三角関数の極限は微分法の出発点であり、数学IIIで最も重要な極限公式の一つです。 本記事では $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ の幾何学的な証明から始め、 関連する極限公式を体系的に導出し、応用テクニックまで解説します。
この公式は三角関数の極限における最も基本的かつ重要な結果です。ここでははさみうちの原理を使った幾何学的証明を紹介します。$x$ はラジアンで測ることが前提です。
単位円（半径 $1$ の円）を考え、中心角 $x$（ラジアン）の扇形を描きます。
3つの面積を比較：
1. 三角形 $\mathrm{OAB}$（$\mathrm{A}=(1,0)$、$\mathrm{B}=(\cos x, \sin x)$）の面積：$\frac{1}{2}\sin x$
2. 扇形 $\mathrm{OAB}$ の面積：$\frac{1}{2}x$
3. 三角形 $\mathrm{OAT}$（$\mathrm{T}=(1, \tan x)$）の面積：$\frac{1}{2}\tan x$
図形の包含関係から：
$$\frac{1}{2}\sin x \leq \frac{1}{2}x \leq \frac{1}{2}\tan x$$
$\sin x > 0$ で割ると：
$$1 \leq \frac{x}{\sin x} \leq \frac{1}{\cos x}$$
逆数を取ると（不等号の向きが逆転）：
$$\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1$$
$x \to +0$ のとき $\cos x \to 1$ なので、はさみうちの原理より：
$$\lim_{x \to +0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
$\frac{\sin x}{x}$ は偶関数（$\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{\sin x}{x}$）なので $x \to -0$ でも同じ。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
※ $x$ はラジアンで測ること。度数法（$360^\circ$ 系）では成り立たない。
ラジアンとは「弧の長さ = 半径 $\times$ 中心角」となるように定めた角度の単位です。
$x$ が十分小さいとき、弧の長さ $x$ と弦の長さ $\sin x$ がほぼ等しくなること（$\sin x \approx x$）が、この極限が $1$ になる直感的な理由です。
もし度数法で $\theta^\circ$ を使うと $\lim_{\theta \to 0}\frac{\sin \theta^\circ}{\theta} = \frac{\pi}{180}$ となり、きれいな値になりません。
✗ $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 0$ と答える（$\sin 0 = 0$ だから0、と早合点）
✓ これは $\frac{0}{0}$ 型の不定形。極限値は $1$ であり、0 ではない
この公式は $\frac{\sin x}{x} = 1$ から導けます。$1 - \cos x$ は $x \to 0$ で $0$ に近づきますが、$x^2$ で割ると有限の値に収束します。
方法1：半角の公式
$1 - \cos x = 2\sin^2\frac{x}{2}$ を用いる。
$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2} = 2 \cdot \frac{\sin^2\frac{x}{2}}{4 \cdot \left(\frac{x}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$$
$x \to 0$ のとき $\frac{x}{2} \to 0$ なので $\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}$$
方法2：$1 + \cos x$ を掛ける
$$\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{x^2(1+\cos x)} = \frac{1-\cos^2 x}{x^2(1+\cos x)} = \frac{\sin^2 x}{x^2(1+\cos x)}$$
$$= \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \cdot \frac{1}{1+\cos x} \to 1^2 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
同値な表現：$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x} = 0$（分子が $x^2$ のオーダーだから）
$x \approx 0$ のとき $1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2}$ という近似式が得られます。
これは $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$ というテイラー展開の最初の2項に対応しています。
物理や工学では微小角近似として頻繁に使われます。
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用すれば、$\frac{\sin x}{x}$ の結果から容易に導けます。
$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin x}{x} = 1$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x}{x} = 1$$
※ $\arcsin$, $\arctan$ の極限は逆関数の性質から従う。
$ax = t$ とおくと $x = \frac{t}{a}$、$x \to 0$ のとき $t \to 0$。
$$\frac{\sin ax}{bx} = \frac{\sin t}{b \cdot \frac{t}{a}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{\sin t}{t} \to \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b}$$
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}, \quad \lim_{x \to 0}\frac{\tan ax}{bx} = \frac{a}{b}$$
「$\sin$ や $\tan$ の中身」と「分母の $x$ の係数」の比になると覚えましょう。
| 極限 | 値 | ポイント |
|---|---|---|
| $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x}$ | $3$ | $\frac{a}{b} = \frac{3}{1}$ |
| $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{5x}$ | $\frac{2}{5}$ | $\frac{a}{b} = \frac{2}{5}$ |
| $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan 4x}{3x}$ | $\frac{4}{3}$ | $\tan$ でも同じ規則 |
| $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{\sin 5x}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{3}{5}$ |
✗ $\lim_{x \to \pi}\frac{\sin x}{x} = 1$ と使う（$x \to 0$ のときのみ有効）
✓ $x \to \pi$ のとき $\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin \pi}{\pi} = 0$（分子の極限がそのまま $0$）
$\frac{0}{0}$ 型にならない場合は直接代入すればよく、公式は不要です。
$x \to 0$ 以外の三角関数の極限は、適切な置換により $t \to 0$ の形に帰着させます。
$t = x - \frac{\pi}{2}$ とおくと $x = t + \frac{\pi}{2}$、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $t \to 0$。
$$\cos x = \cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin t$$
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0}\frac{-\sin t}{t} = -1$$
$t = x - \pi$ とおくと $x = t + \pi$、$x \to \pi$ のとき $t \to 0$。
$$\sin x = \sin(t + \pi) = -\sin t$$
$$\lim_{x \to \pi}\frac{\sin x}{x - \pi} = \lim_{t \to 0}\frac{-\sin t}{t} = -1$$
これは高次の極限で、通常はテイラー展開やロピタルの定理で扱います。
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \cdots$ より：
$$\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + \cdots}{x^3} \to -\frac{1}{6}$$
※ テイラー展開は数学IIIの発展的内容です。入試では誘導がつくことが多い。
原則：$\frac{0}{0}$ 型の不定形で三角関数が含まれる場合、「$\sin$(何か)」や「$\cos$(何か)」の「何か」が $0$ に近づくように置換します。
手順：
1. 分子・分母が同時に $0$ になる点を確認
2. $t = x - (\text{その点})$ とおく
3. 加法定理で $\sin$, $\cos$ を $t$ の式に変換
4. $\frac{\sin t}{t} \to 1$ を適用
$\sin(t + \pi) = -\sin t$, $\cos(t + \pi) = -\cos t$
$\sin\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = \cos t$, $\cos\left(t + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin t$
$\sin(t + 2\pi) = \sin t$, $\cos(t + 2\pi) = \cos t$
ここまでの公式とテクニックを組み合わせた問題に取り組みましょう。
$$\frac{\sin 3x \cdot \tan 2x}{x^2} = \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\tan 2x}{x} = \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{\tan 2x}{2x} \cdot 2$$
$$\to 1 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 = 6$$
$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$ を利用する。
$$\frac{1 - \cos 2x}{x \sin x} = \frac{2\sin^2 x}{x \sin x} = \frac{2\sin x}{x} \to 2 \cdot 1 = 2$$
$$\frac{x - \sin x}{x^2 \tan x} = \frac{x - \sin x}{x^3} \cdot \frac{x}{\tan x}$$
$\frac{x}{\tan x} \to 1$（$x \to 0$）。
$\frac{x - \sin x}{x^3} \to \frac{1}{6}$（テイラー展開より）。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{x - \sin x}{x^2 \tan x} = \frac{1}{6}$$
Step 1：不定形 $\frac{0}{0}$ を確認する
Step 2：$\frac{\sin(\cdot)}{(\cdot)} \to 1$ の形を作れないか考える
Step 3：$1 - \cos x$ が出たら $2\sin^2\frac{x}{2}$ か有理化を使う
Step 4：$x \to a \neq 0$ の場合は $t = x - a$ と置換
Step 5：$\sin$ と $\tan$ の組合せでは $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ を活用
Q1. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{3x}$ の値を求めよ。
Q2. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ の値を求めよ。
Q3. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan 4x}{7x}$ の値を求めよ。
Q4. $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{\sin 3x}$ の値を求めよ。
Q5. $\displaystyle\lim_{x \to \pi}\frac{\sin x}{x - \pi}$ の値を求めよ。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin^2 3x}{x \cdot \tan 2x}$$
$$\frac{\sin^2 3x}{x \cdot \tan 2x} = \frac{\sin 3x}{x} \cdot \frac{\sin 3x}{\tan 2x}$$
$$= \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \cdot 3 \cdot \frac{2x}{\tan 2x} \cdot \frac{1}{2}$$
別解としてより直接的に：
$$= \frac{(\sin 3x)^2}{x^2} \cdot \frac{x}{\tan 2x} = \left(\frac{\sin 3x}{x}\right)^2 \cdot \frac{x}{\tan 2x}$$
$$= \left(\frac{\sin 3x}{3x}\right)^2 \cdot 9 \cdot \frac{2x}{\tan 2x} \cdot \frac{1}{2} \to 1 \cdot 9 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\tan x - 1}{x - \frac{\pi}{4}}$$
$t = x - \frac{\pi}{4}$ とおくと $x = t + \frac{\pi}{4}$、$t \to 0$。
$$\tan x = \tan\left(t + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan t + 1}{1 - \tan t}$$
$$\tan x - 1 = \frac{\tan t + 1}{1 - \tan t} - 1 = \frac{\tan t + 1 - 1 + \tan t}{1 - \tan t} = \frac{2\tan t}{1 - \tan t}$$
$$\frac{\tan x - 1}{t} = \frac{2\tan t}{t(1-\tan t)} = \frac{2}{1-\tan t} \cdot \frac{\tan t}{t}$$
$t \to 0$ のとき $\frac{\tan t}{t} \to 1$、$\frac{1}{1-\tan t} \to 1$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to \frac{\pi}{4}}\frac{\tan x - 1}{x - \frac{\pi}{4}} = 2$$
この極限は $\tan x$ の $x = \frac{\pi}{4}$ における微分係数 $\frac{d}{dx}\tan x\Big|_{x=\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{\cos^2\frac{\pi}{4}} = 2$ に一致します。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\frac{1-\cos 3x}{x \sin 2x}$$
$1 - \cos 3x = 2\sin^2\frac{3x}{2}$ を用いる。
$$\frac{1-\cos 3x}{x \sin 2x} = \frac{2\sin^2\frac{3x}{2}}{x \sin 2x}$$
$$= 2 \cdot \frac{\sin^2\frac{3x}{2}}{\left(\frac{3x}{2}\right)^2} \cdot \frac{9x^2}{4} \cdot \frac{1}{x \sin 2x}$$
$$= 2 \cdot \left(\frac{\sin\frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)^2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{\sin 2x}$$
$$= 2 \cdot 1 \cdot \frac{9}{4} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{1}{2} \to 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{4}$$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}{x}$$
分子を有理化する。$\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}$ を分子・分母に掛ける。
$$= \frac{(1+\sin x) - (1-\sin x)}{x(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})}$$
$$= \frac{2\sin x}{x(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x})}$$
$$= \frac{2\sin x}{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}$$
$x \to 0$ のとき $\frac{\sin x}{x} \to 1$、$\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x} \to 1 + 1 = 2$。
$$\therefore \quad \lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x} = 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 1$$
無理式を含む三角関数の極限では、有理化が有力な手法です。分子の有理化により $\sin x$ を取り出し、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ の公式に帰着させました。