数列の極限に続き、関数の極限を学びます。$x$ がある値 $a$ に近づくとき、$f(x)$ がどのような値に近づくかを調べるのが「$x \to a$ の極限」です。左極限・右極限の概念、極限が存在する条件、そして除去可能な不連続点について解説します。
数列 $\{a_n\}$ では $n \to \infty$ のときの極限を考えましたが、関数では $x$ がある値 $a$ に近づくときの $f(x)$ の振る舞いを調べます。
$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ が一定の値 $L$ に限りなく近づくならば
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
と書き、「$x$ が $a$ に近づくとき $f(x)$ は $L$ に収束する」という。
※ $x = a$ における $f(a)$ の値は問わない。極限は「$x$ が $a$ に近づくときの振る舞い」のみに依存する。
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ と $f(a) = L$ は別の概念です。
$\bullet$ 極限値：$x$ が $a$ に「近づく」ときの $f(x)$ の値
$\bullet$ 関数値：$x = a$ を「代入した」ときの値
$f(a)$ が定義されていなくても $\lim_{x \to a} f(x)$ は存在し得ます。
問題：$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1)$ を求めよ。
解：$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$ は多項式関数なので、$x = 2$ を直接代入できる。
$$\lim_{x \to 2} (3x^2 - 5x + 1) = 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2 + 1 = 12 - 10 + 1 = 3$$
$\lim_{x \to a} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to a} g(x) = \beta$ のとき：
1. $\lim_{x \to a} \{f(x) \pm g(x)\} = \alpha \pm \beta$
2. $\lim_{x \to a} \{f(x) \cdot g(x)\} = \alpha \cdot \beta$
3. $\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{\alpha}{\beta}$（$\beta \neq 0$）
4. $\lim_{x \to a} cf(x) = c\alpha$（$c$ は定数）
$x$ が $a$ に近づく方向には「左から」と「右から」の2通りがあります。
右極限：$x$ が $a$ より大きい側から $a$ に近づくときの極限
$$\lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$
左極限：$x$ が $a$ より小さい側から $a$ に近づくときの極限
$$\lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x)$$
$\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する $\iff$ 左極限と右極限が一致する
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \lim_{x \to a-0} f(x) = \lim_{x \to a+0} f(x) = L$$
※ 左極限と右極限が異なる場合、$\lim_{x \to a} f(x)$ は存在しない。
問題：$f(x) = \dfrac{|x|}{x}$ について、$\lim_{x \to 0+0} f(x)$ と $\lim_{x \to 0-0} f(x)$ を求めよ。
解：
$x > 0$ のとき $f(x) = \dfrac{x}{x} = 1$ なので $\lim_{x \to 0+0} f(x) = 1$
$x < 0$ のとき $f(x) = \dfrac{-x}{x} = -1$ なので $\lim_{x \to 0-0} f(x) = -1$
左極限 $\neq$ 右極限 なので $\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しない。
✗ 左右の極限を確認せずに極限が存在すると断定する
✓ 絶対値や場合分けのある関数では、必ず左極限と右極限を別々に調べる
問題：$f(x) = [x]$（ガウス記号：$x$ を超えない最大の整数）について、$\lim_{x \to 2} f(x)$ を調べよ。
解：
$x \to 2+0$：$2 < x < 3$ のとき $[x] = 2$ なので $\lim_{x \to 2+0} [x] = 2$
$x \to 2-0$：$1 < x < 2$ のとき $[x] = 1$ なので $\lim_{x \to 2-0} [x] = 1$
左極限 $= 1 \neq 2 =$ 右極限 なので $\lim_{x \to 2} [x]$ は存在しない。
$\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の形で $x \to a$ のとき分母が $0$ になる場合の処理法を学びます。
問題：$\lim_{x \to 1} \dfrac{2}{(x-1)^2}$ を調べよ。
解：$x \to 1$ のとき $(x-1)^2 \to 0$ かつ $(x-1)^2 > 0$ なので
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{2}{(x-1)^2} = +\infty$$
この極限は正の無限大に発散する。
分母・分子がともに $0$ に近づく $\dfrac{0}{0}$ 型は不定形であり、因数分解や有理化で処理します。
$\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ が $\dfrac{0}{0}$ 型のとき：
方法1：因数分解 ─ 分母・分子を $(x - a)$ で因数分解して約分する
方法2：有理化 ─ 根号を含む場合、有理化して約分する
方法3：置換 ─ $t = x - a$ などと置いて計算を簡単にする
問題：$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ を求めよ。
解：$x = 2$ を直接代入すると $\dfrac{0}{0}$ 型。分子を因数分解：
$$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$
$x \neq 2$ の範囲で $(x-2)$ を約分しても、$x \to 2$ の極限には影響しない。
問題：$\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+1} - 1}{x}$ を求めよ。
解：$\dfrac{0}{0}$ 型。分子を有理化する：
$$\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x} \cdot \dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1} = \dfrac{(x+1)-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$
$$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+1} = \dfrac{1}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{1}{2}$$
Step 1：まず $x = a$ を代入してみる。
Step 2：$\dfrac{0}{0}$ 型なら因数分解・有理化で $(x - a)$ を約分する。
Step 3：約分後に再度代入して極限値を求める。
数列の極限では $\infty - \infty$ の不定形がありましたが、関数の極限では $\dfrac{0}{0}$ 型が最頻出です。
区間ごとに式が異なる場合分け関数（区分的に定義された関数）の極限では、左極限と右極限を別々に求めます。
問題：$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & (x < 1) \\ 3x - 1 & (x \geq 1) \end{cases}$ のとき、$\lim_{x \to 1} f(x)$ を求めよ。
解：
左極限：$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1-0} (x^2 + 1) = 1 + 1 = 2$
右極限：$\lim_{x \to 1+0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} (3x - 1) = 3 - 1 = 2$
左極限 $=$ 右極限 $= 2$ なので $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$。
問題：$f(x) = \begin{cases} 2x & (x < 0) \\ x + 3 & (x \geq 0) \end{cases}$ のとき、$\lim_{x \to 0} f(x)$ を求めよ。
解：
左極限：$\lim_{x \to 0-0} f(x) = \lim_{x \to 0-0} 2x = 0$
右極限：$\lim_{x \to 0+0} f(x) = \lim_{x \to 0+0} (x + 3) = 3$
左極限 $= 0 \neq 3 =$ 右極限 なので $\lim_{x \to 0} f(x)$ は存在しない。
問題：$f(x) = \begin{cases} ax + 1 & (x < 2) \\ x^2 - b & (x \geq 2) \end{cases}$ が $x = 2$ で極限をもち、$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ であるとき、$a, b$ を求めよ。
解：
左極限：$\lim_{x \to 2-0} (ax + 1) = 2a + 1$
右極限 $= f(2)$：$\lim_{x \to 2+0} (x^2 - b) = 4 - b$
極限が存在するので $2a + 1 = 4 - b$ ... (1)
さらに $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$ より、極限値と関数値が一致：$4 - b = 4 - b$（自動的に成立）。
条件が1つで未知数2つなので、解は $b = 2a - 3$（$a$ を自由にとれる）。
例えば $a = 2$ のとき $b = 1$。
✗ $x < 1$ の式を使って右極限を求める
✓ 左極限は $x < a$ 側の式、右極限は $x \geq a$（または $x > a$）側の式をそれぞれ使う
どちらの式を使うかは $x$ が $a$ にどちら側から近づくかで決まります。
$x = a$ で関数が定義されていない（または関数値が極限値と異なる）が、$\lim_{x \to a} f(x)$ は存在する場合、その不連続点を除去可能な不連続点（removable discontinuity）といいます。
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ が存在するが $f(a) \neq L$（または $f(a)$ が未定義）のとき、$x = a$ は除去可能な不連続点である。
このとき、$f(a) = L$ と定め直せば $f$ は $x = a$ で連続になる。
問題：$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$（$x \neq 1$）の $x = 1$ における極限を求め、不連続点を除去せよ。
解：
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$$
$f(1)$ は未定義だが極限は $2$。$f(1) = 2$ と定めれば $f(x) = x + 1$（全実数で連続）。
問題：$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & (x \neq 2) \\ 5 & (x = 2) \end{cases}$ について、$\lim_{x \to 2} f(x)$ と $f(2)$ を比較せよ。
解：
$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$
$f(2) = 5$
$\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq 5 = f(2)$ なので、$f$ は $x = 2$ で不連続。
ただし $f(2) = 4$ と定め直せば連続になるので、除去可能な不連続点である。
関数 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとは、次の3条件がすべて成り立つことです：
1. $f(a)$ が定義されている
2. $\lim_{x \to a} f(x)$ が存在する
3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
この関係は、次章「関数の連続性」で詳しく学びます。
数列 $\{a_n\}$ の極限（$n \to \infty$）と関数 $f(x)$ の極限（$x \to a$）には対応関係があります。
数列：$n$ は自然数のみ → 「右から」のみ考える
関数：$x$ は実数 → 「左から」と「右から」の両方を考える
数列の極限で学んだ計算法則（和・差・積・商の極限）は、関数の極限でもそのまま成り立ちます。
Q1. $\lim_{x \to 3} (2x^2 - x + 4)$ を求めよ。
Q2. $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ を求めよ。
Q3. $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$ を求めよ。
Q4. $f(x) = \begin{cases} x+2 & (x < 1) \\ 2x & (x \geq 1) \end{cases}$ のとき、$\lim_{x \to 1} f(x)$ は存在するか。
Q5. $\lim_{x \to a} f(x) = L$ かつ $f(a) = L$ が成り立つとき、$f$ は $x = a$ で何であるというか。
次の極限を求めよ。
(1) $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$
(2) $\lim_{x \to -1} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x + 1}$
(3) $\lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$
(1) $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x+3)(x-3)}{x-3} = x + 3 \to 6$
(2) $\dfrac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} = \dfrac{(x+1)(x+2)}{x+1} = x + 2 \to 1$
(3) $\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \dfrac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x}+2} \to \dfrac{1}{4}$
$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - ax}{x - a} & (x \neq a) \\ b & (x = a) \end{cases}$ が $x = a$ で連続であるとき、$b$ の値を求めよ。
$x \neq a$ のとき $\dfrac{x^2 - ax}{x - a} = \dfrac{x(x-a)}{x-a} = x$
$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} x = a$
連続性の条件 $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ より $a = b$。
よって $b = a$。
$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{|x - 2|}$ について：
(1) $\lim_{x \to 2+0} f(x)$ を求めよ。
(2) $\lim_{x \to 2-0} f(x)$ を求めよ。
(3) $\lim_{x \to 2} f(x)$ は存在するか。
(1) $x > 2$ のとき $|x-2| = x - 2$ なので
$f(x) = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2 \to 4$
(2) $x < 2$ のとき $|x-2| = -(x-2) = 2 - x$ なので
$f(x) = \dfrac{(x+2)(x-2)}{-(x-2)} = -(x+2) \to -4$
(3) 左極限 $= -4 \neq 4 =$ 右極限 なので $\lim_{x \to 2} f(x)$ は存在しない。
絶対値を含む分数関数の極限は、左右で式が変わるため必ず片側極限を求めます。$|x - a|$ は $x > a$ で $x - a$、$x < a$ で $-(x - a)$ に場合分けします。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}$$
$x = 1$ を代入：分子 $= 1 - 3 + 2 = 0$、分母 $= 1 - 1 - 1 + 1 = 0$。$\dfrac{0}{0}$ 型。
分子：$x^3 - 3x + 2 = (x-1)(x^2 + x - 2) = (x-1)(x+2)(x-1) = (x-1)^2(x+2)$
分母：$x^3 - x^2 - x + 1 = x^2(x-1) - (x-1) = (x-1)(x^2-1) = (x-1)(x+1)(x-1) = (x-1)^2(x+1)$
$$\lim_{x \to 1} \dfrac{(x-1)^2(x+2)}{(x-1)^2(x+1)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{x+2}{x+1} = \dfrac{3}{2}$$
$\frac{0}{0}$ 型で $(x-1)$ が1回の約分では不十分な場合があります。$(x-1)^2$ が共通因数であることを見抜くのがポイントです。組立除法を使うと因数分解が効率的に行えます。