関数の極限の応用
─ パラメータ決定と漸近解析

問題：$f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{x + 1}$ の漸近線をすべて求めよ。

解：割り算を実行する。$f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x + 1}{x + 1} = 2x + 1$（$x \neq -1$）

$2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1)$ なので、$x \neq -1$ のとき $f(x) = 2x + 1$。

この関数は $x = -1$ で定義されないが、直線 $y = 2x + 1$ そのものである。つまり漸近線はなく、$x = -1$ に穴がある。

別の例：$g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}$ の場合。

$g(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}$

$\displaystyle\lim_{x \to 1+} g(x) = +\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to 1-} g(x) = -\infty$ → 垂直漸近線 $x = 1$

$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} (g(x) - (x+1)) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{x-1} = 0$ → 斜め漸近線 $y = x + 1$

問題：$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ を満たす定数 $a, b$ を求めよ。

解：$x \to 1$ で分母 $\to 0$ なので、極限が有限値として存在するためには分子 $\to 0$ が必要。

$1 + a + b = 0$ ……①

分子 $= x^2 + ax + b = (x - 1)(x - \alpha)$（$1 + a + b = 0$ から $x = 1$ が因数）

$x^2 + ax + b = (x - 1)(x - (-a - 1)) = (x - 1)(x + a + 1)$（因数定理より）

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x + a + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + a + 1) = 1 + a + 1 = a + 2$

$a + 2 = 3$ より $a = 1$。①より $b = -1 - 1 = -2$。

よって $a = 1,\ b = -2$。

問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax} - x + 2\right) = 0$ を満たす $a$ の値を求めよ。

解：$\sqrt{x^2 + ax} - x = \dfrac{(x^2 + ax) - x^2}{\sqrt{x^2 + ax} + x} = \dfrac{ax}{\sqrt{x^2 + ax} + x}$

$x > 0$ のとき分子分母を $x$ で割ると：$\dfrac{a}{\sqrt{1 + \frac{a}{x}} + 1} \to \dfrac{a}{2}$（$x \to \infty$）

$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + ax} - x + 2\right) = \frac{a}{2} + 2 = 0$ より $a = -4$。

問題：$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin 3x}{x} & (x \neq 0) \\ a & (x = 0) \end{cases}$ が $x = 0$ で連続となるような定数 $a$ を求めよ。

解：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$

連続であるためには $f(0) = a = 3$。

問題：$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & (x \leq 1) \\ \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & (x > 1) \end{cases}$ が $x = 1$ で連続となるような定数 $a, b$ の関係を求めよ。

解：右極限：$\displaystyle\lim_{x \to 1+} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1+} (x + 1) = 2$

左極限：$\displaystyle\lim_{x \to 1-} (x^2 + ax + b) = 1 + a + b$

関数値：$f(1) = 1 + a + b$

連続条件：$1 + a + b = 2$ すなわち $a + b = 1$。

問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x - b\right) = 0$ を満たす定数 $a, b$ を求めよ。

解：$\sqrt{4x^2 + ax + 1} = 2x\sqrt{1 + \frac{a}{4x} + \frac{1}{4x^2}}$

$x \to \infty$ で $\sqrt{1 + t} \approx 1 + \frac{t}{2} - \frac{t^2}{8} + \cdots$ を利用（$t = \frac{a}{4x} + \frac{1}{4x^2}$）：

$\sqrt{4x^2 + ax + 1} \approx 2x\left(1 + \frac{a}{8x} + \cdots\right) = 2x + \frac{a}{4} + \cdots$

$\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x - b \approx \frac{a}{4} - b + \cdots \to \frac{a}{4} - b$

別解（有理化）：$\sqrt{4x^2 + ax + 1} - 2x = \dfrac{ax + 1}{\sqrt{4x^2 + ax + 1} + 2x}$

$= \dfrac{a + \frac{1}{x}}{\sqrt{4 + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2}} + 2} \to \dfrac{a}{4}$（$x \to \infty$）

よって $\dfrac{a}{4} - b = 0$ すなわち $b = \dfrac{a}{4}$。

ここで $a$ は任意。問題で極限値が $0$ と指定されているので、$b = \dfrac{a}{4}$ が必要十分条件。

問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + 1}{x^2 + 2x + 3} = 2$ を満たす $a$ を求めよ。

解：$\frac{\infty}{\infty}$ 型。分子分母を $x^2$ で割る。

$\dfrac{a + \frac{b}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} \to \dfrac{a}{1} = a$

$a = 2$。（$b$ は極限値に影響しないため任意。）

問題：$f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 1}$ のグラフの概形を極限を用いて調べよ。

解：定義域：$x \neq \pm 1$。$f(x) = \dfrac{x}{(x-1)(x+1)}$

垂直漸近線：$\displaystyle\lim_{x \to 1\pm} f(x) = \pm\infty$, $\displaystyle\lim_{x \to -1\pm} f(x) = \mp\infty$ → $x = 1, x = -1$

水平漸近線：$\displaystyle\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{1 - 1/x^2} = 0$ → $y = 0$

$f(0) = 0$（原点を通る）、$f(-x) = -f(x)$（奇関数：原点対称）

これらの情報から、グラフは3つの区間 $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$ に分かれ、各漸近線に沿ったふるまいを示す曲線となる。