本記事では、数列の極限に関する発展的な応用問題を扱います。自然数の累乗和を用いた極限、組合せを含む極限、$n$ 乗根の極限（$n^{1/n} \to 1$）、そしてネイピア数 $e$ の定義に現れる極限など、入試頻出のテーマを学びます。基本的な極限計算の技法を土台に、より高度な問題に対応する力を養いましょう。
$\sum_{k=1}^{n} k^p$ を $n$ で割った極限は、入試でしばしば出題されます。$n$ に関する多項式の最高次の項に着目するのがポイントです。
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \quad \sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$
※ $\sum k^p$ は $n$ の $p+1$ 次式であり、最高次の係数は $\frac{1}{p+1}$ です。
問題：次の極限を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3}$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + \cdots + n^3}{n^4}$
解：
(1) $\displaystyle\frac{\sum_{k=1}^{n} k^2}{n^3} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6}$
$n \to \infty$ のとき $\displaystyle\to \frac{1 \cdot 2}{6} = \frac{1}{3}$
(2) $\displaystyle\frac{\sum_{k=1}^{n} k^3}{n^4} = \frac{n^2(n+1)^2}{4n^4} = \frac{(1+\frac{1}{n})^2}{4} \to \frac{1}{4}$
$\sum_{k=1}^{n} k^p$ は $n$ の $p+1$ 次式なので、$n^{p+1}$ で割ると収束します。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1^p + 2^p + \cdots + n^p}{n^{p+1}} = \frac{1}{p+1}$$
これは後に学ぶ区分求積法（$\displaystyle\int_0^1 x^p \, dx = \frac{1}{p+1}$）とも深く結びついています。
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^2(n+2)}$ を求めよ。
解：$\displaystyle\frac{n(n+1)(2n+1)}{6 \cdot n^2(n+2)} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n(n+2)}$
$= \displaystyle\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6(1+\frac{2}{n})} \to \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 1} = \frac{1}{3}$
二項係数 ${}_n C_r$ や階乗 $n!$ を含む数列の極限は、入試上級問題で登場します。はさみうちの原理や比の計算が有効です。
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{{}_n C_2}{n^2}$ を求めよ。
解：${}_n C_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ より
$\displaystyle\frac{{}_n C_2}{n^2} = \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{1-\frac{1}{n}}{2} \to \frac{1}{2}$
問題：$a > 0$ のとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(1+a)^n}{n^2}$ を求めよ。
解：二項定理より $(1+a)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^k$ であり、$n \geq 3$ のとき第4項まで取ると
$(1+a)^n \geq {}_n C_3 a^3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6} a^3$
よって $\displaystyle\frac{(1+a)^n}{n^2} \geq \frac{(n-1)(n-2)}{6} a^3 \to \infty$
したがって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{(1+a)^n}{n^2} = \infty$
$r > 1$ のとき、任意の正の整数 $p$ に対して
$$\lim_{n \to \infty} \frac{n^p}{r^n} = 0$$
すなわち、指数関数の増大速度は多項式よりも圧倒的に速い。
※ 二項定理を利用したはさみうちで証明できます。$r^n$ の展開の中に $n^{p+1}$ 以上のオーダーの項が含まれることを利用します。
$n \to \infty$ における増大速度は次の順序です（左が遅く、右が速い）：
$\log n \ll n^p \ll r^n \ll n! \ll n^n$（$r > 1$, $p > 0$）
この序列を意識すると、$\frac{0}{0}$ 型や $\frac{\infty}{\infty}$ 型の極限の見通しが立ちやすくなります。
$\sqrt[n]{a}$ や $\sqrt[n]{n}$ の極限は、はさみうちの原理を用いて示す典型問題です。
$a > 0$ のとき
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = \lim_{n \to \infty} a^{1/n} = 1$$
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = \lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$$
$a > 1$ とする。$\sqrt[n]{a} = 1 + h_n$（$h_n > 0$）とおく。
$a = (1+h_n)^n \geq 1 + nh_n$（二項定理より）
よって $0 < h_n \leq \frac{a-1}{n}$
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a-1}{n} = 0$ より、はさみうちの原理から $h_n \to 0$。
したがって $\sqrt[n]{a} = 1 + h_n \to 1$。
$n \geq 2$ のとき $\sqrt[n]{n} > 1$ なので $\sqrt[n]{n} = 1 + h_n$（$h_n > 0$）とおく。
$n = (1+h_n)^n \geq {}_n C_2 h_n^2 = \frac{n(n-1)}{2} h_n^2$
よって $h_n^2 \leq \frac{2}{n-1}$、すなわち $0 < h_n \leq \sqrt{\frac{2}{n-1}}$
$n \to \infty$ のとき右辺 $\to 0$ なので、はさみうちの原理より $h_n \to 0$。
したがって $\sqrt[n]{n} \to 1$。
✗ $(1+h_n)^n \geq 1 + nh_n$ だけだと $h_n \leq \frac{n-1}{n}$ となり $h_n \to 0$ を示せない
✓ $\sqrt[n]{n}$ の場合は2次の項 ${}_n C_2 h_n^2$ を使う必要がある
どの項まで取るかは、示したい評価の強さによって変わります。
問題：$a > b > 0$ のとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a^n + b^n}$ を求めよ。
解：$a^n \leq a^n + b^n \leq 2a^n$ より
$\sqrt[n]{a^n} \leq \sqrt[n]{a^n + b^n} \leq \sqrt[n]{2a^n}$
$a \leq \sqrt[n]{a^n + b^n} \leq \sqrt[n]{2} \cdot a$
$\sqrt[n]{2} \to 1$ より、はさみうちの原理から $\sqrt[n]{a^n + b^n} \to a = \max(a, b)$。
一般に $a_1, a_2, \ldots, a_m > 0$ のとき
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1^n + a_2^n + \cdots + a_m^n} = \max(a_1, a_2, \ldots, a_m)$$
$n$ 乗根は「最大のものを抽出する」操作と解釈できます。
ネイピア数（自然対数の底） $e$ は、数列の極限として定義される重要な定数です。
$$e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2.71828\ldots$$
この数列は単調増加で上に有界であることが知られており、極限値が存在します。
※ $e$ は無理数であり、超越数でもあります。
$a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ の値を具体的に計算してみましょう。
$a_1 = 2$, $a_2 = 2.25$, $a_5 = 2.488\ldots$, $a_{10} = 2.594\ldots$, $a_{100} = 2.705\ldots$
$n$ を大きくすると、$e = 2.71828\ldots$ に近づいていきます。
(1) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}$
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{a}{n}\right)^n = e^a$（$a$ は定数）
(4) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = e$
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n$ を求めよ。
解：$\displaystyle\frac{n+3}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1}$ と変形する。
$\displaystyle\left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n = \left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^n = \left[\left(1 + \frac{2}{n+1}\right)^{(n+1)/2}\right]^{2n/(n+1)}$
$m = \frac{n+1}{2}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ であり
$\displaystyle\left(1 + \frac{1}{m}\right)^m \to e$
また $\displaystyle\frac{2n}{n+1} = \frac{2}{1+\frac{1}{n}} \to 2$
したがって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+3}{n+1}\right)^n = e^2$
$\left(1 + \frac{a}{f(n)}\right)^{g(n)}$ の形は、次の手順で処理します。
1. $\left(1 + \frac{a}{f(n)}\right)^{f(n)/a}$ の部分を $e$ に収束させる
2. 残りの指数 $\frac{a \cdot g(n)}{f(n)}$ の極限を求める
3. 全体は $e^{\lim \frac{ag(n)}{f(n)}}$ となる
✗ 「$1$ の何乗でも $1$」と安易に判断する
✓ $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \to e \neq 1$ のように、$1^\infty$ 型は不定形であり、慎重な計算が必要
数列の極限の応用問題では、問題の構造を見抜き、適切な手法を選ぶことが重要です。
累乗和型：$\frac{\sum k^p}{n^q}$ → 分子の最高次と分母の次数を比較
二項係数型：${}_n C_r$ を展開してから極限を取る。二項定理を活用
$n$ 乗根型：$\sqrt[n]{f(n)}$ → はさみうちの原理で評価
$e$ 関連型：$\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$ → $e^a$ の定義を利用
| 問題の型 | 主な手法 | 注意点 |
|---|---|---|
| $\frac{\sum k^p}{n^{p+1}}$ | 累乗和の公式 | 分母の次数に注意 |
| $\frac{r^n}{n^p}$ | 二項定理+はさみうち | $r > 1$ なら $\to \infty$ |
| $\sqrt[n]{n}$ | はさみうちの原理 | 2次の項を利用 |
| $\left(1+\frac{a}{n}\right)^n$ | $e$ の定義 | $1^\infty$ は不定形 |
問題：$\displaystyle\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt[n]{2} - 1\right)$ を求めよ。
解：$\sqrt[n]{2} = 2^{1/n} = e^{\frac{\ln 2}{n}}$ と書き換える。
$e^x \approx 1 + x$（$x \to 0$ のとき）を利用すると
$\sqrt[n]{2} - 1 = e^{\frac{\ln 2}{n}} - 1 \approx \frac{\ln 2}{n}$（$n \to \infty$）
$\displaystyle n\left(\sqrt[n]{2} - 1\right) \approx n \cdot \frac{\ln 2}{n} = \ln 2$
厳密には、$h = \frac{\ln 2}{n}$ とおくと $h \to 0$ であり $\frac{e^h - 1}{h} \to 1$ なので
$\displaystyle n(\sqrt[n]{2} - 1) = \frac{\ln 2}{h} \cdot (e^h - 1) \cdot \frac{1}{\frac{\ln 2}{h}} \cdot \frac{\ln 2}{n} \cdot n = \ln 2 \cdot \frac{e^h - 1}{h} \to \ln 2$
変形力：与えられた式を既知の極限公式が使える形に変形する技術
評価力：不等式を用いて数列を上下から評価し、はさみうちに持ち込む力
知識の活用：$e$ の定義、二項定理、累乗和の公式など、基本事項を自在に引き出す力
Q1. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{1^2 + 2^2 + \cdots + n^2}{n^3}$ の値を求めよ。
Q2. $r > 1$ のとき、$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{r^n}$ はどうなるか。
Q3. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{5}$ の値を求めよ。
Q4. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n$ の値を求めよ。
Q5. $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 5^n}$ の値を求めよ。
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \cdots + n(n+1)}{n^3}$$
$\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n}(k^2 + k) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$
$= \frac{n(n+1)}{6}(2n+1+3) = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$\displaystyle\frac{n(n+1)(n+2)}{3n^3} = \frac{(1+\frac{1}{n})(1+\frac{2}{n})}{3} \to \frac{1}{3}$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n + 5^n}$$
$5^n \leq 2^n + 3^n + 5^n \leq 3 \cdot 5^n$ より
$5 \leq \sqrt[n]{2^n + 3^n + 5^n} \leq \sqrt[n]{3} \cdot 5$
$\sqrt[n]{3} \to 1$ より、はさみうちの原理から
$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{2^n + 3^n + 5^n} = 5$
次の極限を求めよ。
$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{3n}$$
$\displaystyle\frac{2n+1}{2n-1} = 1 + \frac{2}{2n-1}$ と変形する。
$\displaystyle\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right)^{3n} = \left[\left(1 + \frac{2}{2n-1}\right)^{(2n-1)/2}\right]^{\frac{6n}{2n-1}}$
$n \to \infty$ のとき $\frac{2n-1}{2} \to \infty$ なので $\left(1 + \frac{1}{\frac{2n-1}{2}}\right)^{(2n-1)/2} \to e$
$\displaystyle\frac{6n}{2n-1} = \frac{6}{2 - \frac{1}{n}} \to 3$
したがって $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)^{3n} = e^3$
$\left(1+\frac{a}{f(n)}\right)^{g(n)}$ の形では、まず $\left(1+\frac{1}{f(n)/a}\right)^{f(n)/a} \to e$ の部分を作り、残りの指数 $\frac{a \cdot g(n)}{f(n)}$ の極限を求めます。全体は $e^{\lim ag(n)/f(n)}$ です。
$n$ を2以上の自然数とする。次の問いに答えよ。
(1) $n^{1/n} = 1 + h_n$（$h_n > 0$）とおくとき、$h_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}}$ を示せ。
(2) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} n^{1/n} = 1$ を証明せよ。
(3) $\displaystyle\lim_{n \to \infty} (n!)^{1/n^2}$ を求めよ。
(1) $n = (1+h_n)^n$。二項定理より $(1+h_n)^n \geq {}_n C_2 h_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}h_n^2$
よって $n \geq \frac{n(n-1)}{2}h_n^2$ すなわち $h_n^2 \leq \frac{2}{n-1}$
$h_n > 0$ より $h_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}}$ $\square$
(2) $0 < h_n < \sqrt{\frac{2}{n-1}}$ であり、$\sqrt{\frac{2}{n-1}} \to 0$（$n \to \infty$）
はさみうちの原理より $h_n \to 0$。よって $n^{1/n} = 1 + h_n \to 1$ $\square$
(3) $1 \leq n! \leq n^n$ より $1 \leq (n!)^{1/n^2} \leq n^{n/n^2} = n^{1/n}$
(2)より $n^{1/n} \to 1$ なので、はさみうちの原理より $(n!)^{1/n^2} \to 1$
(3)は(2)の結果を利用する誘導問題です。$n!$ の大きさを $n^n$ で上から評価し、$n$ 乗根の結果に帰着させます。入試では、前問の結果を利用する流れを読み取る力が問われます。