極限の計算で $\frac{\infty}{\infty}$ や $\infty - \infty$ の形が現れると、そのままでは極限が定まりません。このような形を「不定形」と呼びます。不定形を解消する式変形の技法――最高次で割る・有理化・因数分解――を身につけることが、数列の極限計算の核心です。
前回の記事で、極限の四則演算の性質は「両方の数列が収束する」ことが前提でした。$\infty$ 同士の演算では、結果が一意に定まらないことがあります。
数列の極限で現れる主な不定形：
$\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$：分子も分母も $\pm\infty$ に発散する分数式
$\infty - \infty$：$+\infty$ に向かう2つの量の差
$0 \times \infty$：$0$ に近づく量と $\infty$ に発散する量の積
※ これらの形では極限が $0$, 有限値, $\pm\infty$ のいずれにもなりえます。「形だけでは答えが分からない」ので「不定形」と呼ばれます。
不定形とは「競い合う2つの力のどちらが勝つか分からない」状態です。
$\frac{\infty}{\infty}$：分子の増大と分母の増大、どちらが速いか？
$\infty - \infty$：2つの量の増大は同じ速さか？ 差はどうなるか？
式変形によって「どちらが勝つか」を明らかにすることが、不定形の処理の目的です。
次のような場合は不定形ではなく、そのまま極限が分かります。
| 形 | 結果 | 例 |
|---|---|---|
| $\displaystyle \frac{c}{\infty}$（$c$ は定数） | $0$ | $\displaystyle \frac{3}{n} \to 0$ |
| $\displaystyle \frac{\infty}{c}$（$c \neq 0$） | $\pm\infty$ | $\displaystyle \frac{n^2}{5} \to +\infty$ |
| $\infty + \infty$ | $+\infty$ | $n + n^2 \to +\infty$ |
| $\infty \times \infty$ | $\pm\infty$ | $n \cdot n^2 \to +\infty$ |
✗ $\frac{\infty}{\infty} = 1$ と計算する
✗ $\infty - \infty = 0$ と計算する
✓ $\infty$ は数ではないので四則演算は定義されない。不定形は式変形で解消する
答案に「$\infty - \infty$」や「$\frac{\infty}{\infty}$」のような式を書いてはいけません。これらは「状況の説明」であって数学的な式ではありません。
$\frac{\infty}{\infty}$ 型は、前回学んだ最高次の項で割る方法で処理できます。この型は不定形の中で最も頻出です。
多項式の場合：分母・分子を $n$ の最高次の項で割る
$r^n$ の場合：底の絶対値が最大の項で割る
根号を含む場合：根号内から $n$ をくくり出してから割る
※ 前回の記事の内容ですが、「これは $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形を処理していたのだ」と意識することが大切です。
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n^3 - 2n^2 + 1}{5n^3 + 4n}$
解：分母も分子も $n \to \infty$ で $\pm\infty$ → $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形。
$n^3$ で割る：$\displaystyle \frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^3}}{5 + \frac{4}{n^2}}$
$n \to \infty$ で $\displaystyle \to \frac{3 - 0 + 0}{5 + 0} = \frac{3}{5}$
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{4n^2 + 3n} - 1}{3n + 2}$
解：分子 $\approx 2n$、分母 $\approx 3n$ なので $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形。
$\sqrt{4n^2 + 3n} = n\sqrt{4 + \frac{3}{n}}$ なので
$\displaystyle \frac{n\sqrt{4 + \frac{3}{n}} - 1}{3n + 2}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{\sqrt{4 + \frac{3}{n}} - \frac{1}{n}}{3 + \frac{2}{n}} \to \frac{\sqrt{4} - 0}{3 + 0} = \frac{2}{3}$
$\infty - \infty$ 型は最も工夫が必要な不定形です。特に根号を含む $\infty - \infty$ は有理化（共役式を掛ける）で処理するのが定石です。
$\sqrt{A} - \sqrt{B}$ の形には共役式 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ を掛ける。
$$(\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B$$
$\sqrt{A} - B$ の形には $\sqrt{A} + B$ を掛ける。
$$(\sqrt{A} - B)(\sqrt{A} + B) = A - B^2$$
※ 根号を消す（有理化する）ことで、$\infty - \infty$ の「打ち消し合い」の結果を正確に求められます。
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n}\right)$
解：$n \to \infty$ のとき $\sqrt{n^2 + 3n} \to \infty$, $\sqrt{n^2 + n} \to \infty$ なので $\infty - \infty$ の不定形。
共役式を掛ける（分子の有理化）：
$\displaystyle \sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n} = \frac{(n^2 + 3n) - (n^2 + n)}{\sqrt{n^2 + 3n} + \sqrt{n^2 + n}} = \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 3n} + \sqrt{n^2 + n}}$
$n$ でくくる：$\displaystyle \frac{2n}{n\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{3}{n}} + \sqrt{1 + \frac{1}{n}}}$
$n \to \infty$ で $\displaystyle \to \frac{2}{1 + 1} = 1$
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 4n + 1} - n\right)$
解：$\infty - \infty$ の不定形。$\sqrt{n^2 + 4n + 1} + n$ を掛けて割る。
$\displaystyle \frac{(\sqrt{n^2 + 4n + 1})^2 - n^2}{\sqrt{n^2 + 4n + 1} + n} = \frac{n^2 + 4n + 1 - n^2}{\sqrt{n^2 + 4n + 1} + n} = \frac{4n + 1}{\sqrt{n^2 + 4n + 1} + n}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{4 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{4}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1} \to \frac{4}{1 + 1} = 2$
1. $\sqrt{A} - \sqrt{B}$ → $\sqrt{A} + \sqrt{B}$ を掛けて分子を $A - B$ にする
2. 有理化後は分子が $n$ の低次式になるので、$\frac{\infty}{\infty}$ 型として処理可能に
3. $\sqrt{n^2 + an + \cdots} - n$ の極限は $\frac{a}{2}$ になることが多い（覚えておくと便利）
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + an + b} - n\right) = \frac{a}{2}$ が成り立ちます。
有理化すると $\displaystyle \frac{an + b}{\sqrt{n^2 + an + b} + n}$ となり、$n$ で割ると $\displaystyle \frac{a + \frac{b}{n}}{\sqrt{1 + \frac{a}{n} + \frac{b}{n^2}} + 1} \to \frac{a}{2}$。
$n$ の1次の係数が答えの $2$ 倍になる関係は、入試でよく見かけます。
根号を含まない $\infty - \infty$ 型では、因数分解や通分で処理します。
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(n^2 - 3n\right)$
解：一見 $\infty - \infty$ に見えるが、$n$ でくくると
$n^2 - 3n = n(n - 3)$
$n \to \infty$ で $n \to +\infty$ かつ $n - 3 \to +\infty$ なので
$$\lim_{n \to \infty}(n^2 - 3n) = +\infty$$
（実はこれは不定形ではなく、$n^2$ の項が $3n$ の項より圧倒的に大きいため。）
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2}{n + 1} - \frac{n^2}{n + 2}\right)$
解：各項は $n \to \infty$ で $\frac{n^2}{n+1} \to \infty$, $\frac{n^2}{n+2} \to \infty$ なので $\infty - \infty$ の不定形。
通分する：
$\displaystyle \frac{n^2(n+2) - n^2(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^3 + 2n^2 - n^3 - n^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2}{(n+1)(n+2)}$
分母 $= n^2 + 3n + 2$ なので $n^2$ で割る：
$\displaystyle \frac{1}{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} \to \frac{1}{1} = 1$
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n^2 + 1} - n\right)$
解：$\sqrt{n^2 + 1} - n \to 0$（前節の有理化で分かる）かつ $n \to \infty$ なので $0 \times \infty$ の不定形。
まず括弧内を有理化：$\displaystyle \sqrt{n^2 + 1} - n = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$
$\displaystyle n \cdot \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1} + n} = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1} \to \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
✗ $n(\sqrt{n^2+1} - n)$ で「$\sqrt{n^2+1} \approx n$ だから $n \times 0 = 0$」
✓ $0 \times \infty$ は不定形。正しくは有理化してから計算し、$\frac{1}{2}$ を得る
「$\approx$」による近似は極限値を判断する根拠にはなりません。不定形を認識したら、必ず式変形で正確に処理しましょう。
不定形に出会ったとき、どの処理法を使うかの判断基準をまとめます。
$\frac{\infty}{\infty}$ 型
→ 多項式：$n$ の最高次で割る
→ $r^n$ を含む：最大の底の項で割る
→ 根号を含む：$n$ をくくり出してから割る
$\infty - \infty$ 型
→ 根号を含む：有理化（共役式を掛ける）
→ 分数式：通分してひとまとめにする
→ 多項式：最高次でくくり出す
$0 \times \infty$ 型
→ $\frac{0}{1/\infty} = \frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{1/0}$ の形に書き直す
→ 根号を含むなら有理化してから処理
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{4n^2 + 5n} - 2n\right)$
Step 1. 不定形の認識：$\sqrt{4n^2 + 5n} \approx 2n$ なので $\infty - \infty$ 型。
Step 2. 処理法の選択：根号を含む → 有理化。
Step 3. 有理化の実行：
$\displaystyle \frac{(\sqrt{4n^2 + 5n})^2 - (2n)^2}{\sqrt{4n^2 + 5n} + 2n} = \frac{4n^2 + 5n - 4n^2}{\sqrt{4n^2 + 5n} + 2n} = \frac{5n}{\sqrt{4n^2 + 5n} + 2n}$
Step 4. $n$ で割る：
$\displaystyle \frac{5}{\sqrt{4 + \frac{5}{n}} + 2} \to \frac{5}{\sqrt{4} + 2} = \frac{5}{4}$
1. まず不定形かどうかを判断する。各項の極限を個別に考え、$\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ の形になるか確認。
2. 不定形でなければそのまま計算。$\frac{c}{\infty} = 0$, $\infty + \infty = \infty$ などは不定形ではない。
3. 不定形なら適切な式変形を選ぶ。根号 → 有理化、分数 → 通分、多項式 → くくり出し。
4. 式変形後は基本極限に帰着する。$\frac{1}{n} \to 0$, $r^n \to 0$ で完了。
答案には「$\infty - \infty$ の不定形なので有理化する」のように、処理の意図を明記すると好印象です。
ただし、$\infty - \infty$ や $\frac{\infty}{\infty}$ を等式の中で使ってはいけません。「分子 $\to \infty$, 分母 $\to \infty$ となりこのままでは極限が求められないので...」のように記述しましょう。
Q1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right)$ を求めよ。
Q2. 次のうち不定形はどれか。(a) $\frac{\infty}{\infty}$ (b) $\infty + \infty$ (c) $\frac{5}{\infty}$ (d) $\infty - \infty$
Q3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n}{n-1} - \frac{n}{n+1}\right)$ を求めよ。
Q4. $\infty - \infty$ 型で根号を含むとき、まず行うべき操作は何か。
Q5. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n^2 + 2} - n\right)$ を求めよ。
次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2 + 2n + 3} - n\right)$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2 + n} - \sqrt{n^2 - n}\right)$
(1) 有理化：$\displaystyle \frac{n^2 + 2n + 3 - n^2}{\sqrt{n^2+2n+3}+n} = \frac{2n+3}{\sqrt{n^2+2n+3}+n}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{2+\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^2}}+1} \to \frac{2}{1+1} = 1$
(2) 有理化：$\displaystyle \frac{(n^2+n)-(n^2-n)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}} = \frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-n}}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}} \to \frac{2}{1+1} = 1$
次の極限値を求めよ。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{n^2 + 3n}{n + 1} - n\right)$
$\displaystyle \frac{n^2 + 3n}{n+1} - n = \frac{n^2 + 3n - n(n+1)}{n+1} = \frac{n^2 + 3n - n^2 - n}{n+1} = \frac{2n}{n+1}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{2}{1 + \frac{1}{n}} \to \frac{2}{1} = 2$
次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right)$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2\left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)$
(1) 括弧内を有理化：$\displaystyle \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$\displaystyle n \cdot \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \frac{n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$\sqrt{n}$ で割る：$\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{\infty}{2} = +\infty$
よって極限は $+\infty$（発散する）。
(2) 括弧内を有理化：$\displaystyle \sqrt{n^2+n} - n = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$
$\displaystyle n^2 \cdot \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n^3}{\sqrt{n^2+n}+n}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{n^2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{\infty}{2} = +\infty$
よって極限は $+\infty$（発散する）。
$0 \times \infty$ 型は必ずしも有限値に収束するとは限りません。$0$ に近づく速さと $\infty$ に発散する速さの勝負で、「$\infty$ の方が速ければ」極限は $\pm\infty$ になります。有理化して具体的に調べることが重要です。
次の極限値を求めよ。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\sqrt{n^2 + an + b} - \sqrt{n^2 + cn + d}\right)$
ただし $a, b, c, d$ は定数とする。
$\infty - \infty$ 型。有理化する。
$\displaystyle \frac{(n^2+an+b)-(n^2+cn+d)}{\sqrt{n^2+an+b}+\sqrt{n^2+cn+d}} = \frac{(a-c)n + (b-d)}{\sqrt{n^2+an+b}+\sqrt{n^2+cn+d}}$
$n$ で割る：
$\displaystyle \frac{(a-c)+\frac{b-d}{n}}{\sqrt{1+\frac{a}{n}+\frac{b}{n^2}}+\sqrt{1+\frac{c}{n}+\frac{d}{n^2}}}$
$n \to \infty$ で $\displaystyle \to \frac{a - c}{1 + 1} = \frac{a - c}{2}$
$\sqrt{n^2 + an + b} - \sqrt{n^2 + cn + d} \to \frac{a-c}{2}$ という一般的な結果が得られました。特殊な場合として $c = 0, d = 0$ とすると $\sqrt{n^2 + an + b} - n \to \frac{a}{2}$ となり、既知の結果と一致します。このように一般化して理解しておくと、個別の問題に素早く対応できます。