本記事は第3章「微分法」の総仕上げとして、これまで学んだすべての微分技法を組み合わせた計算に取り組みます。連鎖律・積の微分・商の微分・対数微分法・陰関数微分・逆三角関数の微分を融合した問題を通じて、微分計算の総合力を養います。入試本番で素早く正確に微分できる力を身につけましょう。
第3章で学んだ微分公式をすべて一覧にまとめます。これらを自在に使いこなすことが微分計算の基礎力です。
べき関数：$(x^{\alpha})' = \alpha x^{\alpha - 1}$（$\alpha$ は実数）
指数関数：$(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \log a$
対数関数：$(\log x)' = \dfrac{1}{x}$, $(\log_a x)' = \dfrac{1}{x \log a}$
三角関数：$(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, $(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^2 x}$
逆三角関数：$(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arccos x)' = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$
定数倍：$(cf)' = cf'$
和・差：$(f \pm g)' = f' \pm g'$
積の微分：$(fg)' = f'g + fg'$
商の微分：$\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
合成関数（連鎖律）：$\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
逆関数の微分：$\dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}$
対数微分法：$y = f(x)^{g(x)}$ の場合、$\log y = g(x) \log f(x)$ の両辺を微分
1. 関数の構造を見抜く：合成・積・商・べきのどれか、あるいはその組合せかを判断する
2. 外側から微分する：合成関数は「外側の関数を先に微分、内側の関数の導関数を掛ける」
3. 対数を取る：$f(x)^{g(x)}$ 型や複雑な積・商は対数微分法が有効
4. 整理してから微分：可能であれば式を簡略化してから微分する
入試では複数の微分法則を同時に用いる問題が標準的に出題されます。
積の微分法と連鎖律を組み合わせる。
$y' = (e^{2x})' \sin 3x + e^{2x} (\sin 3x)'$
$= 2e^{2x} \sin 3x + e^{2x} \cdot 3\cos 3x$
$$= e^{2x}(2\sin 3x + 3\cos 3x)$$
商の微分法を適用する。
$y' = \dfrac{2x(1+x)^3 - x^2 \cdot 3(1+x)^2}{(1+x)^6}$
$= \dfrac{(1+x)^2 [2x(1+x) - 3x^2]}{(1+x)^6}$
$= \dfrac{2x + 2x^2 - 3x^2}{(1+x)^4} = \dfrac{2x - x^2}{(1+x)^4}$
$$= \frac{x(2-x)}{(1+x)^4}$$
$y = \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{1/2}$ と見て連鎖律を適用する。
$y' = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^{-1/2} \cdot \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)'$
$\left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)' = \dfrac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \dfrac{-2}{(1+x)^2}$
$y' = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{\dfrac{1+x}{1-x}} \cdot \dfrac{-2}{(1+x)^2} = \dfrac{-1}{(1+x)^2} \cdot \dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}}$
$$= \frac{-1}{(1+x)^{3/2}(1-x)^{1/2}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x}\,(1+x)\sqrt{1+x}}$$
$y = \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}$ のような問題は、対数を取って $\log y = \dfrac{1}{2}[\log(1-x) - \log(1+x)]$ としてから微分する方法もあります。
$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{2}\left[\dfrac{-1}{1-x} - \dfrac{1}{1+x}\right] = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{-2}{1-x^2} = \dfrac{-1}{1-x^2}$
$y' = y \cdot \dfrac{-1}{1-x^2} = \sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}} \cdot \dfrac{-1}{1-x^2}$（同じ結果に達します）
✗ $(\sin 3x)' = \cos 3x$（内側の微分 $\times 3$ を忘れる）
✓ $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$（合成関数は必ず内側の導関数を掛ける）
連鎖律の「掛け忘れ」は最も多い計算ミスです。微分後に必ず確認しましょう。
指数関数と対数関数が絡む微分は入試頻出です。特に $x^x$ 型や $f(x)^{g(x)}$ 型には対数微分法が不可欠です。
両辺の対数を取る：$\log y = x \log x$
両辺を $x$ で微分する：$\dfrac{y'}{y} = \log x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \log x + 1$
$$y' = x^x(\log x + 1)$$
$\log y = \sin x \cdot \log x$ の両辺を微分：
$\dfrac{y'}{y} = \cos x \cdot \log x + \sin x \cdot \dfrac{1}{x}$
$$y' = x^{\sin x}\left(\cos x \cdot \log x + \frac{\sin x}{x}\right)$$
$\log y = x \log(\log x)$ の両辺を微分：
$\dfrac{y'}{y} = \log(\log x) + x \cdot \dfrac{1}{\log x} \cdot \dfrac{1}{x} = \log(\log x) + \dfrac{1}{\log x}$
$$y' = (\log x)^x \left[\log(\log x) + \frac{1}{\log x}\right]$$
積の微分法を適用：
$y' = (e^{x^2})' \log(x^2+1) + e^{x^2} \cdot (\log(x^2+1))'$
$= 2x e^{x^2} \log(x^2+1) + e^{x^2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}$
$$= 2xe^{x^2}\left[\log(x^2+1) + \frac{1}{x^2+1}\right]$$
次のような場合に対数微分法が有効：
1. $f(x)^{g(x)}$ 型：$\log y = g(x) \log f(x)$ として微分
2. 複雑な積・商：$y = \dfrac{f_1 \cdot f_2 \cdots}{g_1 \cdot g_2 \cdots}$ のとき $\log y = \sum \log f_i - \sum \log g_j$ として微分
3. $n$ 乗根を含む式：$y = \sqrt[n]{f(x)}$ のとき $\log y = \dfrac{1}{n} \log f(x)$ として微分
三角関数と逆三角関数を含む合成関数の微分は、連鎖律を正確に適用することが重要です。
$y = (\sin 2x)^3$ と読み、連鎖律を2段階で適用する。
$y' = 3(\sin 2x)^2 \cdot (\sin 2x)' = 3\sin^2 2x \cdot 2\cos 2x$
$$= 6\sin^2 2x \cos 2x$$
$y' = e^{\arctan x} \cdot (\arctan x)' = e^{\arctan x} \cdot \dfrac{1}{1+x^2}$
$$= \frac{e^{\arctan x}}{1+x^2}$$
$u = \dfrac{2x}{1+x^2}$ とおくと $y = \arcsin u$。
$u' = \dfrac{2(1+x^2) - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \dfrac{2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \dfrac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}$
$1 - u^2 = 1 - \dfrac{4x^2}{(1+x^2)^2} = \dfrac{(1+x^2)^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \dfrac{(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}$
$\sqrt{1-u^2} = \dfrac{|1-x^2|}{1+x^2}$
$|x| < 1$ のとき $1 - x^2 > 0$ なので：
$y' = \dfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}} = \dfrac{\frac{2(1-x^2)}{(1+x^2)^2}}{\frac{1-x^2}{1+x^2}} = \dfrac{2}{1+x^2}$
これは $2(\arctan x)' = 2 \cdot \dfrac{1}{1+x^2}$ に一致し、実際 $\arcsin\dfrac{2x}{1+x^2} = 2\arctan x$（$|x| < 1$）が成り立つ。
$u = \dfrac{a\tan x}{b}$ とおくと $y = \arctan u$。
$u' = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 x}$
$y' = \dfrac{u'}{1 + u^2} = \dfrac{\frac{a}{b\cos^2 x}}{1 + \frac{a^2 \tan^2 x}{b^2}} = \dfrac{\frac{a}{b\cos^2 x}}{\frac{b^2 + a^2 \tan^2 x}{b^2}}$
$= \dfrac{ab}{(b^2 + a^2 \tan^2 x)\cos^2 x} = \dfrac{ab}{b^2\cos^2 x + a^2\sin^2 x}$
✗ $(\sin^3 x)' = 3\sin^2 x$（$(\sin x)' = \cos x$ を掛け忘れる）
✓ $(\sin^3 x)' = 3\sin^2 x \cdot \cos x$（$u = \sin x$ とおくと $u^3$ の微分 $3u^2 \cdot u'$）
最後に、すべての技法が必要となる総合的な問題に挑戦しましょう。
対数微分法を用いる。$\log y = 2\log|x-1| + \dfrac{1}{2}\log(x+1) - 3\log(x^2+1)$
$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{2}{x-1} + \dfrac{1}{2(x+1)} - \dfrac{6x}{x^2+1}$
$$y' = \frac{(x-1)^2 \sqrt{x+1}}{(x^2+1)^3} \left[\frac{2}{x-1} + \frac{1}{2(x+1)} - \frac{6x}{x^2+1}\right]$$
$\log y = x[\log x - \log(x+1)]$ の両辺を微分する。
$\dfrac{y'}{y} = \log x - \log(x+1) + x\left[\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{x+1}\right]$
$= \log \dfrac{x}{x+1} + 1 - \dfrac{x}{x+1} = \log \dfrac{x}{x+1} + \dfrac{1}{x+1}$
$$y' = \left(\frac{x}{x+1}\right)^x \left[\log \frac{x}{x+1} + \frac{1}{x+1}\right]$$
$\dfrac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t$, $\dfrac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t \cos t$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{3a\sin^2 t \cos t}{-3a\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$$
Step 1：式の構造を分析（合成・積・商・$f^g$ 型の判断）
Step 2：最適な方法を選択（直接微分 or 対数微分法 or 陰関数微分）
Step 3：連鎖律の「内側の導関数」を漏れなく掛ける
Step 4：結果を整理・因数分解して簡潔な形にする
Step 5：特別な値（$x = 0, 1$ 等）を代入して検算する
代入検算：$x = 0$ や $x = 1$ を代入して、元の関数の傾きと整合するか確認する。
次元検算：微分すると次数が1下がるか、指数関数は変わらないか等の定性的チェック。
特殊な場合：パラメータを $a = 1$ 等の簡単な値にして既知の結果と一致するか確認する。
Q1. $y = e^{3x}\cos 2x$ を微分せよ。
Q2. $y = x^x$ を対数微分法で微分すると何になるか。
Q3. $(\sin^2 x)' = ?$
Q4. $y = \arctan(e^x)$ を微分せよ。
Q5. 対数微分法が特に有効な関数の型を3つ挙げよ。
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x^2 e^{-3x}$
(2) $y = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x}$
(3) $y = \log(\sin x)$
(1) $y' = 2xe^{-3x} + x^2 \cdot (-3)e^{-3x} = (2x - 3x^2)e^{-3x} = x(2 - 3x)e^{-3x}$
(2) $y' = \dfrac{\cos x(1+\cos x) - \sin x \cdot (-\sin x)}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1 + \cos x}{(1+\cos x)^2} = \dfrac{1}{1 + \cos x}$
(3) $y' = \dfrac{(\sin x)'}{\sin x} = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{1}{\tan x}$（$= \cot x$）
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x^{1/x}$（$x > 0$）
(2) $y = (\cos x)^{\sin x}$（$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$）
(1) $\log y = \dfrac{\log x}{x}$ を微分：$\dfrac{y'}{y} = \dfrac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x}{x^2} = \dfrac{1 - \log x}{x^2}$
$y' = x^{1/x} \cdot \dfrac{1 - \log x}{x^2}$
(2) $\log y = \sin x \cdot \log \cos x$ を微分：
$\dfrac{y'}{y} = \cos x \cdot \log \cos x + \sin x \cdot \dfrac{-\sin x}{\cos x} = \cos x \cdot \log \cos x - \dfrac{\sin^2 x}{\cos x}$
$= \cos x \cdot \log \cos x - \sin x \tan x$
$y' = (\cos x)^{\sin x}\left[\cos x \cdot \log \cos x - \sin x \tan x\right]$
次の関数を微分せよ。
(1) $y = x \arcsin x + \sqrt{1 - x^2}$
(2) $y = \arctan\dfrac{x-1}{x+1}$
(1) $y' = \arcsin x + x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}$
$= \arcsin x + \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} - \dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$
(2) $u = \dfrac{x-1}{x+1}$ とおくと：
$u' = \dfrac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \dfrac{2}{(x+1)^2}$
$1 + u^2 = 1 + \dfrac{(x-1)^2}{(x+1)^2} = \dfrac{(x+1)^2 + (x-1)^2}{(x+1)^2} = \dfrac{2(x^2+1)}{(x+1)^2}$
$y' = \dfrac{u'}{1+u^2} = \dfrac{\frac{2}{(x+1)^2}}{\frac{2(x^2+1)}{(x+1)^2}} = \dfrac{1}{x^2+1}$
これは $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$ と一致。実は $\arctan\dfrac{x-1}{x+1} = \arctan x - \dfrac{\pi}{4}$ が成り立つ。
(1)は「積分の逆操作」の好例です。$(\arcsin x)' = 1/\sqrt{1-x^2}$ を知っていれば、$y = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}$ の不定積分が $\int \arcsin x\, dx$ であることがわかります。
(2)は $\tan$ の加法定理 $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$ で $\alpha = \arctan x$, $\beta = \pi/4$ とした結果です。
$y = \left(\sin x\right)^{\cos x} + \left(\cos x\right)^{\sin x}$ （$0 < x < \dfrac{\pi}{2}$）について $y'$ を求めよ。
$u = (\sin x)^{\cos x}$, $v = (\cos x)^{\sin x}$ とおくと $y = u + v$、$y' = u' + v'$。
$u'$ の計算：$\log u = \cos x \cdot \log \sin x$
$\dfrac{u'}{u} = -\sin x \cdot \log \sin x + \cos x \cdot \dfrac{\cos x}{\sin x} = -\sin x \log \sin x + \dfrac{\cos^2 x}{\sin x}$
$u' = (\sin x)^{\cos x}\left[\dfrac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \log \sin x\right]$
$v'$ の計算：$\log v = \sin x \cdot \log \cos x$
$\dfrac{v'}{v} = \cos x \cdot \log \cos x + \sin x \cdot \dfrac{-\sin x}{\cos x} = \cos x \log \cos x - \dfrac{\sin^2 x}{\cos x}$
$v' = (\cos x)^{\sin x}\left[\cos x \log \cos x - \dfrac{\sin^2 x}{\cos x}\right]$
$$y' = (\sin x)^{\cos x}\left[\frac{\cos^2 x}{\sin x} - \sin x \log \sin x\right] + (\cos x)^{\sin x}\left[\cos x \log \cos x - \frac{\sin^2 x}{\cos x}\right]$$
$f(x)^{g(x)}$ 型の和なので、各項を独立に対数微分法で処理します。和の微分は各項の微分の和であることから $y' = u' + v'$ と分解できる点がポイントです。対数微分法は各項に個別に適用する必要があり、$\log y = \log(u + v)$ とするのは不適切です。