{1}{t}$ であり
$x\log(1-t) \approx \dfrac{1}{t} \cdot (-t) = -1$
よって $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \log f(x) = -1$、$\displaystyle\lim_{x \to \infty} f(x) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}$