偶関数・奇関数が対称区間 $[-a, a]$ で定積分されるとき、グラフの対称性を利用して計算を大幅に簡略化できます。偶関数なら $2$ 倍、奇関数なら $0$ ─ このシンプルな性質を理解し、使いこなしましょう。
定積分の対称性を学ぶ前に、偶関数と奇関数の定義とグラフの特徴を確認しましょう。
偶関数：すべての $x$ に対して $f(-x) = f(x)$ が成り立つ関数
→ グラフは$y$ 軸に関して対称
奇関数：すべての $x$ に対して $f(-x) = -f(x)$ が成り立つ関数
→ グラフは原点に関して対称
| 偶関数の例 | 奇関数の例 |
|---|---|
| $f(x) = x^2$, $x^4$, $x^{2n}$ | $f(x) = x$, $x^3$, $x^{2n+1}$ |
| $f(x) = |x|$ | $f(x) = x|x|$ |
| $f(x) = \cos x$ | $f(x) = \sin x$, $\tan x$ |
| $f(x) = x^2 + 1$（偶数次のみ） | $f(x) = x^3 - 3x$（奇数次のみ） |
多項式の場合：偶数次の項だけで構成されていれば偶関数、奇数次の項だけで構成されていれば奇関数です。
例：$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ は偶関数、$g(x) = x^5 - 4x^3 + x$ は奇関数です。
偶数次の項と奇数次の項が混在する場合は、偶関数でも奇関数でもありません。
定数項 $c$ は $cx^0$ と考えれば偶数次（$0$ 次）の項です。したがって $f(x) = x^3 + 1$ は奇関数ではありません。
$f(-x) = -x^3 + 1 \neq -f(x) = -x^3 - 1$ となり、奇関数の条件を満たしません。
偶関数を対称区間 $[-a, a]$ で積分すると、$y$ 軸の左右で面積が等しいため、片側の $2$ 倍で計算できます。
$f(x)$ が偶関数のとき：
$$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\, dx$$
※ $y$ 軸対称なので、$[0, a]$ の積分値を $2$ 倍すればよい。
$$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = \int_{-a}^{0} f(x)\, dx + \int_{0}^{a} f(x)\, dx$$
第1項で $x = -t$ と置換する。$dx = -dt$、$x: -a \to 0$ のとき $t: a \to 0$ より：
$$\int_{-a}^{0} f(x)\, dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) = \int_{0}^{a} f(-t)\, dt$$
$f(x)$ が偶関数なので $f(-t) = f(t)$ を代入すると：
$$= \int_{0}^{a} f(t)\, dt$$
よって $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = \int_{0}^{a} f(t)\, dt + \int_{0}^{a} f(x)\, dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\, dx$
例1：$\displaystyle\int_{-2}^{2} x^2\, dx$ を求める。
$f(x) = x^2$ は偶関数なので：
$$\int_{-2}^{2} x^2\, dx = 2\int_{0}^{2} x^2\, dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$$
例2：$\displaystyle\int_{-1}^{1} (3x^4 - 2x^2 + 1)\, dx$ を求める。
$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 1$ は偶数次の項のみなので偶関数。
$$= 2\int_{0}^{1} (3x^4 - 2x^2 + 1)\, dx = 2\left[\frac{3x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x\right]_0^1 = 2\left(\frac{3}{5} - \frac{2}{3} + 1\right) = 2 \cdot \frac{14}{15} = \frac{28}{15}$$
奇関数を対称区間 $[-a, a]$ で積分すると、原点対称により正の部分と負の部分が完全に打ち消し合います。
$f(x)$ が奇関数のとき：
$$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0$$
※ 原点対称なので、正の部分の面積と負の部分の面積が等しく打ち消し合う。
偶関数の場合と同様に：
$$\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = \int_{-a}^{0} f(x)\, dx + \int_{0}^{a} f(x)\, dx$$
第1項で $x = -t$ と置換すると：
$$\int_{-a}^{0} f(x)\, dx = \int_{0}^{a} f(-t)\, dt$$
$f(x)$ が奇関数なので $f(-t) = -f(t)$ を代入すると：
$$= \int_{0}^{a} (-f(t))\, dt = -\int_{0}^{a} f(t)\, dt$$
よって $\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = -\int_{0}^{a} f(t)\, dt + \int_{0}^{a} f(x)\, dx = 0$
例1：$\displaystyle\int_{-3}^{3} x^3\, dx$ を求める。
$f(x) = x^3$ は奇関数なので $\displaystyle\int_{-3}^{3} x^3\, dx = 0$
例2：$\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 - 5x)\, dx$ を求める。
$f(x) = x^3 - 5x$ は奇数次の項のみなので奇関数。よって $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 - 5x)\, dx = 0$
✗ $\int_{-3}^{3} x^3\, dx = 0$ だから、$y = x^3$ と $x$ 軸で囲まれた面積は $0$
✓ 定積分の値が $0$ なのは正負が打ち消し合った結果。面積は $\int_{-3}^{3} |x^3|\, dx = 2\int_0^3 x^3\, dx = \frac{81}{2}$
定積分の値と面積は別物です。奇関数の定積分が $0$ でも、面積は $0$ ではありません。
被積分関数が偶関数の部分と奇関数の部分に分けられる場合、対称区間の定積分では奇関数の部分を無視できます。
例：$\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 5)\, dx$
偶関数部分：$x^4 - 2x^2 + 5$、奇関数部分：$3x^3 + x$（対称区間で $0$）
$$= 2\int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 5)\, dx = 2\left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 5x\right]_0^1 = 2\left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 5\right) = 2 \cdot \frac{68}{15} = \frac{136}{15}$$
定積分の計算で偶奇性を活用するには、まず被積分関数の偶奇性を素早く判定する力が必要です。
$f(-x)$ を計算して $f(x)$ と比較するのが基本です。
ステップ1：$f(-x)$ を求める（$x$ をすべて $-x$ に置き換える）
ステップ2：$f(-x) = f(x)$ なら偶関数
ステップ3：$f(-x) = -f(x)$ なら奇関数
ステップ4：どちらでもなければ偶関数でも奇関数でもない
偶関数と奇関数の積・商にも規則があります。
| 演算 | 結果 | 覚え方 |
|---|---|---|
| 偶 $\times$ 偶 | 偶関数 | 偶 $+$ 偶 $=$ 偶 |
| 奇 $\times$ 奇 | 偶関数 | 奇 $+$ 奇 $=$ 偶 |
| 偶 $\times$ 奇 | 奇関数 | 偶 $+$ 奇 $=$ 奇 |
右の「覚え方」は、偶数・奇数の加法の規則と同じです。偶数次 $\times$ 奇数次 $=$ 奇数次と考えれば自然です。
偶奇性を活用するには次の2つの条件を両方満たす必要があります：
✅ 積分区間が $[-a, a]$ の形で原点に関して対称
✅ 被積分関数が偶関数または奇関数（あるいはそれらの和に分解可能）
区間が対称でなければ（例：$[0, 3]$ や $[1, 5]$）、たとえ偶関数・奇関数であってもこの性質は使えません。
例：$\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^5 - 3x^3 + 2x^2 + 4)\, dx$ を求める。
奇関数部分：$x^5 - 3x^3$ → 対称区間で $0$
偶関数部分：$2x^2 + 4$
$$= 2\int_0^2 (2x^2 + 4)\, dx = 2\left[\frac{2x^3}{3} + 4x\right]_0^2 = 2\left(\frac{16}{3} + 8\right) = 2 \cdot \frac{40}{3} = \frac{80}{3}$$
偶関数でも奇関数でもない一般の関数 $f(x)$ は、偶関数成分と奇関数成分の和に分解できます。
任意の関数 $f(x)$ に対して：
$$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{偶関数成分 } f_e(x)} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{奇関数成分 } f_o(x)}$$
※ $f_e(-x) = f_e(x)$（偶関数）、$f_o(-x) = -f_o(x)$（奇関数）が確認できる。
偶関数成分の確認：$f_e(x) = \dfrac{f(x) + f(-x)}{2}$ とすると、
$f_e(-x) = \dfrac{f(-x) + f(x)}{2} = f_e(x)$ ✓（偶関数）
奇関数成分の確認：$f_o(x) = \dfrac{f(x) - f(-x)}{2}$ とすると、
$f_o(-x) = \dfrac{f(-x) - f(x)}{2} = -\dfrac{f(x) - f(-x)}{2} = -f_o(x)$ ✓（奇関数）
和の確認：$f_e(x) + f_o(x) = \dfrac{f(x)+f(-x)}{2} + \dfrac{f(x)-f(-x)}{2} = f(x)$ ✓
偶奇分解を使えば、対称区間の定積分で奇関数成分を自動的に消去できます。
例：$f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4$ のとき、$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\, dx$ を求める。
$f(-x) = -x^3 + 2x^2 - 3x + 4$
偶関数成分：$f_e(x) = \dfrac{f(x)+f(-x)}{2} = \dfrac{(x^3+2x^2+3x+4)+(-x^3+2x^2-3x+4)}{2} = 2x^2 + 4$
対称区間 $[-1, 1]$ で奇関数成分は消えるので：
$$\int_{-1}^{1} f(x)\, dx = 2\int_0^1 (2x^2 + 4)\, dx = 2\left[\frac{2x^3}{3} + 4x\right]_0^1 = 2 \cdot \frac{14}{3} = \frac{28}{3}$$
偶奇分解は、多項式に限らず一般の関数に適用できる強力な手法です。
対称区間の定積分では、被積分関数を直接分類できなくても、偶関数成分だけを取り出して計算すればよいのです。
多項式の場合は「偶数次の項と奇数次の項を分ける」ことで、偶奇分解と同じ結果が得られます。
✗ $f(x) = \sqrt{x}$ を偶奇分解する（$f(-x) = \sqrt{-x}$ は実数の範囲で定義されない！）
✓ 偶奇分解は $f(x)$ と $f(-x)$ の両方が定義されている範囲でのみ適用可能
偶奇分解の前提として、関数の定義域が原点に関して対称であることが必要です。
Q1. $\displaystyle\int_{-3}^{3} (x^3 + 2x)\, dx$ を求めよ。
Q2. $\displaystyle\int_{-1}^{1} (x^4 - 3x^2 + 2)\, dx$ を求めよ。
Q3. $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 + 4x^2 - x + 1)\, dx$ を求めよ。
Q4. $f(x) = x^2 + 3x$ の偶関数成分 $f_e(x)$ と奇関数成分 $f_o(x)$ を求めよ。
Q5. $f(x) = x^2$ が偶関数、$g(x) = x^3$ が奇関数のとき、$f(x) \cdot g(x)$ の偶奇性を答えよ。
次の定積分を求めよ。
(1) $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^4 + x^3 - 2x^2 - x + 3)\, dx$
(2) $\displaystyle\int_{-3}^{3} (2x^5 - x^3 + 4x)\, dx$
(1) 奇関数部分 $x^3 - x$ は消える。偶関数部分 $x^4 - 2x^2 + 3$。
$= 2\int_0^2 (x^4 - 2x^2 + 3)\, dx = 2\left[\frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 3x\right]_0^2 = 2\left(\frac{32}{5} - \frac{16}{3} + 6\right) = 2 \cdot \frac{186}{15} = \frac{372}{15} = \frac{124}{5}$
(2) $f(x) = 2x^5 - x^3 + 4x$ は奇数次の項のみなので奇関数。$\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\, dx = 0$
$f(x) = x^3 - 4x$ とする。
(1) $f(x)$ が奇関数であることを示せ。
(2) $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(x)\, dx$ を求めよ。
(3) 曲線 $y = f(x)$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ。
(1) $f(-x) = (-x)^3 - 4(-x) = -x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) = -f(x)$。よって $f(x)$ は奇関数。
(2) 奇関数の対称区間の定積分より $\displaystyle\int_{-2}^{2} (x^3 - 4x)\, dx = 0$
(3) $x^3 - 4x = x(x-2)(x+2) = 0$ で $x = -2, 0, 2$。
奇関数なので $[-2, 0]$ の上側と $[0, 2]$ の下側の面積は等しい。
$S = 2\int_0^2 |x^3 - 4x|\, dx = 2\int_0^2 (4x - x^3)\, dx = 2\left[2x^2 - \frac{x^4}{4}\right]_0^2 = 2(8 - 4) = 8$
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ が $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\, dx = 6$ を満たすとき、$a + c$ の値を求めよ。
対称区間 $[-1, 1]$ で奇関数部分 $x^3 + bx$ は消える。偶関数部分 $ax^2 + c$ のみが寄与する。
$\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\, dx = 2\int_0^1 (ax^2 + c)\, dx = 2\left[\frac{ax^3}{3} + cx\right]_0^1 = 2\left(\frac{a}{3} + c\right) = \frac{2a}{3} + 2c$
$\frac{2a}{3} + 2c = 6$ より $\frac{2(a + 3c)}{3} = 6$ すなわち $a + 3c = 9$
ここで、$a + c$ の値は一意に定まらない…と思いきや、問題文の条件だけでは $a + c$ は確定しません。
しかし、題意より $a + 3c = 9$ が得られるので、追加条件なしでは $a + c$ の値は $b$ の値によらないが $a, c$ の関係 $a = 9 - 3c$ から $a + c = 9 - 2c$ となり確定しない。
※ 出題の意図が $\frac{2a}{3} + 2c = 6$ すなわち $a + 3c = 9$ を求めることである場合、$a + 3c = 9$。
この問題のポイントは、対称区間 $[-1, 1]$ の定積分では奇関数部分（$x^3$ と $bx$ の項）が消えるため、$b$ の値に関係なく積分値が決まることです。偶関数部分の係数 $a, c$ の間に関係式が得られます。
$f(x)$ は連続関数で、すべての実数 $x$ に対して $f(x) + f(-x) = x^2 + 2$ を満たすとする。このとき、$\displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\, dx$ を求めよ。
$\displaystyle I = \int_{-3}^{3} f(x)\, dx$ とおく。
$x = -t$ と置換すると $dx = -dt$、$x: -3 \to 3$ のとき $t: 3 \to -3$ より：
$$I = \int_{3}^{-3} f(-t)(-dt) = \int_{-3}^{3} f(-t)\, dt = \int_{-3}^{3} f(-x)\, dx$$
よって $2I = I + I = \displaystyle\int_{-3}^{3} f(x)\, dx + \int_{-3}^{3} f(-x)\, dx = \int_{-3}^{3} \{f(x) + f(-x)\}\, dx$
条件 $f(x) + f(-x) = x^2 + 2$ を代入すると：
$$2I = \int_{-3}^{3} (x^2 + 2)\, dx = 2\int_0^3 (x^2 + 2)\, dx = 2\left[\frac{x^3}{3} + 2x\right]_0^3 = 2(9 + 6) = 30$$
よって $I = 15$
条件式 $f(x) + f(-x) = x^2 + 2$ は、$f(x)$ の偶関数成分が $\frac{x^2+2}{2}$ であることを意味します。$f(x)$ そのものの形がわからなくても、$I + I$ の形を作ることで $f(x) + f(-x)$ の積分に帰着できます。このテクニックは入試で頻出です。