前回学んだ数列の収束・発散の概念をもとに、実際に極限値を計算する方法を習得します。分数式の極限では「分母・分子を $n$ の最高次の項で割る」ことが基本方針です。$\frac{1}{n} \to 0$, $r^n \to 0$ ($|r| < 1$) という基本極限を自在に使いこなしましょう。
極限値を求めるときの基本的な考え方は、$\frac{1}{n} \to 0$ の形に帰着させることです。どんな複雑な式でも、最終的には既知の基本極限に持ち込みます。
分数式の極限：分母・分子を $n$ の最高次の項で割る
$r^n$ を含む式：絶対値が最大の底をもつ項で割る
根号を含む式：$\sqrt{n^2} = n$（$n > 0$）を利用して $n$ でくくり出す
いずれの場合も、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0$（$p > 0$）と $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0$（$|r| < 1$）に帰着させるのが目標です。
1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0)$
2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad (|r| < 1)$
3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n^p} = +\infty \quad (a > 1, \; p > 0)$ ※ 指数関数は多項式より速く増大
※ 3番は「指数関数の増大は多項式の増大より強い」ことを意味します。
$n$ の多項式を含む数列の極限は、$n$ の最高次の項が支配的であることを利用します。
$n$ の多項式 $a_n = c_k n^k + c_{k-1}n^{k-1} + \cdots + c_0$ の極限は、最高次の項 $c_k n^k$ で決まります。
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (3n^2 - 5n + 1)$ を求めよ。
解：$n^2$ でくくり出す。
$\displaystyle 3n^2 - 5n + 1 = n^2 \left(3 - \frac{5}{n} + \frac{1}{n^2}\right)$
$n \to \infty$ のとき $\frac{5}{n} \to 0$, $\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、括弧内は $3 - 0 + 0 = 3 > 0$。
$n^2 \to +\infty$ なので $\displaystyle \lim_{n \to \infty}(3n^2 - 5n + 1) = +\infty$。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_p n^p + a_{p-1}n^{p-1} + \cdots}{b_q n^q + b_{q-1}n^{q-1} + \cdots}$
分母・分子を $n$ の最高次（$n^{\max(p,q)}$）で割ると：
$p < q$ のとき：$\to 0$（分子の次数 $<$ 分母の次数）
$p = q$ のとき：$\to \displaystyle \frac{a_p}{b_q}$（最高次の係数の比）
$p > q$ のとき：$\to \pm\infty$（発散）
※ 分母の次数 $=$ 分子の次数のとき、最高次の係数の比が極限値になるというのが最も使う結果です。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 3}{5n - 1}$
分母・分子を $n$ で割る：$\displaystyle \frac{2 + \frac{3}{n}}{5 - \frac{1}{n}} \to \frac{2 + 0}{5 - 0} = \frac{2}{5}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 1}{3n^3 - n}$
分母・分子を $n^3$ で割る：$\displaystyle \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^3}}{3 - \frac{1}{n^2}} \to \frac{0 + 0}{3 - 0} = 0$
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 2n}{n^2 + 5}$
分母・分子を $n^2$ で割る：$\displaystyle \frac{4n - \frac{2}{n}}{1 + \frac{5}{n^2}}$。$n \to \infty$ で分子 $\to +\infty$、分母 $\to 1$。
よって $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4n^3 - 2n}{n^2 + 5} = +\infty$
実際の計算では、分母・分子の最高次の項だけを見て判断できます。
$\displaystyle \frac{2n + 3}{5n - 1}$ → 分母・分子とも $n$ の1次 → $\frac{2}{5}$
$\displaystyle \frac{n^2 + 1}{3n^3 - n}$ → 分子2次 $<$ 分母3次 → $0$
$\displaystyle \frac{4n^3 - 2n}{n^2 + 5}$ → 分子3次 $>$ 分母2次 → $\pm\infty$（最高次の係数が正なので $+\infty$）
✗ $\displaystyle \frac{n}{n-1}$ で $n = 1$ のとき分母が $0$ だから極限は求められない
✓ 極限は $n \to \infty$ で考えるので、有限個の $n$ で分母が $0$ でも問題ない。$\displaystyle \frac{n}{n-1} = \frac{1}{1 - \frac{1}{n}} \to 1$
指数 $r^n$ を含む数列の極限では、絶対値が最大の底をもつ項で割るのが基本方針です。
問題1：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n+1} - 4 \cdot 2^n}{3^n + 2^{n+1}}$
解：底の大きい $3^n$ で分母・分子を割る。
$\displaystyle \frac{3^{n+1} - 4 \cdot 2^n}{3^n + 2^{n+1}} = \frac{3 - 4 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 + 2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ なので $\displaystyle \to \frac{3 - 0}{1 + 0} = 3$
問題2：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5^n + (-3)^n}{5^n - (-3)^n}$
解：$5^n$ で割る。$\displaystyle \frac{1 + \left(-\frac{3}{5}\right)^n}{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^n}$
$\left|-\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5} < 1$ より $\left(-\frac{3}{5}\right)^n \to 0$。よって $\to \frac{1}{1} = 1$
分母・分子に $a^n$ と $b^n$（$|a| > |b|$）が含まれるとき、$a^n$ で割ります。すると $\left(\frac{b}{a}\right)^n \to 0$ となり、簡単な式になります。
$a^n$ と $b^n$ で $|a| = |b|$ の場合（例えば $3^n$ と $(-3)^n$）は、そのまま整理するか、場合分けが必要です。
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3^n}{2 \cdot 3^n - n}$
解：$n^2$ より $3^n$ の方がはるかに速く増大するので、$3^n$ で割る。
$\displaystyle \frac{\frac{n^2}{3^n} + 1}{2 - \frac{n}{3^n}}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{3^n} = 0$（指数関数は多項式より強い）、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{3^n} = 0$ より
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 3^n}{2 \cdot 3^n - n} = \frac{0 + 1}{2 - 0} = \frac{1}{2}$$
✗ $n^{100}$ は巨大な数だから $\frac{n^{100}}{2^n}$ は大きくなる
✓ どんなに $p$ が大きくても $\frac{n^p}{a^n} \to 0$（$a > 1$）。指数関数の増大は多項式の増大よりもはるかに速い
例えば $n = 1000$ のとき $n^{100}$ は $10^{300}$ 程度ですが、$2^{1000}$ は $10^{301}$ 程度でこの時点で既に逆転します。
根号を含む数列の極限では、$\sqrt{n^2} = n$（$n > 0$）を利用して $n$ をくくり出すのが基本です。
問題1：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 3n}}{2n + 1}$
解：$\sqrt{n^2 + 3n} = \sqrt{n^2\left(1 + \frac{3}{n}\right)} = n\sqrt{1 + \frac{3}{n}}$（$n > 0$）
$\displaystyle \frac{n\sqrt{1 + \frac{3}{n}}}{2n + 1} = \frac{\sqrt{1 + \frac{3}{n}}}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$
問題2：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{4n^2 - n} + n}$
解：$\sqrt{4n^2 - n} = n\sqrt{4 - \frac{1}{n}}$（$n > 0$）より
$\displaystyle \frac{n}{n\sqrt{4 - \frac{1}{n}} + n} = \frac{1}{\sqrt{4 - \frac{1}{n}} + 1} \to \frac{1}{\sqrt{4} + 1} = \frac{1}{3}$
$n > 0$ のとき
$$\sqrt{an^2 + bn + c} = n\sqrt{a + \frac{b}{n} + \frac{c}{n^2}} \quad (a > 0)$$
$n \to \infty$ で $\sqrt{a + \frac{b}{n} + \frac{c}{n^2}} \to \sqrt{a}$ となるので、根号は $n\sqrt{a}$ に近づく。
※ $n$ をくくり出すとき $\sqrt{n^2} = |n| = n$（$n > 0$）であることを利用します。
$\sqrt{n^2 + \cdots}$ は $n$ とほぼ等しいので「$n$ の1次」と見なせます。
$\sqrt{n}$ は「$n$ の $\frac{1}{2}$ 次」です。分数式の次数比較と同じ感覚で判断できます。
例えば $\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n} = \frac{n^{1/2}}{n^1}$ は分子 $\frac{1}{2}$ 次 $<$ 分母1次なので $\to 0$ です。
極限計算に臨むときの思考手順をまとめます。
Step 1. 式の形を確認する
分数式か？ $r^n$ を含むか？ 根号を含むか？
Step 2. 「割るべき項」を決める
多項式 → $n$ の最高次の項で割る。$r^n$ → 最大の底の項で割る
Step 3. 基本極限に帰着
$\frac{1}{n^p} \to 0$, $r^n \to 0$（$|r| < 1$）を適用
Step 4. 極限値を計算
極限の四則演算の性質で値を求める
Step 5. 検算
$n = 10, 100$ 程度を代入して答えの妥当性を確認
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + n \cdot 3^n}{3^{n+1} + 2^n}$
Step 1. $r^n$ 型。$2^n$ と $3^n$ が混在。
Step 2. $|3| > |2|$ なので $3^n$ で割る。
Step 3. $\displaystyle \frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n + n}{3 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}$
$\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ だが、分子の $n \to \infty$。
Step 4. $\displaystyle \frac{0 + n}{3 + 0} = \frac{n}{3} \to +\infty$
よって $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + n \cdot 3^n}{3^{n+1} + 2^n} = +\infty$
1. 極限の四則演算は「両方収束」が条件。片方が発散するときは直接適用できない
2. $\frac{\infty}{\infty}$ や $\frac{0}{0}$ の形になったら式変形が必要（不定形 → 次回扱う）
3. $n$ の最高次で割る操作は機械的にできるので、繰り返し練習して体得しよう
✗ $\displaystyle \frac{2n^2 + 1}{3n^2 - n}$ で分母・分子を $n$ で割り、$\frac{2n + \frac{1}{n}}{3n - 1} \to \frac{\infty}{\infty}$ で行き詰まる
✓ $n^2$ で割る。$\displaystyle \frac{2 + \frac{1}{n^2}}{3 - \frac{1}{n}} \to \frac{2}{3}$。最高次で割ることが重要
Q1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 - 3n}{2n^2 + 7}$ を求めよ。
Q2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n^3 - 2}$ を求めよ。
Q3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 5^n}{3 \cdot 5^n}$ を求めよ。
Q4. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{n + 2}$ を求めよ。
Q5. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{2^n}$ の値を求めよ。
次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - 4n + 3}{2n^2 + n - 1}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)(3n-2)}{(n+3)(n-1)}$
(1) $n^2$ で割る。$\displaystyle \frac{1 - \frac{4}{n} + \frac{3}{n^2}}{2 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}} \to \frac{1}{2}$
(2) 分子を展開すると $6n^2 - n - 2$、分母は $n^2 + 2n - 3$。
$n^2$ で割ると $\displaystyle \frac{6 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^2}} \to \frac{6}{1} = 6$
次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{4^n - 3 \cdot 2^n}{4^n + 2^n}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3^n - 2^n + 1}{3^n + 2^n + 1}$
(1) $4^n = (2^2)^n = 2^{2n}$ なので $4^n$ で割る（$= 2^{2n}$ で割る）。
$\displaystyle \frac{1 - 3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n}{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^n} \to \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
(2) $3^n$ で割る。
$\displaystyle \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n + \frac{1}{3^n}}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n + \frac{1}{3^n}} \to \frac{1 - 0 + 0}{1 + 0 + 0} = 1$
次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + 2n} - n}{1}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2n - 1}{\sqrt{n^2 + n} + n}$
(1) 有理化する。$\displaystyle \sqrt{n^2 + 2n} - n = \frac{(n^2 + 2n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} = \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n}$
$n$ で割る：$\displaystyle \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} \to \frac{2}{1 + 1} = 1$
(2) $\sqrt{n^2 + n} = n\sqrt{1 + \frac{1}{n}}$ より
$\displaystyle \frac{2n - 1}{n\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + n} = \frac{2 - \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} \to \frac{2}{1 + 1} = 1$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{an^2 + 3n + 1}{n^2 + bn} = 2$ となる定数 $a$, $b$ の値を求めよ。
分母・分子を $n^2$ で割ると
$\displaystyle \frac{a + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{b}{n}} \to \frac{a}{1} = a$
極限値が $2$ なので $a = 2$。
$b$ は分母の $n$ の1次の項の係数であり、$n \to \infty$ の極限には影響しない。よって $b$ は任意の実数。
答：$a = 2$、$b$ は任意の実数。
分子・分母の次数が等しいとき、極限値は最高次の係数の比で決まります。低次の項は極限に影響しないため、$b$ の値は自由です。ただし「$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{an + b}{n + c} = 3$ で $b = ?$」のような問題では、$n$ で割ると $\frac{a + b/n}{1 + c/n} \to a$ なので $a = 3$ のみ決まり、$b$ は不定です。問題が $b$ の値まで一意に定まるような条件を求めている場合は、追加条件がないか確認しましょう。