2つの関数を組み合わせて新しい関数を作る「合成関数」は、関数の極限や微分法の基礎となる重要な概念です。本記事では合成関数の定義と性質、定義域の考え方、合成関数の分解、そして逆関数との関係を学びます。
2つの関数 $f$ と $g$ があるとき、$f$ の出力を $g$ の入力とすることで新しい関数を作ることができます。これを合成関数といいます。
2つの関数 $f(x)$ と $g(x)$ に対し、$f(x)$ の値域が $g$ の定義域に含まれるとき
$$(g \circ f)(x) = g(f(x))$$
を $f$ と $g$ の合成関数といい、$g \circ f$ で表す。
※ $g \circ f$ は「$g$ まる $f$」と読む。まず $f$ を適用し、次に $g$ を適用する。
合成関数の計算では、内側の関数から先に計算することがポイントです。$g(f(x))$ では、まず $f(x)$ を計算し、その結果を $g$ に代入します。
一般に、$g \circ f \neq f \circ g$ です。つまり合成関数では合成の順序が重要です。
例えば $f(x) = x + 1$, $g(x) = x^2$ のとき：
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = x^2 + 1$
このように結果が異なります。合成の順序を間違えないようにしましょう。
✗ $g \circ f$ で先に $g$ を適用する
✓ $g \circ f(x) = g(f(x))$：先に $f$ を適用し、その結果に $g$ を適用する
記号の並び順と適用の順序が逆になることに注意しましょう。
合成関数 $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ が定義されるためには、$f(x)$ の値が $g$ の定義域に含まれなければなりません。
合成関数 $g \circ f$ の定義域は、次の条件をともに満たす $x$ の集合です：
1. $x$ が $f$ の定義域に含まれる
2. $f(x)$ が $g$ の定義域に含まれる
すなわち、$g \circ f$ の定義域 $= \{x \mid x \in D_f \text{ かつ } f(x) \in D_g\}$
問題：$f(x) = x - 2$, $g(x) = \sqrt{x}$ のとき、$(g \circ f)(x)$ とその定義域を求めよ。
解：$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x-2) = \sqrt{x-2}$
$g(x) = \sqrt{x}$ の定義域は $x \geq 0$ なので、$f(x) = x - 2 \geq 0$ が必要。
よって $x \geq 2$。定義域は $\{x \mid x \geq 2\}$。
問題：$f(x) = \sqrt{x}$, $g(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ のとき、$(g \circ f)(x)$ とその定義域を求めよ。
解：$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}$
条件1：$f(x) = \sqrt{x}$ より $x \geq 0$
条件2：$g$ の定義域は $x \neq 1$ なので、$f(x) = \sqrt{x} \neq 1$、すなわち $x \neq 1$
よって定義域は $\{x \mid x \geq 0 \text{ かつ } x \neq 1\}$。
Step 1：内側の関数 $f(x)$ の定義域を確認する。
Step 2：$f(x)$ の値が外側の関数 $g$ の定義域に入る条件を求める。
Step 3：Step 1 と Step 2 の共通部分が合成関数の定義域。
さまざまな関数の合成を通じて計算に慣れましょう。
問題：$f(x) = 2x + 3$, $g(x) = x^2 - 1$ のとき、$(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。
解：
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) = (2x+3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 9 - 1 = 4x^2 + 12x + 8$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 + 1$
$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$ であることが確認できる。
問題：$f(x) = 2x$, $g(x) = \sin x$ のとき、$(g \circ f)(x)$ と $(f \circ g)(x)$ を求めよ。
解：
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(2x) = \sin 2x$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\sin x) = 2\sin x$
$\sin 2x = 2\sin x \cos x$ なので、一般に $\sin 2x \neq 2\sin x$。
同じ関数を繰り返し合成することもあります。$f$ を $n$ 回合成したものを $f^n$ と書きます。
問題：$f(x) = \dfrac{x}{x+1}$（$x \neq -1$）のとき、$f^2(x) = (f \circ f)(x)$, $f^3(x)$ を求めよ。
解：
$f^2(x) = f(f(x)) = f\!\left(\dfrac{x}{x+1}\right) = \dfrac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x}{x+1}+1} = \dfrac{\frac{x}{x+1}}{\frac{x+x+1}{x+1}} = \dfrac{x}{2x+1}$
$f^3(x) = f(f^2(x)) = f\!\left(\dfrac{x}{2x+1}\right) = \dfrac{\frac{x}{2x+1}}{\frac{x}{2x+1}+1} = \dfrac{x}{3x+1}$
規則性から $f^n(x) = \dfrac{x}{nx+1}$ と予想できる。
複雑な関数を「内側の関数」と「外側の関数」の合成に分解する技法は、微分法（連鎖律）で不可欠になります。
複雑な関数 $h(x)$ が与えられたとき、$h(x) = g(f(x))$ と表せるような $f$ と $g$ を見つける。
典型的な方法は、式の中の「ひとまとまり」を $t = f(x)$ と置き換えること。
問題：次の関数を $h(x) = g(f(x))$ の形に分解せよ。
(1) $h(x) = (3x + 1)^5$
(2) $h(x) = \sqrt{x^2 + 4}$
(3) $h(x) = \sin(2x + \pi)$
解：
(1) $f(x) = 3x + 1$, $g(t) = t^5$ とおくと $h(x) = g(f(x)) = (3x+1)^5$
(2) $f(x) = x^2 + 4$, $g(t) = \sqrt{t}$ とおくと $h(x) = g(f(x)) = \sqrt{x^2+4}$
(3) $f(x) = 2x + \pi$, $g(t) = \sin t$ とおくと $h(x) = g(f(x)) = \sin(2x+\pi)$
合成関数を分解するときは、関数の中の「ひとかたまり」に注目します。
べき乗の場合：$(\cdots)^n$ の「$\cdots$」が内側の関数
根号の場合：$\sqrt{\cdots}$ の「$\cdots$」が内側の関数
三角関数の場合：$\sin(\cdots)$ の「$\cdots$」が内側の関数
この分解は、数学IIIの微分法で学ぶ連鎖律（合成関数の微分）の基礎になります。
問題：$h(x) = e^{\sin 2x}$ を3つの関数の合成に分解せよ。
解：$f(x) = 2x$, $g(t) = \sin t$, $k(u) = e^u$ とおくと
$h(x) = k(g(f(x))) = k(g(2x)) = k(\sin 2x) = e^{\sin 2x}$
すなわち $h = k \circ g \circ f$。
✗ 分解方法はただ一つしかないと思い込む
✓ 分解方法は複数ある場合がある。文脈に応じて適切に分解する
例：$h(x) = (2x+1)^6$ は $f(x) = 2x+1, g(t) = t^6$ のほか、$f(x) = (2x+1)^2, g(t) = t^3$ などとも分解可能。
前回学んだ逆関数と合成関数には重要な関係があります。
関数 $f$ の逆関数 $f^{-1}$ が存在するとき
$$(f^{-1} \circ f)(x) = x \quad \text{（$f$ の定義域上）}$$
$$(f \circ f^{-1})(y) = y \quad \text{（$f$ の値域上）}$$
※ $f$ と $f^{-1}$ を合成すると恒等関数（何もしない関数）になる。
問題：$f(x) = 2x + 3$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、$(f^{-1} \circ f)(x) = x$ を確かめよ。
解：$y = 2x + 3$ より $x = \dfrac{y - 3}{2}$。よって $f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}$。
$(f^{-1} \circ f)(x) = f^{-1}(f(x)) = f^{-1}(2x+3) = \dfrac{(2x+3)-3}{2} = \dfrac{2x}{2} = x$ ✓
$(f \circ f^{-1})(x) = f\!\left(\dfrac{x-3}{2}\right) = 2 \cdot \dfrac{x-3}{2} + 3 = x - 3 + 3 = x$ ✓
問題：$f(x) = e^x$, $g(x) = \ln x$（$x > 0$）について、$f \circ g$ と $g \circ f$ を求めよ。
解：
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(\ln x) = e^{\ln x} = x$ （$x > 0$）
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(e^x) = \ln(e^x) = x$ （すべての実数 $x$）
$e^x$ と $\ln x$ は互いに逆関数であるため、合成すると恒等関数になる。
逆関数 $f^{-1}$ が存在するためには、$f$ が単射（1対1の対応）でなければなりません。
$f$ が単射であれば $f^{-1} \circ f = \text{id}$（恒等関数）が成り立ち、合成によって元に戻ることが保証されます。
数学IIIでは $e^x$ と $\ln x$、$\sin x$（制限あり）と $\arcsin x$ などが典型例です。
合成関数の概念は、数学IIIの微分法で中心的な役割を果たします。
連鎖律（Chain Rule）：$\{g(f(x))\}' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$
この公式を正しく使うには、まず合成関数を正確に分解する力が必要です。
本節で学んだ分解の考え方を、微分の学習にそのまま活かしましょう。
Q1. $f(x) = x + 2$, $g(x) = 3x$ のとき、$(g \circ f)(x)$ を求めよ。
Q2. $f(x) = x^2$, $g(x) = \sqrt{x}$（$x \geq 0$）のとき、$(g \circ f)(x)$ はどうなるか。定義域にも注意せよ。
Q3. $h(x) = \cos(x^2 + 1)$ を $h(x) = g(f(x))$ の形に分解せよ。
Q4. $f(x) = 3x - 1$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。
Q5. $f(x) = e^{2x}$ のとき、$f^{-1}(x)$ を求め、$(f^{-1} \circ f)(x) = x$ を確かめよ。
$f(x) = x^2 - 2x$, $g(x) = x + 3$ のとき、次を求めよ。
(1) $(g \circ f)(x)$
(2) $(f \circ g)(x)$
(3) $(f \circ f)(2)$
(1) $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = (x^2 - 2x) + 3 = x^2 - 2x + 3$
(2) $(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x+3)^2 - 2(x+3) = x^2 + 6x + 9 - 2x - 6 = x^2 + 4x + 3$
(3) $f(2) = 4 - 4 = 0$, $(f \circ f)(2) = f(f(2)) = f(0) = 0 - 0 = 0$
$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$, $g(x) = \dfrac{1}{x}$ のとき、$(g \circ f)(x)$ の定義域を求めよ。
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = \dfrac{1}{\sqrt{4-x^2}}$
条件1：$f(x) = \sqrt{4 - x^2}$ の定義域は $4 - x^2 \geq 0$、すなわち $-2 \leq x \leq 2$。
条件2：$g(x) = \frac{1}{x}$ の定義域は $x \neq 0$ なので $f(x) = \sqrt{4-x^2} \neq 0$。
$\sqrt{4-x^2} = 0$ のとき $x = \pm 2$。
よって定義域は $\{x \mid -2 < x < 2\}$、すなわち開区間 $(-2, 2)$。
$f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}$（$x \neq 1$）について：
(1) 逆関数 $f^{-1}(x)$ を求めよ。
(2) $(f \circ f)(x)$ を求め、$f \circ f$ が恒等関数であることを示せ。
(1) $y = \dfrac{2x+1}{x-1}$ より $y(x-1) = 2x + 1$、$xy - y = 2x + 1$、$x(y-2) = y + 1$、$x = \dfrac{y+1}{y-2}$
よって $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$（$x \neq 2$）。
(2) $(f \circ f)(x) = f\!\left(\dfrac{2x+1}{x-1}\right) = \dfrac{2 \cdot \frac{2x+1}{x-1} + 1}{\frac{2x+1}{x-1} - 1} = \dfrac{\frac{4x+2+x-1}{x-1}}{\frac{2x+1-x+1}{x-1}} = \dfrac{5x+1}{x+2}$
計算を確認：分子 $= 2(2x+1) + (x-1) = 4x + 2 + x - 1 = 5x + 1$
分母 $= (2x+1) - (x-1) = x + 2$
$(f \circ f)(x) = \dfrac{5x+1}{x+2}$。ここで $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ なので $f = f^{-1}$ ではない。
再計算すると、$f \circ f \neq \text{id}$ であるため、$f$ は自身の逆関数ではない。実際 $f^{-1}(x) = \dfrac{x+1}{x-2} \neq f(x)$。
$f \circ f = \text{id}$（対合）となるのは $f = f^{-1}$ の場合です。例えば $g(x) = \frac{1}{x}$ は $g \circ g = \text{id}$ です。本問の $f$ は対合ではありませんが、逆関数との合成 $f^{-1} \circ f = \text{id}$ は常に成り立ちます。
$f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$（$x \neq 1$）について：
(1) $f^2(x) = (f \circ f)(x)$ を求めよ。
(2) $f^3(x), f^4(x)$ を求め、$f^n(x)$ の周期性を述べよ。
(1) $f^2(x) = f\!\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right) = \dfrac{\frac{x+1}{x-1}+1}{\frac{x+1}{x-1}-1} = \dfrac{\frac{x+1+x-1}{x-1}}{\frac{x+1-x+1}{x-1}} = \dfrac{2x}{2} = x$
すなわち $f^2(x) = x$（恒等関数）。
(2) $f^2 = \text{id}$ より
$f^3(x) = f(f^2(x)) = f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$
$f^4(x) = f^2(f^2(x)) = x$
したがって、$f^n(x)$ は周期 $2$ で繰り返す：
$n$ が偶数のとき $f^n(x) = x$、$n$ が奇数のとき $f^n(x) = \dfrac{x+1}{x-1}$
$f \circ f = \text{id}$ となる関数を対合（involution）といいます。$f(x) = \frac{x+1}{x-1}$ は自分自身が逆関数（$f = f^{-1}$）になっている典型的な対合です。この性質は1次分数変換 $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ で $a + d = 0$ のときに成り立ちます。