等比数列 $\{r^n\}$ の極限は公比 $r$ の値によって大きく異なります。$r$ の範囲に応じて「収束して $0$」「収束して $1$」「正の無限大に発散」「振動して発散」の4つに場合分けされます。本記事ではこの分類を正確に理解し、$r^n$ を含む分数式の極限や応用問題を体系的に学びます。
等比数列 $\{r^n\}$ の挙動は公比 $r$ の値によって完全に決定されます。以下の4つの場合に分類されます。
(i) $|r| < 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 0$
(ii) $r = 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = 1$
(iii) $r > 1$ のとき：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} r^n = +\infty$（正の無限大に発散）
(iv) $r \leq -1$ のとき：$\{r^n\}$ は振動し、極限は存在しない
$|r| < 1$ には $-1 < r < 1$（$r = 0$ を含む）のすべての場合が含まれる。
| $r$ の範囲 | $r^n$ の挙動 | 具体例 |
|---|---|---|
| $r = -2$ | 振動・発散（$|r^n| \to \infty$） | $-2, 4, -8, 16, \ldots$ |
| $r = -1$ | 振動（$-1, 1, -1, 1, \ldots$） | $-1, 1, -1, 1, \ldots$ |
| $r = -\frac{1}{2}$ | 振動しながら $0$ に収束 | $-\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \ldots$ |
| $r = 0$ | $0$（$n \geq 1$ で $r^n = 0$） | $0, 0, 0, \ldots$ |
| $r = \frac{1}{2}$ | $0$ に収束 | $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \ldots$ |
| $r = 1$ | $1$（定数列） | $1, 1, 1, \ldots$ |
| $r = 2$ | $+\infty$ に発散 | $2, 4, 8, 16, \ldots$ |
$r = 1$ と $r = -1$ が境界値です。$r = 1$ のときは定数列で収束しますが、$r = -1$ のときは $-1, 1, -1, \ldots$ と振動して収束しません。この非対称性を正確に把握することが重要です。
覚え方：$|r| < 1$ なら $0$、$r = 1$ なら $1$、$r > 1$ なら $\infty$、$r \leq -1$ なら振動
$r = 0$ の場合は自明なので $0 < |r| < 1$ とします。$|r| = \dfrac{1}{1+h}$（$h > 0$）とおくと：
$$|r^n| = |r|^n = \frac{1}{(1+h)^n}$$
二項定理より $(1+h)^n \geq 1 + nh$ なので：
$$0 \leq |r^n| \leq \frac{1}{1 + nh} \to 0 \quad (n \to \infty)$$
はさみうちの原理より $|r^n| \to 0$、したがって $r^n \to 0$。
$r = 1 + h$（$h > 0$）とおく。二項定理より：
$$r^n = (1+h)^n \geq 1 + nh$$
任意の $M > 0$ に対して $N > \frac{M-1}{h}$ とすれば、$n \geq N$ のとき $r^n \geq 1 + nh > M$。
よって $\lim_{n \to \infty} r^n = +\infty$。 $\square$
$(-1)^n$ は $n$ が奇数のとき $-1$、偶数のとき $1$ です。部分列 $a_{2k} = 1$ と $a_{2k-1} = -1$ の極限が異なるので、数列全体としては極限が存在しません。
$|r| > 1$ なので $|r^n| = |r|^n \to +\infty$ ですが、符号が交互に変わるため $r^n$ は正と負の間を往復しながら絶対値が無限大に向かいます。
誤：$r = -2$ のとき $r^n \to -\infty$ と書く
正：$r = -2$ のとき $r^n$ は振動し発散する。$+\infty$ にも $-\infty$ にも発散しない（符号が交互に変わるため）。この場合は「振動」と呼ぶ。
入試で最も頻出なのは、$r^n$ を含む分数式の極限です。基本方針は最も大きくなる項で分子・分母を割ることです。
分子・分母を $3^n$（最大の項）で割ります。
$$\frac{3^n - 2^n}{3^n + 2^n} = \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}$$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ なので、極限は $\dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1$。
最大の項は分子で $5^n$、分母で $5^{n+1}$ です。$5^n$ で割ります。
$$\frac{2 \cdot 3^n + 5^n}{3^{n+1} + 5^{n+1}} = \frac{2 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n + 1}{3 \cdot \left(\frac{3}{5}\right)^n + 5}$$
$\left(\frac{3}{5}\right)^n \to 0$ なので、極限は $\dfrac{0 + 1}{0 + 5} = \dfrac{1}{5}$。
Step 1：分子・分母に含まれる指数関数の底を確認する
Step 2：最も大きい底をもつ項（支配項）を特定する
Step 3：支配項で分子・分母を割る
Step 4：$|r| < 1$ の項は $0$ に、$r = 1$ の項は $1$ に置き換える
底が最大の項が「支配的」になり、他の項は $0$ に消える。
$(-3)^n$ は振動しますが、$|{-3}| = 3 > 2$ なので $(-3)^n$ で分子・分母を割ります。
$$\frac{2^n + (-3)^n}{2^{n+1} + (-3)^{n+1}} = \frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n + 1}{2 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^n + (-3)}$$
$\left(-\frac{2}{3}\right)^n \to 0$（$\left|\frac{-2}{3}\right| < 1$）なので、極限は $\dfrac{0 + 1}{0 + (-3)} = -\dfrac{1}{3}$。
誤：$(-3)^n$ で割ると分母が $0$ になるかもしれない
正：$(-3)^n \neq 0$ は常に成り立つので問題なく割れる。重要なのは $\left|\frac{2}{-3}\right| = \frac{2}{3} < 1$ を確認することで、$\left(-\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ が使える。
$a^n$ と $b^n$ が共存する式では、$|a|$ と $|b|$ を比較します。大きい方の絶対値をもつ項で割ることで、小さい方が $0$ に収束する形に変形できます。
例：$3^n$ と $5^n$ なら $5^n$ で割る。$2^n$ と $(-3)^n$ なら $(-3)^n$（または $3^n$）で割る。
等比数列の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$（$r \neq 1$）の極限を考えます。
初項 $a$, 公比 $r$ の等比数列の和 $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ について：
$|r| < 1$ のとき：$r^n \to 0$ なので $S_n \to \dfrac{a}{1 - r}$（無限等比級数の和）
$r > 1$ のとき：$r^n \to \infty$ なので $S_n \to \pm\infty$（$a$ の符号に依存）
$r \leq -1$ のとき：$S_n$ は振動し、極限は存在しない
$|r| < 1$ の場合の $\frac{a}{1-r}$ は無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ の和と一致する。
初項 $1$, 公比 $\frac{1}{3}$ の等比数列の和です。
$$S_n = \frac{1 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\left(1 - \frac{1}{3^{n+1}}\right)$$
$n \to \infty$ のとき $\frac{1}{3^{n+1}} \to 0$ なので $S_n \to \dfrac{3}{2}$。
分子 $= \dfrac{2^{n+1} - 1}{2 - 1} = 2^{n+1} - 1$, 分母 $= \dfrac{3^{n+1} - 1}{3 - 1} = \dfrac{3^{n+1} - 1}{2}$
$$\frac{2^{n+1} - 1}{\frac{3^{n+1} - 1}{2}} = \frac{2(2^{n+1} - 1)}{3^{n+1} - 1}$$
$3^{n+1}$ で分子・分母を割ると：
$$\frac{2 \cdot \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}} - \frac{2}{3^{n+1}}}{1 - \frac{1}{3^{n+1}}} = \frac{2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1} - \frac{2}{3^{n+1}}}{1 - \frac{1}{3^{n+1}}} \to \frac{0 - 0}{1 - 0} = 0$$
$\sum 2^k$ と $\sum 3^k$ の比は $0$ に収束します。これは底の大きい $3^k$ の和が圧倒的に大きくなるためです。一般に $0 < a < b$ のとき：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=0}^{n} a^k}{\sum_{k=0}^{n} b^k} = 0$$
関数 $y = r^x$ のグラフを描くと、$r^n$ は $x = n$ における $y$ 座標に対応します。
$r$ の値によって数列の極限が変わるため、場合分けが必要な問題が頻出します。
$|r| < 1$ のとき：$r^n \to 0$ なので $\dfrac{0 + 1}{0 - 1} = -1$
$r = 1$ のとき：$\dfrac{1 + 1}{1 - 1} = \dfrac{2}{0}$ で分母が $0$ なので極限は存在しない（各項が定義されない）。
$r > 1$ のとき：$r^n$ で分子・分母を割ると $\dfrac{1 + \frac{1}{r^n}}{1 - \frac{1}{r^n}} \to \dfrac{1+0}{1-0} = 1$
$r = -1$ のとき：$r^n = (-1)^n$ なので振動し、極限は存在しない。
$r < -1$ のとき：$r^n$ で割ると $\dfrac{1 + \frac{1}{r^n}}{1 - \frac{1}{r^n}}$ だが、$r^n$ が正負に振動するため $\frac{1}{r^n} \to 0$ には変わりなく、極限は $1$。
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{r^n + 1}{r^n - 1}$ の値：
$|r| < 1$：$-1$
$|r| > 1$：$1$
$r = 1, -1$：極限なし
$r$ の場合分け問題では、最初に場合分けの基準を明示しましょう。「$r$ の絶対値が $1$ より小さいか、等しいか、大きいかで場合分けする」と宣言してから各場合を論じると、答案が整理されて読みやすくなります。
$r = 1$ と $r = -1$ を忘れずに別扱いすることが減点を防ぐポイントです。
誤：$|r| \leq 1$ のとき $r^n \to 0$ としてまとめてしまう
正：$r = 1$ のとき $r^n = 1$、$r = -1$ のとき $r^n$ は振動。$r^n \to 0$ が成り立つのは $|r| < 1$（等号なし）の場合のみ。
Q1. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(-\frac{2}{3}\right)^n$ の値を求めよ。
Q2. $r^n$ の極限が存在しない $r$ の範囲を述べよ。
Q3. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{4^n}{3^n + 4^n}$ を求めよ。
Q4. 初項 $2$, 公比 $\frac{1}{4}$ の無限等比級数の和を求めよ。
Q5. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{3 \cdot 2^n - 5^n}{2^{n+1} + 5^{n+1}}$ を求めよ。
次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{2^n - 3 \cdot 4^n}{5 \cdot 2^n + 4^n}$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + (-3)^n}{5^n - (-3)^n}$
(1) $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ なので $4^n$ が支配的。$4^n$ で割ると：
$$\frac{\frac{2^n}{4^n} - 3}{\frac{5 \cdot 2^n}{4^n} + 1} = \frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n - 3}{5 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n + 1} \to \frac{0 - 3}{0 + 1} = -3$$
(2) $|{-3}| = 3 < 5$ なので $5^n$ で割ると：
$$\frac{1 + \left(-\frac{3}{5}\right)^n}{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^n} \to \frac{1 + 0}{1 - 0} = 1$$
実数 $r$ に対して $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{r^{n+1} - 1}{r^n + 1}$ を求めよ（$r$ の値で場合分けせよ）。
$|r| < 1$ のとき：$r^n \to 0$, $r^{n+1} \to 0$ なので $\frac{0-1}{0+1} = -1$
$r = 1$ のとき：$\frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$
$r > 1$ のとき：$r^n$ で割ると $\frac{r - \frac{1}{r^n}}{1 + \frac{1}{r^n}} \to \frac{r - 0}{1 + 0} = r$
$r = -1$ のとき：$n$ が偶数なら $\frac{-1-1}{1+1} = -1$、奇数なら $\frac{1-1}{-1+1} = \frac{0}{0}$ で不定。極限なし。
$r < -1$ のとき：$r^n$ で割ると $\frac{r - \frac{1}{r^n}}{1 + \frac{1}{r^n}}$ だが、$r^n$ が正負に振動するため $\frac{1}{r^n} \to 0$ は成立し、極限は $r$。
$r = -1$ のときだけ特殊で、偶数番目と奇数番目で式自体の値が変わります。$r < -1$ の場合は $|r^n| \to \infty$ なので $1/r^n \to 0$ が使え、極限値は $r$ になります。場合分けを丁寧に行うことがポイントです。
$\displaystyle a_n = \frac{1 + r + r^2 + \cdots + r^n}{1 + r^2 + r^4 + \cdots + r^{2n}}$（$r \neq 1$, $r \neq -1$）とする。$|r| < 1$ のとき $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
分子は初項 $1$, 公比 $r$ の等比数列の和：$\dfrac{1 - r^{n+1}}{1 - r}$
分母は初項 $1$, 公比 $r^2$ の等比数列の和：$\dfrac{1 - r^{2(n+1)}}{1 - r^2} = \dfrac{1 - r^{2n+2}}{(1-r)(1+r)}$
$$a_n = \frac{\frac{1 - r^{n+1}}{1-r}}{\frac{1 - r^{2n+2}}{(1-r)(1+r)}} = \frac{(1+r)(1-r^{n+1})}{1 - r^{2n+2}}$$
$|r| < 1$ のとき $r^{n+1} \to 0$, $r^{2n+2} \to 0$ なので：
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \frac{(1+r) \cdot 1}{1} = 1 + r$$
数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = \dfrac{3a_n + 4}{a_n + 3}$ で定義されるとき：
(1) $b_n = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 2}$ とおくとき、$\{b_n\}$ は等比数列であることを示せ。
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
(1) $b_{n+1} = \dfrac{a_{n+1} - 2}{a_{n+1} + 2} = \dfrac{\frac{3a_n+4}{a_n+3} - 2}{\frac{3a_n+4}{a_n+3} + 2}$
分子 $= \dfrac{3a_n + 4 - 2(a_n + 3)}{a_n + 3} = \dfrac{a_n - 2}{a_n + 3}$
分母 $= \dfrac{3a_n + 4 + 2(a_n + 3)}{a_n + 3} = \dfrac{5a_n + 10}{a_n + 3} = \dfrac{5(a_n + 2)}{a_n + 3}$
$b_{n+1} = \dfrac{a_n - 2}{5(a_n + 2)} = \dfrac{1}{5} \cdot b_n$
$b_1 = \dfrac{0 - 2}{0 + 2} = -1$ で $b_{n+1} = \dfrac{1}{5} b_n$ なので公比 $\dfrac{1}{5}$ の等比数列。
(2) $b_n = -\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$ なので $\dfrac{a_n - 2}{a_n + 2} = -\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n-1}$
$n \to \infty$ のとき $b_n \to 0$ なので $\dfrac{a_n - 2}{a_n + 2} \to 0$、すなわち $a_n - 2 \to 0$。
よって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = 2$。
分数型漸化式 $a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s}$ では、不動点（$\alpha = \frac{p\alpha + q}{r\alpha + s}$ の解）を用いて $b_n = \frac{a_n - \alpha}{a_n - \beta}$ の形に変換すると等比数列が現れます。この問題では不動点が $\alpha = 2$, $\beta = -2$ で、$b_n = \frac{a_n - 2}{a_n + 2}$ が公比 $\frac{1}{5}$ の等比数列になります。$|r| < 1$ の等比数列は $0$ に収束するという今回の知識が極限の計算に直結しています。