積分法は微分法の逆演算として定義されます。「微分したらこの関数になる元の関数は何か？」という問いに答える操作が不定積分です。本記事では、不定積分の定義と積分定数の意味を正確に理解し、基本的な積分公式を学びます。
微分法では「関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求める」ことを学びました。積分法では、この操作を逆にたどります。つまり「$F'(x) = f(x)$ を満たす関数 $F(x)$ を求める」のが基本的な問題です。
関数 $f(x)$ に対して、$F'(x) = f(x)$ を満たす関数 $F(x)$ を $f(x)$ の原始関数（primitive function）という。
例：$f(x) = 2x$ の原始関数は $F(x) = x^2$。なぜなら $(x^2)' = 2x = f(x)$ だから。
ただし、$F(x) = x^2 + 1$ も $F(x) = x^2 - 5$ も原始関数。微分すると定数項は消えるため、原始関数は1つに定まらない。
$F(x)$ が $f(x)$ の原始関数であるとき、任意の定数 $C$ に対して $F(x) + C$ もまた $f(x)$ の原始関数です。逆に、$f(x)$ の原始関数はすべて $F(x) + C$ の形に書けます。
$F(x)$ と $G(x)$ がともに $f(x)$ の原始関数とする。すなわち $F'(x) = f(x)$, $G'(x) = f(x)$。
$H(x) = F(x) - G(x)$ とおくと $H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0$。
$H'(x) = 0$ であるから $H(x)$ は定数関数。よって $F(x) - G(x) = C$（定数）。
したがって、$f(x)$ の原始関数はすべて $F(x) + C$ の形で表される。
$f(x)$ の原始関数の全体を $f(x)$ の不定積分（indefinite integral）といい、次のように表す：
$$\int f(x)\, dx = F(x) + C$$
ここで $F(x)$ は $f(x)$ の1つの原始関数、$C$ は積分定数（任意定数）。
$\int$ をインテグラル（integral sign）、$f(x)$ を被積分関数、$dx$ は $x$ に関する積分であることを示す記号。
✗ $\int 2x\, dx = x^2$
✓ $\int 2x\, dx = x^2 + C$
不定積分の計算で積分定数 $C$ を書き忘れるのは最も多い減点ポイントです。不定積分は「関数の集合」を表しているので、$+C$ は本質的に重要です。
微分の公式を逆にたどることで、不定積分の基本公式が得られます。「微分したら $f(x)$ になる関数 $F(x)$ は何か？」を考えるのが基本姿勢です。
$$\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$
特に重要な場合：
$\displaystyle\int 1\, dx = x + C$、$\displaystyle\int x\, dx = \frac{x^2}{2} + C$、$\displaystyle\int x^2\, dx = \frac{x^3}{3} + C$
※ 検算：$\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = \frac{(n+1)x^n}{n+1} = x^n$ ✓
$k$ を定数、$f(x), g(x)$ を関数とするとき：
$$\int kf(x)\, dx = k\int f(x)\, dx$$
$$\int \{f(x) + g(x)\}\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx$$
$$\int \{f(x) - g(x)\}\, dx = \int f(x)\, dx - \int g(x)\, dx$$
※ 微分の線形性 $(af + bg)' = af' + bg'$ に対応しています。
| 微分 | 不定積分 |
|---|---|
| $(x)' = 1$ | $\int 1\, dx = x + C$ |
| $(x^2)' = 2x$ | $\int 2x\, dx = x^2 + C$ |
| $(x^3)' = 3x^2$ | $\int 3x^2\, dx = x^3 + C$ |
| $\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)' = x^n$ | $\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
$\int x^n\, dx$ の計算手順：
① $x$ の指数 $n$ を $1$ 上げる → $x^{n+1}$
② 上げた後の指数 $n + 1$ で割る → $\frac{x^{n+1}}{n+1}$
③ 積分定数 $+ C$ を忘れずに書く
例：$\int x^4\, dx = \frac{x^5}{5} + C$（指数4を5に上げて、5で割る）
積分定数 $C$ は「任意の定数」ですが、その幾何学的な意味を理解しておくと、積分の本質がより深くわかります。
$\int 2x\, dx = x^2 + C$ において、$C$ の値を変えると放物線 $y = x^2 + C$ が上下に平行移動します。
$C = 0$：$y = x^2$（原点を通る放物線）
$C = 1$：$y = x^2 + 1$（1だけ上に移動）
$C = -2$：$y = x^2 - 2$（2だけ下に移動）
これらの放物線はすべて「各点での傾きが $2x$」という共通の性質をもちます。つまり、同じ導関数をもつ曲線の族が原始関数の全体です。
積分定数は通常「任意」ですが、特定の条件（初期条件）が与えられると $C$ の値が1つに定まります。
問題：$f'(x) = 3x^2 - 2x$ かつ $f(1) = 5$ のとき、$f(x)$ を求めよ。
$f(x) = \int (3x^2 - 2x)\, dx = x^3 - x^2 + C$
$f(1) = 5$ より $1 - 1 + C = 5$ すなわち $C = 5$。
よって $f(x) = x^3 - x^2 + 5$。
✗ 最初から $C$ を省略して計算する：$f(x) = x^3 - x^2$ として $f(1) = 0 \neq 5$…合わない！
✓ 必ず $+C$ をつけて積分し、その後に初期条件で $C$ を決定する。
積分定数の存在こそが「条件を使って関数を確定できる」根拠です。
基本公式と線形性を組み合わせて、多項式の不定積分を計算します。
例1：$\displaystyle\int (3x^2 + 4x - 5)\, dx = x^3 + 2x^2 - 5x + C$
（各項を $\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ で計算）
例2：$\displaystyle\int (2x + 1)^2\, dx$
まず展開：$(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$
$= \int (4x^2 + 4x + 1)\, dx = \frac{4x^3}{3} + 2x^2 + x + C$
例3：$\displaystyle\int (x+1)(x-2)\, dx$
展開：$(x+1)(x-2) = x^2 - x - 2$
$= \int (x^2 - x - 2)\, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x + C$
Step 1：被積分関数を展開して $x$ のべき乗の和に直す
Step 2：各項ごとに $\int x^n\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ を適用
Step 3：積分定数 $+C$ を付ける
※ 数学IIの範囲では、被積分関数は多項式に限られます（展開すれば $x^n$ の和に帰着できるもの）。
不定積分の計算が正しいかどうかは、結果を微分して元の関数に戻るか確認するだけでチェックできます。
$\int f(x)\, dx = F(x) + C$ と計算したら、$F'(x) = f(x)$ を確認しましょう。
例：$\int (6x^2 - 2x + 3)\, dx = 2x^3 - x^2 + 3x + C$
検算：$(2x^3 - x^2 + 3x + C)' = 6x^2 - 2x + 3$ ✓
この検算は確実で簡単なので、必ず行う習慣をつけましょう。
微分と積分は互いに逆の操作です。この関係は次のように表現できます。
積分してから微分：
$$\frac{d}{dx}\int f(x)\, dx = f(x)$$
（積分で得た関数を微分すると、元の被積分関数に戻る）
微分してから積分：
$$\int F'(x)\, dx = F(x) + C$$
（導関数を積分すると、元の関数に定数の不定性を残して戻る）
この逆演算の関係は、数学全体を通じて最も重要な関係の1つです。後に学ぶ定積分でも、この関係が基礎となります。
積分記号 $\int$ は summa（ラテン語で「和」）の頭文字 S を引き伸ばしたもので、ライプニッツが考案しました。
$dx$ は「$x$ の微小な変化量」を表す記号で、$\int f(x)\, dx$ は「$f(x) \cdot dx$ という微小な量を合計する」という意味をもちます。この意味は定積分を学ぶとより明確になります。
大学の解析学では、不定積分を「微分方程式 $F'(x) = f(x)$ の解」として捉え、存在定理や一意性の議論を厳密に行います。
微分と積分は逆操作ですが、完全に「元に戻る」わけではありません：
✓ $\frac{d}{dx}\int f(x)\, dx = f(x)$（完全に元に戻る）
△ $\int \frac{d}{dx}F(x)\, dx = F(x) + C$（定数分だけ不定性が残る）
微分で定数項の情報が失われるため、積分で完全に復元することはできません。
Q1. $\int (4x^3 - 6x + 2)\, dx$ を求めよ。
Q2. $\int (x + 3)^2\, dx$ を求めよ。
Q3. $f'(x) = 6x^2 + 2$ かつ $f(0) = 3$ のとき、$f(x)$ を求めよ。
Q4. $\int 5\, dx$ を求めよ。
Q5. $\int (2x - 1)(3x + 2)\, dx$ を求めよ。
次の不定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int (x^3 - 4x^2 + 3)\, dx$
(2) $\displaystyle\int (2x + 1)^3\, dx$
(3) $\displaystyle\int x(x - 1)(x + 2)\, dx$
(1) $\int (x^3 - 4x^2 + 3)\, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 3x + C$
(2) $(2x+1)^3 = 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1$ より
$\int (8x^3 + 12x^2 + 6x + 1)\, dx = 2x^4 + 4x^3 + 3x^2 + x + C$
(3) $x(x-1)(x+2) = x(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x$ より
$\int (x^3 + x^2 - 2x)\, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - x^2 + C$
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ であり、$f(x)$ のグラフが点 $(1, -1)$ を通るとき、$f(x)$ を求めよ。
$f(x) = \int (3x^2 - 6x + 2)\, dx = x^3 - 3x^2 + 2x + C$
$f(1) = -1$ より $1 - 3 + 2 + C = -1$ すなわち $C = -1$。
$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$
$f''(x) = 6x - 4$ であり、$f'(1) = 0$、$f(2) = 3$ のとき、$f(x)$ を求めよ。
$f'(x) = \int (6x - 4)\, dx = 3x^2 - 4x + C_1$
$f'(1) = 0$ より $3 - 4 + C_1 = 0$ すなわち $C_1 = 1$。
$f'(x) = 3x^2 - 4x + 1$
$f(x) = \int (3x^2 - 4x + 1)\, dx = x^3 - 2x^2 + x + C_2$
$f(2) = 3$ より $8 - 8 + 2 + C_2 = 3$ すなわち $C_2 = 1$。
$f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$
3次関数 $f(x)$ が次の条件を満たすとき、$f(x)$ を求めよ。
・$f(x)$ は $x = 1$ で極大値 $4$ をとる
・$f(x)$ は $x = 3$ で極小値をとる
・$f(x)$ の最高次の係数は $1$ である
最高次の係数が $1$ の3次関数なので $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ とおく。
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$
$x = 1, 3$ で $f'(x) = 0$ より $f'(x) = 3(x - 1)(x - 3) = 3x^2 - 12x + 9$。
係数比較：$2a = -12$ より $a = -6$、$b = 9$。
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + c$
$f(1) = 4$ より $1 - 6 + 9 + c = 4$ すなわち $c = 0$。
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$
検算：$f(3) = 27 - 54 + 27 = 0$（極小値 $0$）✓
$f'(x) = 0$ の解が $x = 1, 3$ であることから $f'(x)$ を先に決定し、それを積分して $f(x)$ を求める方法です。「導関数 → 積分 → 初期条件で定数決定」という流れは、不定積分の本質的な応用です。