数列の極限を直接求めることが難しい場合でも、上と下から別の数列で挟み込めば極限が確定します。この「はさみうちの原理」は、三角関数を含む数列やガウス記号を含む数列の極限を求める際に不可欠な道具です。本記事では原理の正確な理解から典型的な応用パターンまでを体系的に学びます。
数列 $\{a_n\}$ の極限を直接計算できない場合、$a_n$ を上下から挟む2つの数列を用いて極限を求める手法がはさみうちの原理（squeeze theorem）です。
数列 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$, $\{c_n\}$ が、ある番号 $N$ 以降のすべての $n \geq N$ に対して
$$b_n \leq a_n \leq c_n$$
を満たし、かつ
$$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$$
ならば、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ が成り立つ。
※ 不等式は「ある番号以降」で成り立てばよく、有限個の例外は問題にならない。
$\dfrac{\sin n}{n}$ のような数列は、分子の $\sin n$ が $-1$ と $1$ の間を不規則に振動するため、極限の四則演算だけでは扱えません。しかし $-\dfrac{1}{n} \leq \dfrac{\sin n}{n} \leq \dfrac{1}{n}$ と挟めば、両側が $0$ に収束するので、はさみうちの原理から $\dfrac{\sin n}{n} \to 0$ がわかります。
はさみうちの原理は直感的には当然に見えますが、$\varepsilon$-$N$ 論法を用いて厳密に証明できます。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} b_n = \alpha$, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} c_n = \alpha$ とする。
任意の $\varepsilon > 0$ に対して、極限の定義より：
$n \geq N_1 \Rightarrow |b_n - \alpha| < \varepsilon$ すなわち $\alpha - \varepsilon < b_n$
$n \geq N_2 \Rightarrow |c_n - \alpha| < \varepsilon$ すなわち $c_n < \alpha + \varepsilon$
$N_0 = \max(N, N_1, N_2)$ とおくと、$n \geq N_0$ のとき：
$$\alpha - \varepsilon < b_n \leq a_n \leq c_n < \alpha + \varepsilon$$
よって $|a_n - \alpha| < \varepsilon$ が成り立つ。
$\varepsilon > 0$ は任意だったので、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ が示された。 $\square$
数直線上で考えると、$b_n$ と $c_n$ が同じ値 $\alpha$ に近づいているとき、その間に挟まれた $a_n$ は逃げ場がなく、やはり $\alpha$ に向かうしかありません。これが「はさみうち」の名前の由来です。
グラフでは、$y = b_n$ と $y = c_n$ の2本の曲線が $y = \alpha$ に収束していく中で、$y = a_n$ のグラフがその間に閉じ込められる様子をイメージしてください。
誤：$b_n \leq a_n \leq c_n$ で $b_n \to 0$, $c_n \to 1$ だから $a_n$ は $0$ と $1$ の間に収束する
正：はさみうちの原理は $b_n$ と $c_n$ の極限が一致するときのみ使える。一致しなければ $a_n$ の極限は確定しない。
はさみうちの原理の最も典型的な応用は、$\sin$ や $\cos$ を含む数列の極限です。
すべての $n$ に対して $-1 \leq \sin n \leq 1$ なので、$n > 0$ で各辺を $n$ で割ると：
$$-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = 0$, $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ なので、はさみうちの原理より：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin n}{n} = 0$$
$(-1)^n$ は $1$ と $-1$ を交互に繰り返しますが：
$$-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$$
両側とも $0$ に収束するので、はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n}{n} = 0$ です。
$0 \leq \cos^2 n \leq 1$ なので：
$$0 \leq \frac{n \cos^2 n}{n^2 + 1} \leq \frac{n}{n^2 + 1} = \frac{1}{n + \frac{1}{n}}$$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + \frac{1}{n}} = 0$ なので、はさみうちの原理より極限は $0$ です。
ポイント：$|\sin n| \leq 1$, $|\cos n| \leq 1$ を用いて振動部分を定数で評価する。
$\dfrac{f(n) \cdot \sin(\cdots)}{g(n)} \to 0$ を示すには、$\left|\dfrac{f(n)}{g(n)}\right| \to 0$ を示せばよい。
誤：$\sin(n\pi) = \sin n$ としてしまう
正：$\sin(n\pi) = 0$（すべての整数 $n$ で成立）なので、$\dfrac{\sin(n\pi)}{n} = 0$。はさみうちの原理は不要。
$\sin n$ は $n$ がラジアンの値であり、不規則に振動します。$\sin(n\pi)$ とは全く異なります。
ガウス記号 $[x]$ は $x$ を超えない最大の整数を表します。小数部分は $\{x\} = x - [x]$ で定義されます。これらを含む数列の極限もはさみうちの原理が有効です。
任意の実数 $x$ に対して：
$$x - 1 < [x] \leq x$$
同値な表現：$[x] \leq x < [x] + 1$
この不等式がはさみうちの原理と組み合わせて使われる。
$\sqrt{n} - 1 < [\sqrt{n}] \leq \sqrt{n}$ の各辺を $n > 0$ で割ると：
$$\frac{\sqrt{n} - 1}{n} < \frac{[\sqrt{n}]}{n} \leq \frac{\sqrt{n}}{n}$$
$$\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{n} < \frac{[\sqrt{n}]}{n} \leq \frac{1}{\sqrt{n}}$$
$n \to \infty$ のとき、左辺 $\to 0$, 右辺 $\to 0$ なので、はさみうちの原理より：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{[\sqrt{n}]}{n} = 0$$
$n\sqrt{2} - 1 < [n\sqrt{2}] \leq n\sqrt{2}$ の各辺を $n$ で割ると：
$$\sqrt{2} - \frac{1}{n} < \frac{[n\sqrt{2}]}{n} \leq \sqrt{2}$$
$n \to \infty$ のとき、左辺 $\to \sqrt{2}$, 右辺 $= \sqrt{2}$ なので、はさみうちの原理より：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{[n\sqrt{2}]}{n} = \sqrt{2}$$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{[f(n)]}{g(n)}$ を求めるには：
Step 1：$f(n) - 1 < [f(n)] \leq f(n)$ を利用して不等式を作る
Step 2：各辺を $g(n)$ で割る
Step 3：$n \to \infty$ で両側の極限が一致することを確認し、はさみうちの原理を適用
$10^n \pi - 1 < [10^n \pi] \leq 10^n \pi$ の各辺を $10^n$ で割ると：
$$\pi - \frac{1}{10^n} < \frac{[10^n \pi]}{10^n} \leq \pi$$
$n \to \infty$ のとき左辺 $\to \pi$ なので、はさみうちの原理より極限は $\pi$ です。
$\dfrac{[10^n \pi]}{10^n}$ は $\pi$ の小数第 $n$ 位までを取り出した値です。例えば $n = 3$ なら $\dfrac{[1000\pi]}{1000} = \dfrac{3141}{1000} = 3.141$ です。$n$ を大きくするほど $\pi$ に近づくのは自然なことです。
$a > 0$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1$ をはさみうちで示します。
$a \geq 1$ の場合：$a^{1/n} \geq 1$ なので $h_n = a^{1/n} - 1 \geq 0$ とおく。
$(1 + h_n)^n = a$ で、二項定理より $(1 + h_n)^n \geq 1 + nh_n$ なので $a \geq 1 + nh_n$ すなわち $0 \leq h_n \leq \frac{a - 1}{n}$。
はさみうちの原理より $h_n \to 0$、つまり $a^{1/n} \to 1$。
$0 < a < 1$ の場合：$b = \frac{1}{a} > 1$ として $a^{1/n} = \frac{1}{b^{1/n}} \to \frac{1}{1} = 1$。
$n \geq 1$ で $n^{1/n} \geq 1$ なので $h_n = n^{1/n} - 1 \geq 0$ とおくと $n = (1 + h_n)^n$。
$n \geq 2$ のとき二項定理より $(1+h_n)^n \geq \frac{n(n-1)}{2}h_n^2$ なので $h_n^2 \leq \frac{2}{n-1}$。
$$0 \leq h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}} \to 0$$
はさみうちの原理より $h_n \to 0$ すなわち $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$。
(1) $a > 0$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$
いずれもはさみうちの原理で証明できる。これらは等比数列の極限の議論でも頻出する。
$\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^2 + k}$ の極限を求めます。
各項について $\dfrac{1}{n^2 + n} \leq \dfrac{1}{n^2 + k} \leq \dfrac{1}{n^2 + 1}$（$1 \leq k \leq n$）なので：
$$\frac{n}{n^2 + n} \leq a_n \leq \frac{n}{n^2 + 1}$$
$$\frac{1}{n+1} \leq a_n \leq \frac{n}{n^2+1}$$
$n \to \infty$ のとき、左辺 $\to 0$, 右辺 $\to 0$ なので $a_n \to 0$。
誤：挟みが広すぎて両端の極限が一致しない
正：$n \to \infty$ で両側が同じ値に収束するように、適切な精度で評価する。粗すぎる評価では両側が一致しないことがある。
| 数列の型 | 挟み方のポイント | 結果 |
|---|---|---|
| $\dfrac{\sin n}{n}$ | $|\sin n| \leq 1$ を使う | $0$ |
| $\dfrac{[f(n)]}{g(n)}$ | $f(n)-1 < [f(n)] \leq f(n)$ | $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ の極限 |
| $\sqrt[n]{a}$ | $h_n = a^{1/n}-1$ と二項定理 | $1$ |
| $\sum$ 型の数列 | 最大項・最小項で挟む | 場合による |
Q1. はさみうちの原理を適用するための3つの条件を述べよ。
Q2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{\cos n}{n^2}$ を求めよ。
Q3. ガウス記号の基本不等式 $[x]$ と $x$ の関係を書け。
Q4. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{[3n+1]}{n}$ を求めよ。
Q5. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5}$ の値を求めよ。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n + (-1)^n}{n^2 + 1}$ を求めよ。
$(-1)^n$ は $-1$ または $1$ なので：
$$\frac{n - 1}{n^2 + 1} \leq \frac{n + (-1)^n}{n^2 + 1} \leq \frac{n + 1}{n^2 + 1}$$
$\displaystyle\frac{n-1}{n^2+1} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{n + \frac{1}{n}} \to 0$, $\displaystyle\frac{n+1}{n^2+1} = \frac{1 + \frac{1}{n}}{n + \frac{1}{n}} \to 0$
はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n + (-1)^n}{n^2 + 1} = 0$
$a > 0$ とする。$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{[na]}{n}$ を求めよ。
$na - 1 < [na] \leq na$ の各辺を $n$ で割ると：
$$a - \frac{1}{n} < \frac{[na]}{n} \leq a$$
$n \to \infty$ のとき左辺 $\to a$, 右辺 $= a$ なので、はさみうちの原理より：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{[na]}{n} = a$$
$a$ が無理数であっても有理数であっても同じ結果になります。ガウス記号が外れて元の値に収束するという、直感的にも納得できる結果です。
$\displaystyle a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}}$ とするとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
$1 \leq k \leq n$ のとき $n^2 + 1 \leq n^2 + k \leq n^2 + n$ なので：
$$\frac{1}{\sqrt{n^2+n}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \leq \frac{1}{\sqrt{n^2+1}}$$
$k = 1$ から $n$ まで加えると：
$$\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} \leq a_n \leq \frac{n}{\sqrt{n^2+1}}$$
$\displaystyle\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}} \to 1$, $\displaystyle\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}} \to 1$
はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 1$
$a > 0$, $b > 0$ とする。$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n}$ を求めよ。
$a \geq b$ と仮定して一般性を失わない（$a < b$ の場合は $a$ と $b$ を入れ替えればよい）。
$a^n \leq a^n + b^n \leq 2a^n$ なので、各辺の $n$ 乗根をとると：
$$a \leq \sqrt[n]{a^n + b^n} \leq \sqrt[n]{2} \cdot a$$
$\sqrt[n]{2} \to 1$（$n \to \infty$）なので右辺 $\to a$、左辺 $= a$。
はさみうちの原理より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n} = a = \max(a, b)$
$\sqrt[n]{a^n + b^n}$ は $a$ と $b$ のうち大きい方に収束します。直感的には $n$ が大きくなると $a^n + b^n$ の中で大きい方の項が圧倒的に支配的になるからです。この結果は $\max(a,b)$ を極限操作で表現できるという点で重要です。