数学IIIの冒頭を飾るテーマが「数列の極限」です。数学Bで学んだ有限の数列を、項が無限に続く場合へ拡張します。$n$ を限りなく大きくしたとき、数列 $\{a_n\}$ がどのような振る舞いをするか――収束・発散・振動の3つのパターンを正確に理解することが、解析学への第一歩です。
数学Bで扱った数列は、第 $n$ 項までの有限個の項をもつものでした。無限数列とは、項が限りなく続く数列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ のことです。
例えば、数列 $\displaystyle a_n = \frac{1}{n}$ を考えてみましょう。
| $n$ | 1 | 2 | 3 | 10 | 100 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $a_n$ | 1 | 0.5 | 0.333... | 0.1 | 0.01 | 0.001 |
$n$ が大きくなるにつれて $a_n$ の値は $0$ に限りなく近づいていきます。このとき「$n \to \infty$ のとき $a_n$ は $0$ に収束する」といいます。
極限は「有限では到達しないが、無限に近づいていく先」を捉える概念です。微分・積分の基礎であり、数学IIIのあらゆる場面で使われます。
$\displaystyle \frac{1}{n}$ は決して $0$ にはなりませんが、$n$ を十分大きくすれば $0$ との差をいくらでも小さくできます。この「いくらでも小さくできる」という性質が収束の本質です。
無限数列 $\{a_n\}$ の振る舞いは、大きく次の3つに分類されます。
「極限がある」は、収束する場合と $\pm \infty$ に発散する場合の両方を含みます。
「極限値がある」は、収束する場合（有限の値に近づく場合）のみを指します。
$\lim_{n \to \infty} n = +\infty$ は「極限がある」が「極限値はない」です。この区別は入試でも問われます。
数列 $\{a_n\}$ において、$n$ を限りなく大きくするとき $a_n$ の値が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくならば、$\{a_n\}$ は $\alpha$ に収束するといい、$\alpha$ をこの数列の極限値（または単に極限）といいます。
$$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$$
または $n \to \infty$ のとき $a_n \to \alpha$ と書く。
※ 読み方：「リミット $n$ 無限大 $a_n$ イコール $\alpha$」「$n$ が無限大に近づくとき $a_n$ は $\alpha$ に近づく」
高校の範囲では「限りなく近づく」という直感的な理解で十分ですが、大学数学では次のように厳密に定義されます。
$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ とは：
任意の正の数 $\varepsilon$（どんなに小さくても）に対して、ある自然数 $N$ が存在して、$n \geq N$ ならば $|a_n - \alpha| < \varepsilon$ が成り立つ。
例：$a_n = \frac{1}{n}$ が $0$ に収束することを示す。
任意の $\varepsilon > 0$ に対し、$N > \frac{1}{\varepsilon}$ となる自然数 $N$ をとる。$n \geq N$ のとき $\left|\frac{1}{n} - 0\right| = \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \varepsilon$。
よって $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。
1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0 \quad (p > 0)$
2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0 \quad (|r| < 1)$
3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} c = c \quad (c \text{ は定数})$
※ 特に $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ は最も基本的な極限です。
✗ $\frac{1}{n}$ は $0$ と等しい
✓ $\frac{1}{n}$ は $n \to \infty$ のとき $0$ に収束する（近づく）
どの $n$ に対しても $\frac{1}{n} \neq 0$ ですが、極限値は $0$ です。$a_n$ が極限値に「なる」のではなく「近づく」のがポイントです。
数列 $\{a_n\}$ が一定の値に収束しない場合、その数列は発散するといいます。発散のうち、特に重要なのが正の無限大・負の無限大への発散です。
正の無限大に発散：$n$ を大きくするにつれ $a_n$ が限りなく大きくなるとき
$$\lim_{n \to \infty} a_n = +\infty \quad (\text{または } \lim_{n \to \infty} a_n = \infty)$$
負の無限大に発散：$n$ を大きくするにつれ $a_n$ が限りなく小さくなるとき
$$\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$$
※ $+\infty, -\infty$ は数ではありません。記号として使うだけです。極限「値」があるとはいいません。
例1：$a_n = n^2$ → $n$ が大きくなると $1, 4, 9, 16, \ldots$ と限りなく大きくなる。$\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$
例2：$a_n = -3n + 1$ → $n$ が大きくなると $-2, -5, -8, -11, \ldots$ と限りなく小さくなる。$\lim_{n \to \infty}(-3n + 1) = -\infty$
例3：$a_n = 2^n$ → $2, 4, 8, 16, 32, \ldots$ と限りなく大きくなる。$\lim_{n \to \infty} 2^n = +\infty$
正の無限大に発散する数列でも、「発散の速さ」は異なります。
$$(\text{速い}) \quad n! \gg a^n \gg n^p \gg \log n \quad (\text{遅い})$$
ここで $a > 1$, $p > 0$ です。この速さの比較は、後の極限計算で重要になります。
等比数列 $\{r^n\}$ の極限は、公比 $r$ の値によって完全に決まります。
1. $r > 1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = +\infty$（発散）
2. $r = 1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 1$（収束）
3. $|r| < 1$ のとき $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0$（収束）
4. $r \leq -1$ のとき 振動（極限なし）
※ 等比数列 $\{ar^n\}$（$a \neq 0$）の収束条件は $|r| < 1$ または $r = 1$。特に $-1 < r \leq 1$ と覚えましょう。
収束もせず、$\pm \infty$ にも発散しない数列を振動するといいます。振動する数列は極限をもちません。
例1：$a_n = (-1)^n$ → $-1, 1, -1, 1, \ldots$ と $1$ と $-1$ を交互に繰り返す。極限をもたない。
例2：$a_n = (-1)^n \cdot n$ → $-1, 2, -3, 4, -5, \ldots$ と絶対値は大きくなるが、符号が入れ替わるため $+\infty$ にも $-\infty$ にも発散しない。
例3：$a_n = (-2)^n$ → $-2, 4, -8, 16, \ldots$ と絶対値は限りなく大きくなるが、正負が入れ替わるため振動する。
✗ $(-1)^n \cdot n$ は $+\infty$ と $-\infty$ の間で発散する
✓ $(-1)^n \cdot n$ は振動する（発散はするが、$+\infty$ にも $-\infty$ にも発散しない）
注意：「発散」は広い意味では収束しないこと全般を指しますが、「$+\infty$ に発散」「$-\infty$ に発散」は特定の方向に向かう場合のみです。振動は「発散」の一種ですが、$\pm \infty$ への発散とは区別します。
| 分類 | 条件 | 極限の記法 | 例 |
|---|---|---|---|
| 収束 | 一定値 $\alpha$ に近づく | $\lim a_n = \alpha$ | $\frac{1}{n} \to 0$ |
| 正の無限大に発散 | 限りなく大きくなる | $\lim a_n = +\infty$ | $n^2 \to +\infty$ |
| 負の無限大に発散 | 限りなく小さくなる | $\lim a_n = -\infty$ | $-n \to -\infty$ |
| 振動 | 上記のいずれでもない | 極限なし | $(-1)^n$ |
収束する数列の極限には、便利な計算法則があります。これらは極限値の計算の基礎となります。
$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$, $\lim_{n \to \infty} b_n = \beta$ のとき：
1. 定数倍：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} k \cdot a_n = k\alpha$（$k$ は定数）
2. 和：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \alpha + \beta$
3. 差：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \alpha - \beta$
4. 積：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \cdot b_n = \alpha \cdot \beta$
5. 商：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\alpha}{\beta}$（$\beta \neq 0$）
※ これらの性質は、両方の数列が「収束する」という条件のもとで成立します。発散する数列には直接適用できないことに注意。
問題：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n} $ を求めよ。
解：$\displaystyle \frac{3n + 1}{n} = 3 + \frac{1}{n}$
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} 3 = 3$, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ より、和の性質から
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3n + 1}{n} = 3 + 0 = 3$$
✗ $\lim(n - n) = \lim n - \lim n = \infty - \infty = 0$（不正な計算）
✓ $n - n = 0$ なので $\lim(n - n) = \lim 0 = 0$（式を整理してから極限をとる）
$\infty - \infty$ は不定形と呼ばれ、極限の性質では処理できません。不定形の扱いは後の記事で詳しく学びます。
すべての $n$ で $a_n \leq b_n$ であり、$\lim a_n = \alpha$, $\lim b_n = \beta$ ならば
$$\alpha \leq \beta$$
※ 「$a_n < b_n$」であっても極限では $\alpha = \beta$ となりうることに注意。例えば $a_n = 0 < \frac{1}{n} = b_n$ ですが、$\lim a_n = \lim b_n = 0$ です。
$a_n \leq c_n \leq b_n$ で $\lim a_n = \lim b_n = \alpha$ ならば $\lim c_n = \alpha$ です。
これは「はさみうちの原理」と呼ばれ、極限計算の強力な道具です。次回以降の記事で詳しく扱います。
Q1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}$ の値を求めよ。
Q2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ の値を求めよ。
Q3. 数列 $\{(-3)^n\}$ の極限について述べよ。
Q4. 「極限がある」と「極限値がある」の違いを説明せよ。
Q5. $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$, $\lim_{n \to \infty} b_n = 5$ のとき、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n \cdot b_n}{b_n - a_n}$ を求めよ。
次の数列の極限を調べよ。
(1) $a_n = 5 - \frac{3}{n}$
(2) $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$
(3) $a_n = (-1)^n \cdot n^2$
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(5 - \frac{3}{n}\right) = 5 - 0 = 5$ に収束。
(2) $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$ であり、$\lim\left(-\frac{1}{n}\right) = \lim \frac{1}{n} = 0$ なので、はさみうちの原理より $0$ に収束。
(3) $n$ が偶数のとき $a_n = n^2 \to +\infty$、$n$ が奇数のとき $a_n = -n^2 \to -\infty$。よって振動する（極限なし）。
次の数列の極限を調べよ。
(1) $\displaystyle a_n = \frac{3^n - 2^n}{3^n + 2^n}$
(2) $\displaystyle a_n = \frac{2 \cdot 3^n + (-1)^n}{3^{n+1}}$
(1) 分子・分母を $3^n$ で割る。
$\displaystyle \frac{3^n - 2^n}{3^n + 2^n} = \frac{1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n}{1 + \left(\frac{2}{3}\right)^n}$
$\left|\frac{2}{3}\right| < 1$ より $\left(\frac{2}{3}\right)^n \to 0$ なので、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$
(2) $\displaystyle \frac{2 \cdot 3^n + (-1)^n}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} + \frac{(-1)^n}{3^{n+1}}$
$\displaystyle \left|\frac{(-1)^n}{3^{n+1}}\right| = \frac{1}{3^{n+1}} \to 0$ より、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{2}{3}$
数列 $\{a_n\}$ が $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$ を満たすとき、次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{2a_n^2 - 1}{a_n + 1}$
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n - 3}{a_n^2 - 9}$
(1) $\lim a_n = 3$ より、極限の性質を適用する。
分子：$\lim(2a_n^2 - 1) = 2 \cdot 9 - 1 = 17$
分母：$\lim(a_n + 1) = 3 + 1 = 4 \neq 0$
よって $\displaystyle \lim \frac{2a_n^2 - 1}{a_n + 1} = \frac{17}{4}$
(2) $\displaystyle \frac{a_n - 3}{a_n^2 - 9} = \frac{a_n - 3}{(a_n - 3)(a_n + 3)} = \frac{1}{a_n + 3}$（$a_n \neq 3$ のとき）
$n$ が十分大きいとき $a_n \neq 3$ と考えてよいので $\displaystyle \lim \frac{1}{a_n + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$
数列 $\displaystyle a_n = \frac{(t+1)^n - (t-1)^n}{(t+1)^n + (t-1)^n}$ が収束するような実数 $t$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求めよ。
$t + 1 \neq 0$ かつ $t - 1 \neq 0$ のとき、$r = \frac{t-1}{t+1}$ とおく。分子・分母を $(t+1)^n$ で割ると
$\displaystyle a_n = \frac{1 - r^n}{1 + r^n}$
$\{a_n\}$ が収束するのは $|r| < 1$ または $r = 1$ のとき。
$|r| < 1$ のとき：$r^n \to 0$ より $a_n \to \frac{1}{1} = 1$。
$\left|\frac{t-1}{t+1}\right| < 1$ ⟺ $|t-1| < |t+1|$ ⟺ $t > 0$（ただし $t \neq -1$）。
$r = 1$ のとき：$\frac{t-1}{t+1} = 1$ ⟺ $t - 1 = t + 1$（解なし）。
$t + 1 = 0$ ($t = -1$) のとき：$a_n = \frac{0 - (-2)^n}{0 + (-2)^n} = -1$（収束、極限値 $-1$）。
$t - 1 = 0$ ($t = 1$) のとき：$a_n = \frac{2^n - 0}{2^n + 0} = 1$（収束、極限値 $1$）。
以上より、$t > 0$ のとき収束し極限値は $1$、$t = -1$ のとき収束し極限値は $-1$。
答：$t > 0$ または $t = -1$ のとき収束。$t > 0$ で極限値 $1$、$t = -1$ で極限値 $-1$。
$r^n$ の極限は $r$ の範囲で場合分けする必要があります。分子・分母に共通する底の大きい方で割るのが基本テクニックです。場合分けの際は $t + 1 = 0$ や $t - 1 = 0$ の場合も漏らさないようにしましょう。