入試では、数列の極限が不等式・数学的帰納法・面積（区分求積法）・漸化式など他のテーマと融合した問題が頻出します。本記事では、これらの横断的な問題に取り組み、複数の知識を組み合わせて解く実践力を養います。「極限 + 不等式 + 帰納法」「極限 + 区分求積法」「漸化式 + 極限」の3つのパターンを重点的に学びましょう。
不等式で数列を評価し、はさみうちの原理で極限を求めるパターンは入試の定番です。不等式の証明に数学的帰納法が必要になることもあります。
問題：$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}$ で定義される数列 $\{a_n\}$ について
(1) すべての自然数 $n$ で $a_n < 2$ であることを帰納法で示せ。
(2) $\{a_n\}$ は単調増加であることを示せ。
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
解：
(1) $n = 1$：$a_1 = 1 < 2$。成り立つ。
$a_k < 2$ と仮定する。$a_{k+1} = \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{2 + 2} = 2$。
よって $n = k+1$ でも成り立つ。帰納法により全 $n$ で $a_n < 2$。$\square$
(2) $a_{n+1}^2 - a_n^2 = 2 + a_n - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 2) = -(a_n - 2)(a_n + 1)$
$a_n < 2$ かつ $a_n > 0$ より $a_n - 2 < 0$, $a_n + 1 > 0$ なので $a_{n+1}^2 - a_n^2 > 0$。
$a_n > 0$ より $a_{n+1} > a_n$。$\square$
(3) 単調増加で上に有界（$a_n < 2$）なので収束する。極限値を $\alpha$ とすると
$\alpha = \sqrt{2 + \alpha}$ より $\alpha^2 = 2 + \alpha$、$\alpha^2 - \alpha - 2 = 0$
$(\alpha - 2)(\alpha + 1) = 0$。$\alpha > 0$ より $\alpha = 2$。
単調増加で上に有界な数列、または単調減少で下に有界な数列は収束する。
※ この定理は実数の連続性（完備性）から導かれます。極限値は、漸化式で $a_{n+1} = f(a_n)$ のとき $\alpha = f(\alpha)$ を解いて求めます。
Step 1：有界性 ─ 帰納法などで $a_n$ の範囲（上界・下界）を示す
Step 2：単調性 ─ $a_{n+1} - a_n$ や $a_{n+1}/a_n$ を調べて単調性を確認
Step 3：極限値 ─ 収束が保証されたら、$\alpha = f(\alpha)$ の方程式を解く
✗ いきなり $\alpha = f(\alpha)$ を解いて「極限値は $\alpha$」と答える
✓ まず収束することを証明（有界性＋単調性）してから極限値を求める
収束しない数列に対して $\alpha = f(\alpha)$ を解いても意味がありません。
区分求積法は、和の極限を定積分に変換する手法です。数列の極限と積分をつなぐ重要な橋渡しとなります。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
より一般に、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$
※ 区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分し、各区間の幅 $\frac{1}{n}$ と関数値の積の和が定積分に収束するという考え方です。
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}\right)$ を求めよ。
解：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}$
区分求積法より
$\displaystyle\to \int_0^1 \frac{1}{1+x}\, dx = \left[\ln(1+x)\right]_0^1 = \ln 2$
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}}$ を求めよ。
解：$f(x) = \sqrt{x}$ として区分求積法を適用すると
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} = \int_0^1 \sqrt{x}\, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$
和が $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ の形に変形できれば、区分求積法が使えます。
ポイント：$\frac{1}{n}$ を外に括り出し、残りが $\frac{k}{n}$ の関数になるかを確認する。
和の範囲が $k = 0$ から $n-1$ でも $k = 1$ から $n$ でも、$n \to \infty$ の極限は同じ定積分に収束します。
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$ を求めよ。
解：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$
区分求積法より
$\displaystyle\to \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx = \left[\arctan x\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}$
前記事で学んだ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^p + 2^p + \cdots + n^p}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1}$ は、区分求積法から自然に導かれます。
$$\frac{1^p + 2^p + \cdots + n^p}{n^{p+1}} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^p \to \int_0^1 x^p\, dx = \frac{1}{p+1}$$
漸化式で定義された数列の極限を求める問題は、入試の最頻出テーマの一つです。
問題：$a_1 = 3$, $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n + 4}{2}$ で定義される数列の極限を求めよ。
解：特性方程式 $\alpha = \frac{\alpha + 4}{2}$ より $\alpha = 4$。
$a_{n+1} - 4 = \frac{a_n + 4}{2} - 4 = \frac{a_n - 4}{2}$
$a_n - 4 = (a_1 - 4)\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = (-1) \cdot \frac{1}{2^{n-1}}$
$a_n = 4 - \frac{1}{2^{n-1}} \to 4$（$n \to \infty$）
問題：$a_1 = 1$, $\displaystyle a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right)$ で定義される数列について
(1) $n \geq 2$ のとき $a_n \geq \sqrt{2}$ を示せ。
(2) $n \geq 2$ のとき $a_{n+1} \leq a_n$ を示せ。
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
解：
(1) $n \geq 2$ のとき、相加平均・相乗平均の不等式より
$a_n = \frac{1}{2}\left(a_{n-1} + \frac{2}{a_{n-1}}\right) \geq \sqrt{a_{n-1} \cdot \frac{2}{a_{n-1}}} = \sqrt{2}$ $\square$
(2) $n \geq 2$ のとき $a_n \geq \sqrt{2}$ なので
$a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{2}{a_n}\right) - a_n = \frac{1}{2}\left(\frac{2}{a_n} - a_n\right) = \frac{2 - a_n^2}{2a_n}$
$a_n \geq \sqrt{2}$ より $a_n^2 \geq 2$ なので $2 - a_n^2 \leq 0$。よって $a_{n+1} \leq a_n$。$\square$
(3) 単調減少で下に有界（$a_n \geq \sqrt{2}$）なので収束する。極限値を $\alpha$ とすると
$\alpha = \frac{1}{2}\left(\alpha + \frac{2}{\alpha}\right)$、$2\alpha^2 = \alpha^2 + 2$、$\alpha^2 = 2$
$\alpha > 0$ より $\alpha = \sqrt{2}$
上の例題の漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{c}{a_n}\right)$ は、$\sqrt{c}$ を計算するための古代バビロニアのアルゴリズムです。
相加平均と相乗平均の間にある値で近似を繰り返すことで、極めて速く $\sqrt{c}$ に収束します（ニュートン法の特殊ケース）。
問題：$a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2n(2n+1)}$ のとき、$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ を求めよ。
解：漸化式を繰り返し適用すると
$a_n = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{1}{4 \cdot 5} \cdots \frac{1}{(2n-2)(2n-1)} = \frac{1}{(2n-1)!/(1 \cdot (2n-2)!!)}$
$a_2 = \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$, $a_3 = \frac{1}{6 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{120}$ と急速に減少するので収束します。
部分和を計算すると $S = 1 + \frac{1}{6} + \frac{1}{120} + \cdots$ で、これは $e^{1} - 1$ の級数展開（の変形）に関連します。
✗ 漸化式を解かずにいきなり極限値だけを求める（収束の保証が不十分）
✓ 一般項が求まらない場合は「有界 + 単調」で収束を保証してから極限値を求める
確率の問題で、試行を無限に繰り返す場合に無限級数が現れます。
問題：A, B の2人がサイコロを交互に振り、先に6の目を出した方を勝ちとする。A が先に振るとき、A が勝つ確率を求めよ。
解：A が $k$ 回目（通算 $2k-1$ 回目）に初めて6を出す確率は
$\displaystyle\left(\frac{5}{6}\right)^{2(k-1)} \cdot \frac{1}{6}$
（A, B ともに $k-1$ 回ずつ外した後、A が6を出す）
A が勝つ確率は
$\displaystyle P = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{5}{6}\right)^{2(k-1)} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}$
確率と無限級数の融合問題では、次の流れで解きます。
1. $n$ 回目に特定の事象が起こる確率 $p_n$ を求める
2. 求めたい確率を $\sum p_n$ の無限級数として表す
3. 等比級数の和の公式や部分分数分解で計算する
問題：数直線上の原点に点Pがある。コインを投げて表なら $+1$、裏なら $-1$ 移動する。$n$ 回投げた後に点Pが原点にいる確率を $p_n$ とする。$\displaystyle\lim_{n \to \infty} p_{2n}$ を求めよ。
解：奇数回後に原点にいることはできないので $p_{2n-1} = 0$。
$2n$ 回中、$+1$ が $n$ 回、$-1$ が $n$ 回のとき原点に戻るので
$p_{2n} = {}_{2n} C_n \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2 \cdot 4^n}$
スターリングの近似 $n! \approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ を用いると
$p_{2n} \approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \to 0$（$n \to \infty$）
確率の問題で無限級数が現れるのは、「いつかは必ず起こる」事象の確率を求めるときです。
$\sum_{n=1}^{\infty} p_n = 1$ となれば、その事象は確率1で起こる（ほぼ確実に起こる）ことを意味します。
融合問題は、異なる分野の知識を組み合わせる力が試されます。入試本番での取り組み方を整理します。
極限 + 不等式 + 帰納法：数列の有界性を帰納法で示し、はさみうちで極限を求める
極限 + 区分求積法：和の式を $\frac{1}{n}\sum f(\frac{k}{n})$ に変形し定積分に帰着
漸化式 + 極限：一般項を求めるか「有界 + 単調」で収束を示す
確率 + 無限級数：$n$ 回目の確率 $p_n$ を求め、$\sum p_n$ を計算
| 融合パターン | 典型的な問題設定 | 解法の流れ |
|---|---|---|
| 帰納法+極限 | 漸化式で定義された数列の極限 | 有界性→単調性→極限値 |
| 区分求積法 | $\sum \frac{1}{n+k}$ 型の極限 | $\frac{1}{n}$ を括り出し定積分へ |
| 確率+無限級数 | 繰り返し試行の事象の確率 | $p_n$ を求め等比級数の和 |
| 不等式+はさみうち | 直接求められない極限 | 上下の評価で挟む |
問題：$\displaystyle S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^2}$ とおく。
(1) $S_n$ は単調減少であることを示せ。
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n$ を求めよ。
解：
(1) $S_n$ は $y = \frac{1}{1+x^2}$ の区間 $[0, 1]$ における左端点による区分求積法の和であり、$\frac{1}{1+x^2}$ は $[0,1]$ で単調減少なので、$S_n$ は定積分より大きく、分割を細かくするほど定積分に近づきます。よって $S_n > S_{n+1}$。
(2) 区分求積法より
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2}\, dx = \left[\arctan x\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}$
分野横断力：数列の極限・不等式・帰納法・微積分など、異なる分野の知識を自在に引き出す力
論理構成力：「有界性 → 単調性 → 収束 → 極限値」のように、解答全体の論理の流れを設計する力
問題発見力：与えられた式を区分求積法の形や既知の公式の形に読み替える力
Q1. 単調増加で上に有界な数列は必ずどうなるか。
Q2. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{k}{n}\right)^2$ を定積分で表せ。
Q3. $a_{n+1} = \frac{a_n + 6}{2}$ の特性方程式を解き、極限値を求めよ。
Q4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}$ を区分求積法で評価するとき、$f(x)$ は何か。
Q5. 漸化式から極限を求める際、最初に確認すべき2つの性質は何か。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\left(\sqrt{\frac{1}{n}} + \sqrt{\frac{2}{n}} + \cdots + \sqrt{\frac{n}{n}}\right)$$
$\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sqrt{\frac{k}{n}}$ に区分求積法を適用する。
$f(x) = \sqrt{x}$ として
$\displaystyle\int_0^1 \sqrt{x}\, dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}$
$a_1 = 0$, $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$ で定義される数列について：
(1) すべての自然数 $n$ で $0 \leq a_n < 3$ であることを帰納法で示せ。
(2) $\{a_n\}$ が単調増加であることを示せ。
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
(1) $n = 1$：$a_1 = 0$、$0 \leq 0 < 3$。成り立つ。
$0 \leq a_k < 3$ と仮定。$a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k}$。$a_k \geq 0$ より $a_{k+1} \geq \sqrt{6} > 0$。
$a_k < 3$ より $a_{k+1} = \sqrt{6 + a_k} < \sqrt{6+3} = 3$。$\square$
(2) $a_{n+1}^2 - a_n^2 = 6 + a_n - a_n^2 = -(a_n^2 - a_n - 6) = -(a_n - 3)(a_n + 2)$
$a_n < 3$ かつ $a_n \geq 0$ より $a_n - 3 < 0$, $a_n + 2 > 0$。よって $a_{n+1}^2 > a_n^2$。
$a_n \geq 0$ より $a_{n+1} > a_n$。$\square$
(3) 単調増加で上に有界なので収束する。$\alpha = \sqrt{6 + \alpha}$ より $\alpha^2 = 6 + \alpha$。
$\alpha^2 - \alpha - 6 = 0$、$(\alpha - 3)(\alpha + 2) = 0$。$\alpha > 0$ より $\alpha = 3$。
1個のサイコロを繰り返し投げる。$n$ 回目に初めて1の目が出る確率を $p_n$ とする。
(1) $p_n$ を求めよ。
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p_n$ を求めよ。
(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot p_n$ を求めよ。
(1) $n-1$ 回連続で1以外を出し、$n$ 回目に1を出すので
$p_n = \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{6}$
(2) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} p_n = \frac{1}{6} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{5}{6}\right)^n = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{1-\frac{5}{6}} = 1$
（いつかは必ず1が出ることを意味する）
(3) $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{n-1} \cdot \frac{1}{6}$。$r = \frac{5}{6}$ として
$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = \frac{1}{(1-r)^2}$（等比級数の微分）
$= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{(1/6)^2} = \frac{1}{6} \cdot 36 = 6$
（平均して6回投げれば1の目が出ることを意味する）
$a_1 = 2$, $\displaystyle a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 3}{2a_n}$ で定義される数列について：
(1) $n \geq 1$ で $a_n > 0$ であることを示せ。
(2) $n \geq 2$ で $a_n \geq \sqrt{3}$ であることを示せ。
(3) $n \geq 2$ で $a_{n+1} \leq a_n$ であることを示せ。
(4) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。
(1) $a_1 = 2 > 0$。$a_n > 0$ ならば $a_{n+1} = \frac{a_n^2 + 3}{2a_n} > 0$。帰納法より全 $n$ で $a_n > 0$。$\square$
(2) 相加平均・相乗平均の不等式より
$a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{3}{a_n}\right) \geq \sqrt{a_n \cdot \frac{3}{a_n}} = \sqrt{3}$
$n \geq 2$ のとき $a_n = a_{(n-1)+1}$ なので上の不等式が成り立つ。$\square$
(3) $a_{n+1} - a_n = \frac{a_n^2 + 3}{2a_n} - a_n = \frac{a_n^2 + 3 - 2a_n^2}{2a_n} = \frac{3 - a_n^2}{2a_n}$
$n \geq 2$ で $a_n \geq \sqrt{3}$ より $a_n^2 \geq 3$、よって $3 - a_n^2 \leq 0$。$\square$
(4) $\{a_n\}$ は $n \geq 2$ で単調減少、下に有界（$a_n \geq \sqrt{3}$）なので収束する。
$\alpha = \frac{\alpha^2 + 3}{2\alpha}$ より $2\alpha^2 = \alpha^2 + 3$、$\alpha^2 = 3$。
$\alpha > 0$ より $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \sqrt{3}$
$a_{n+1} = \frac{1}{2}\left(a_n + \frac{c}{a_n}\right)$ はニュートン法による $\sqrt{c}$ の近似列です（$c = 3$ の場合）。(1)～(3)の誘導を使って段階的に収束を示す典型的な構成です。相加平均・相乗平均の不等式が鍵となります。