極限を求めるとき、直接代入すると $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$ などの「不定形」が現れることがあります。不定形とは「この形だけでは極限値が確定しない」ことを意味し、適切な変形が必要です。本記事では関数の極限における6種類の不定形を体系的に整理し、それぞれの処理テクニックを習得します。
極限において、形式的に代入すると答えが確定しない形を不定形（indeterminate form）といいます。不定形はあくまで「このままでは極限が分からない」という合図であり、適切な変形をすれば極限値を求めることができます。
$$\frac{0}{0}, \quad \frac{\infty}{\infty}, \quad \infty - \infty, \quad 0 \cdot \infty, \quad 1^\infty, \quad 0^0, \quad \infty^0$$
※ 高校数学IIIでは前の4つが頻出。$1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ は発展的内容。
| 不定形 | 典型例 | 主な処理法 |
|---|---|---|
| $\frac{0}{0}$ | $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}$ | 因数分解、有理化、公式利用 |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | $\lim_{x \to \infty}\frac{x^2+1}{3x^2-x}$ | 最高次で割る |
| $\infty - \infty$ | $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$ | 有理化、通分 |
| $0 \cdot \infty$ | $\lim_{x \to +0} x \log x$ | $\frac{0}{0}$ か $\frac{\infty}{\infty}$ に変形 |
| $1^\infty$ | $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ | 対数をとる、$e$ の定義利用 |
| $0^0$ | $\lim_{x \to +0} x^x$ | 対数をとる |
| $\infty^0$ | $\lim_{x \to \infty} x^{1/x}$ | 対数をとる |
原則：不定形を解消する変形を行い、不定形でない形にしてから極限をとる。
Step 1：まず形式的に代入して、不定形の型を特定する
Step 2：型に応じた変形テクニックを適用する
Step 3：変形後、改めて極限を計算する
✗ 「$\frac{1}{0}$」を不定形と呼ぶ
✓ $\frac{1}{0}$ は不定形ではなく発散（$\pm \infty$）。$\frac{0}{0}$ や $\frac{\infty}{\infty}$ だけが不定形
$\frac{a}{0}$（$a \neq 0$）は $\pm\infty$ に発散、$\frac{0}{a}$（$a \neq 0$）は $0$、$\frac{a}{\infty}$ は $0$ など、これらは確定した答えがあるので不定形ではありません。
最も頻出の不定形です。分子・分母がともに $0$ に近づくので、その「$0$ への近づき方の比」が極限値を決めます。
分子・分母に共通因子がある場合、約分して $\frac{0}{0}$ を解消します。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$
解：$x = 2$ を代入すると $\frac{0}{0}$（不定形）。
$$\frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \frac{x+2}{x-1} \quad (x \neq 2)$$
$$\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-1} = \frac{4}{1} = 4$$
根号を含む式では、共役な式を掛けて有理化します。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$
解：$x = 0$ で $\frac{0}{0}$ 型。分子を有理化する。
$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}$$
$$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$$
1. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
3. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = 1$
4. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^\alpha - 1}{x} = \alpha$
※ いずれも $x \to 0$ で $\frac{0}{0}$ 型であり、これ自体が不定形処理の結果。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x} - 1}{\sin 2x}$
解：$x = 0$ で $\frac{0}{0}$ 型。分子・分母をそれぞれ $x$ で割る。
$$\frac{e^{3x}-1}{\sin 2x} = \frac{\frac{e^{3x}-1}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \frac{3 \cdot \frac{e^{3x}-1}{3x}}{2 \cdot \frac{\sin 2x}{2x}}$$
$x \to 0$ のとき $3x \to 0$, $2x \to 0$ なので $\frac{e^{3x}-1}{3x} \to 1$, $\frac{\sin 2x}{2x} \to 1$
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{\sin 2x} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$$
$\frac{0}{0}$ 型で $f$, $g$ が微分可能なら $\displaystyle\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が使えます（ロピタルの定理）。
これは微分法を学んでから活用する強力な定理ですが、高校の答案では「ロピタルの定理より」と書くと減点される場合があるので注意してください。基本公式や変形で解くのが安全です。
$x \to \infty$ で分子・分母がともに $\infty$ に発散する場合です。「$\infty$ の大きさの比較」が本質です。
$$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots}{b_m x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots} = \begin{cases} \dfrac{a_n}{b_m} & (n = m) \\ 0 & (n < m) \\ \pm\infty & (n > m) \end{cases}$$
※ 分子・分母を $x^m$（分母の最高次）で割れば導ける。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - x + 4}{2x^2 + 5x}$
解：$x \to \infty$ で $\frac{\infty}{\infty}$ 型。分子・分母を $x^2$ で割る。
$$\frac{3x^2 - x + 4}{2x^2 + 5x} = \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{4}{x^2}}{2 + \frac{5}{x}}$$
$x \to \infty$ のとき $\frac{1}{x} \to 0$, $\frac{4}{x^2} \to 0$, $\frac{5}{x} \to 0$ なので、
$$\lim_{x \to \infty} = \frac{3-0+0}{2+0} = \frac{3}{2}$$
指数関数と多項式が混在する場合は、支配的な項（最も速く増大する項）で割ります。増大の速さの序列を把握しておくことが重要です。
$$(\log x)^\alpha \ll x^\beta \ll a^x \ll x! \ll x^x \quad (a > 1,\ \alpha > 0,\ \beta > 0)$$
※ 「$\ll$」は「十分大きい $x$ で圧倒的に小さい」の意味。右にいくほど速く増大する。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x}$
解：$\frac{\infty}{\infty}$ 型。$e^x$ の方が $x^3$ より圧倒的に速く増大する。
$e^x > \frac{x^4}{4!}$（$x > 0$、$e^x$ のテイラー展開の一部）より、
$$0 < \frac{x^3}{e^x} < \frac{x^3}{\frac{x^4}{24}} = \frac{24}{x} \to 0$$
はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^x} = 0$
実用上は「分子と分母で、より速く増大する方が支配する」と考えます。
指数 vs 多項式：$\frac{x^n}{a^x} \to 0$（指数の勝ち）
多項式 vs 対数：$\frac{(\log x)^n}{x^\alpha} \to 0$（多項式の勝ち）
$\infty - \infty$ は「大きい数から大きい数を引く」形で、その差が収束するか発散するかは個別に調べないと分かりません。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)$
解：$x \to \infty$ で $\sqrt{x^2+3x} \to \infty$, $x \to \infty$ なので $\infty - \infty$ 型。
共役な式を掛けて有理化する。
$$\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right) \cdot \frac{\sqrt{x^2+3x}+x}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}$$
分子・分母を $x$（$> 0$）で割る。
$$= \frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}$$
$x \to \infty$ のとき $\frac{3}{x} \to 0$ なので、
$$\lim_{x \to \infty} = \frac{3}{\sqrt{1}+1} = \frac{3}{2}$$
問題：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x}\right)$
解：$x \to 0$ で $\frac{1}{\sin x} \to \infty$, $\frac{1}{x} \to \infty$ なので $\infty - \infty$ 型。
通分する。
$$\frac{1}{\sin x} - \frac{1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}$$
$x \to 0$ で分子 $x - \sin x \to 0$、分母 $x \sin x \to 0$ なので $\frac{0}{0}$ 型に帰着。
$\sin x \approx x - \frac{x^3}{6}$ より $x - \sin x \approx \frac{x^3}{6}$
$x \sin x \approx x \cdot x = x^2$
$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{6} = 0$$
問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(e^{x+1} - e^x\right)$
解：共通因子でくくる。
$$e^{x+1} - e^x = e^x(e - 1)$$
$e - 1 > 0$ なので $e^x(e-1) \to \infty$。
この場合は不定形ではなく、単純に $\infty$ に発散。
✗ $\infty - \infty = 0$ と安易に計算する
✓ $\infty - \infty$ は $0$, 有限値, $\pm\infty$ のいずれにもなりうる。必ず変形して確認する
例：$x - x = 0$, $\sqrt{x^2+x} - x \to \frac{1}{2}$, $(x^2-x) \to \infty$ と結果は様々です。
$f(x) \to 0$, $g(x) \to \infty$ のとき $f(x) \cdot g(x)$ は不定形です。$\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ に変形します。
$$f(x) \cdot g(x) = \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} \quad \left(\frac{0}{0}\text{ 型}\right) \quad \text{または} \quad \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}} \quad \left(\frac{\infty}{\infty}\text{ 型}\right)$$
問題：$\displaystyle\lim_{x \to +0} x \log x$
解：$x \to +0$ で $x \to 0$, $\log x \to -\infty$ なので $0 \cdot \infty$ 型。
$t = \frac{1}{x}$（$x \to +0$ のとき $t \to +\infty$）と置換する。
$$x \log x = \frac{1}{t} \cdot \log\frac{1}{t} = \frac{-\log t}{t}$$
$\frac{\infty}{\infty}$ 型。対数は多項式より遅く増大するので、
$$\lim_{t \to \infty} \frac{\log t}{t} = 0$$
$$\therefore\ \lim_{x \to +0} x \log x = 0$$
底が $1$ に近づき、指数が $\infty$ に発散するケースです。ネイピア数 $e$ の定義と密接に関わります。
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$$
$$\lim_{x \to 0}\left(1 + ax\right)^{\frac{1}{x}} = e^a$$
※ $a = 1$ とおけばネイピア数 $e$ の定義 $\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$ に一致。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x}$
解：$1 + \frac{3}{x} \to 1$, 指数 $2x \to \infty$ なので $1^\infty$ 型。
$$\left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} = \left[\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x\right]^2$$
$\displaystyle\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^x = e^3$ より、
$$\lim_{x \to \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{2x} = (e^3)^2 = e^6$$
これらの型は対数をとることで処理します。$y = f(x)^{g(x)}$ のとき $\log y = g(x) \cdot \log f(x)$ と変形し、$0 \cdot \infty$ 型に帰着させます。
問題：$\displaystyle\lim_{x \to +0} x^x$
解：$x \to +0$ で底 $\to 0$、指数 $\to 0$ なので $0^0$ 型。
$y = x^x$ とおくと $\log y = x \log x$。
先ほどの結果より $\displaystyle\lim_{x \to +0} x \log x = 0$。
よって $\displaystyle\lim_{x \to +0} \log y = 0$ なので、
$$\lim_{x \to +0} y = \lim_{x \to +0} x^x = e^0 = 1$$
問題：$\displaystyle\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}$
解：$x \to \infty$ で底 $\to \infty$、指数 $\frac{1}{x} \to 0$ なので $\infty^0$ 型。
$y = x^{1/x}$ とおくと $\log y = \frac{\log x}{x}$。
$\frac{\infty}{\infty}$ 型だが、対数は多項式より遅く増大するので $\frac{\log x}{x} \to 0$。
$$\lim_{x \to \infty} x^{1/x} = e^0 = 1$$
あらゆる不定形は、最終的に $\frac{0}{0}$ か $\frac{\infty}{\infty}$ に帰着できます。
$0 \cdot \infty$：逆数をとって $\frac{0}{0}$ か $\frac{\infty}{\infty}$ へ
$\infty - \infty$：有理化か通分で $\frac{0}{0}$ へ
$1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$：対数をとって $0 \cdot \infty$ へ → さらに $\frac{0}{0}$ か $\frac{\infty}{\infty}$ へ
$\lim \log y = L$ が分かったら $\lim y = e^L$ と戻すことを忘れないようにしましょう。
これは $e^t$（指数関数）が連続であることを使っています。$\lim e^{\log y} = e^{\lim \log y}$。
Q1. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ の不定形の型と答えを求めよ。
Q2. $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x}$ を求めよ。
Q3. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 + 1}{5x^3 - x}$ を求めよ。
Q4. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+2x} - x)$ を求めよ。
Q5. $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}$ を求めよ。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - e^{-x}}{x}$$
$x = 0$ で $\frac{e^0 - e^0}{0} = \frac{0}{0}$ 型。
$$\frac{e^{2x}-e^{-x}}{x} = \frac{e^{2x}-1}{x} + \frac{1-e^{-x}}{x} = 2 \cdot \frac{e^{2x}-1}{2x} + \frac{e^{-x}(e^x - 1) \cdot \frac{1}{e^{-x}} \cdot \frac{1}{1}}{x}$$
もっと簡潔に：
$$\frac{e^{2x}-e^{-x}}{x} = \frac{e^{2x}-1}{x} - \frac{e^{-x}-1}{x}$$
$= 2 \cdot \dfrac{e^{2x}-1}{2x} - (-1) \cdot \dfrac{e^{-x}-1}{-x}$
$\to 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 = 2 + 1 = 3$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}{x}$$
$x = 0$ で $\frac{0}{0}$ 型。分子を有理化する。
$$\frac{\sqrt{1+\sin x}-\sqrt{1-\sin x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}$$
$$= \frac{(1+\sin x)-(1-\sin x)}{x\left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\right)} = \frac{2\sin x}{x\left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}\right)}$$
$$= \frac{2 \cdot \frac{\sin x}{x}}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1-\sin x}}$$
$x \to 0$ のとき $\frac{\sin x}{x} \to 1$, $\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x} \to 1 + 1 = 2$
$$\lim_{x \to 0} = \frac{2 \cdot 1}{2} = 1$$
$\frac{0}{0}$ 型で根号の差が分子にある場合は、有理化が定石です。有理化した後に $\frac{\sin x}{x} \to 1$ を利用するのがポイントです。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to \infty} \left(\sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x + 1}\right)$$
$\infty - \infty$ 型。有理化する。
$$\frac{(x^2+x+1)-(x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}$$
分子・分母を $x$（$> 0$）で割る。
$$= \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}$$
$x \to \infty$ で $\to \dfrac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}} = \dfrac{2}{2} = 1$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}$$
$x \to 0$ で $\frac{\sin x}{x} \to 1$, $\frac{1}{x^2} \to \infty$ なので $1^\infty$ 型。
$y = \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2}$ とおくと $\log y = \frac{1}{x^2} \log\frac{\sin x}{x}$。
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$ より $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \cdots$
$\log(1+t) \approx t$ ($t \to 0$) を用いると、$t = \frac{\sin x}{x} - 1 \approx -\frac{x^2}{6}$ なので
$\log\frac{\sin x}{x} \approx -\frac{x^2}{6}$
$$\frac{1}{x^2}\log\frac{\sin x}{x} \approx \frac{1}{x^2}\cdot\left(-\frac{x^2}{6}\right) = -\frac{1}{6}$$
$\displaystyle\lim_{x \to 0} \log y = -\frac{1}{6}$
$$\therefore\ \lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{1/x^2} = e^{-1/6} = \frac{1}{\sqrt[6]{e}}$$
$1^\infty$ 型は「対数をとる → $0 \cdot \infty$ に帰着 → マクローリン展開で評価」という三段階の手順で処理します。$\sin x$ のテイラー展開と $\log(1+t) \approx t$ の近似が鍵です。このタイプは難関大入試で出題されることがあります。