3次関数は $x \to \pm\infty$ で発散するため、定義域全体では最大値・最小値をもちません。しかし閉区間に限れば必ず最大値・最小値が存在します。極値と区間の端の値を比較する方法を体系的に学びましょう。区間の端がパラメータを含む場合分け問題は、入試の最頻出テーマです。
閉区間 $[a, b]$ で連続な関数 $f(x)$ の最大値・最小値は必ず存在し、次のいずれかの点で達成されます：
① 区間内の極値の点（$f'(x) = 0$ となる点）
② 区間の端点 $x = a$ または $x = b$
したがって、これらの候補点での $f$ の値をすべて計算し、最大と最小を選べばよいのです。
Step 1: $f'(x) = 0$ を解き、区間 $[a, b]$ 内の解を求める
Step 2: その解での $f$ の値と、端点の値 $f(a), f(b)$ をすべて計算する
Step 3: これらの中から最大のものが最大値、最小のものが最小値
✗ 極大値が最大値、極小値が最小値
✓ 端の値が極値より大きい（小さい）場合がある
例えば $f(x) = x^3 - 3x$ は $x = -1$ で極大値 $2$ ですが、区間 $[-1, 3]$ では $f(3) = 18$ が最大値です。
Step 1: $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$、$f'(x) = 0$ のとき $x = 0, 2$（どちらも区間内）
Step 2: 候補点の値を計算
| $x$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $4$ |
|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-3$ | $1$ | $-3$ | $17$ |
Step 3: 最大値は $f(4) = 17$（$x = 4$）、最小値は $f(-1) = f(2) = -3$（$x = -1, 2$）
$f'(x) = 0$ の解が区間外にある場合は候補に含めません。例えば区間 $[3, 5]$ で $f'(x) = 0$ の解が $x = 0, 2$ なら、どちらも区間外なので端点のみが候補です。
$f'(x) = 0$ の解のうち1つだけが区間内にある場合、候補は端点2つ+極値1つ の計3つです。
$f'(x) = 0$ の解がどちらも区間外であれば、$f(x)$ は区間内で単調です。この場合、最大値と最小値は区間の端点でとります。
最大最小の問題では「候補リスト」を作ることが核心です：
$\{\,f(a),\; f(\alpha),\; f(\beta),\; f(b)\,\}$（$\alpha, \beta$ は区間内にある $f'(x) = 0$ の解）
このリストの中で最大・最小を見つければ完了です。増減表を詳しく書かなくても解けることが多いです。
区間の位置がパラメータ $t$ で動くとき、$f'(x) = 0$ の解（ここでは $x = \pm 1$）が区間に含まれるかどうかで場合分けが必要です。
$f'(x) = 0$ の解を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とする。区間 $[t, t+2]$ に対し：
① $\alpha, \beta$ がともに区間外（$t+2 \leq \alpha$ or $\beta \leq t$）
② $\alpha$ のみ区間内（$t \leq \alpha \leq t+2 < \beta$ or $\alpha < t, \beta \leq t+2$）
③ $\alpha, \beta$ がともに区間内（$t \leq \alpha < \beta \leq t+2$）
各ケースで候補リストを作り直し、最大・最小を比較します。
場合分けの境界は「$f'(x) = 0$ の解が区間の端点と一致するとき」です。グラフの概形を描いて、区間が左から右に動くイメージを持つと場合分けの見通しがよくなります。
極値点が区間の端点に一致する境界ケースを見落としがちです。不等号の等号（$\leq$ か $<$ か）に注意し、すべてのケースを網羅しましょう。
文章題では「ある量を $x$ で表し、$f(x)$ の最大値を求める」形に帰着します。
手順：
一辺 $12$ cm の正方形の厚紙の四隅から一辺 $x$ cm の正方形を切り取り、箱を作る。体積の最大値を求めよ。
解） 箱の底面は $(12 - 2x) \times (12 - 2x)$、高さは $x$
$$V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x(6-x)^2 \quad (0 < x < 6)$$
$V'(x) = 4[(6-x)^2 + x \cdot 2(6-x)(-1)] = 4(6-x)(6 - 3x) = 12(6-x)(2-x)$
$V'(x) = 0$ のとき $x = 2$（$x = 6$ は端点、$0 < x < 6$）
$V(2) = 4 \cdot 2 \cdot 16 = 128$（cm³）
この問題では開区間 $(0, 6)$ ですが、端点で $V = 0$ なので、極大値がそのまま最大値です。
文章題では定義域が開区間 $(a, b)$ になることがあります。この場合、閉区間の定理は直接使えませんが、端点で $f \to 0$ や $f \to -\infty$ などの挙動がわかれば、極値が最大値（最小値）になります。
Q1. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の $[0, 4]$ における最大値と最小値を求めよ。
$f'(x) = 3(x-1)(x-3)$、区間内の解 $x = 1, 3$
$f(0) = 1$、$f(1) = 5$、$f(3) = 1$、$f(4) = 5$
最大値 $5$（$x = 1, 4$）、最小値 $1$（$x = 0, 3$）
Q2. $f(x) = x^3 - 3x$ の $[0, 2]$ における最大値を求めよ。
$f'(x) = 3(x+1)(x-1)$、区間 $[0,2]$ 内の解は $x = 1$
$f(0) = 0$、$f(1) = -2$、$f(2) = 2$
最大値は $f(2) = 2$
Q3. $f(x) = -x^3 + 12x$ の $[-1, 3]$ における最大値と最小値を求めよ。
$f'(x) = -3x^2 + 12 = -3(x+2)(x-2)$、区間内の解は $x = 2$
$f(-1) = 1 - 12 = -11$、$f(2) = -8 + 24 = 16$、$f(3) = -27 + 36 = 9$
最大値 $16$（$x = 2$）、最小値 $-11$（$x = -1$）
Q4. 閉区間での最大値・最小値の候補となりうる点を2つ述べよ。
① $f'(x) = 0$ となる区間内の点（極値点）
② 区間の端点
Q5. 一辺 $18$ cm の正方形の厚紙の四隅から正方形を切り取り、ふたのない箱を作る。体積の最大値を求めよ。
$V(x) = x(18 - 2x)^2 = 4x(9-x)^2$（$0 < x < 9$）
$V'(x) = 4(9-x)(9-3x) = 12(9-x)(3-x)$
$V'(x) = 0$ で $x = 3$（$0 < x < 9$）
$V(3) = 4 \cdot 3 \cdot 36 = 432$ cm³
$f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1$ の $[0, 3]$ における最大値と最小値を求めよ。
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x-1)(x-2)$
$f(0) = -1$、$f(1) = 2 - 9 + 12 - 1 = 4$、$f(2) = 16 - 36 + 24 - 1 = 3$、$f(3) = 54 - 81 + 36 - 1 = 8$
最大値 $8$（$x = 3$）、最小値 $-1$（$x = 0$）
$f(x) = x^3 - 3x$ の $[a, a+1]$（$a \geq 0$）における最小値 $m(a)$ を求めよ。
$f'(x) = 3(x+1)(x-1)$。$a \geq 0$ より区間 $[a, a+1]$ に $x = -1$ は含まれない。$x = 1$ が区間に含まれるかで場合分け。
(i) $a \geq 1$ のとき：$x = 1$ は区間の左端以下。$f'(x) > 0$（$x > 1$）なので $f$ は区間で単調増加。$m(a) = f(a) = a^3 - 3a$
(ii) $0 \leq a < 1$ かつ $a+1 > 1$（すなわち $0 \leq a < 1$）のとき：$x = 1$ は区間内。$f(a) = a^3 - 3a$、$f(1) = -2$、$f(a+1) = (a+1)^3 - 3(a+1)$ を比較。
$0 \leq a < 1$ で $f(a) = a^3 - 3a \leq 0$、$f(1) = -2$。$f(a) - f(1) = a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2) \geq 0$ なので $f(a) \geq f(1)$。
$\therefore m(a) = f(1) = -2$（$0 \leq a < 1$ のとき）
まとめ：$m(a) = \begin{cases} -2 & (0 \leq a < 1) \\ a^3 - 3a & (a \geq 1) \end{cases}$
$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 4a^3$（$a > 0$）の $0 \leq x \leq a+1$ における最大値を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 - 6ax = 3x(x - 2a)$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 0, 2a$
候補：$f(0) = 4a^3$（極大）、$f(2a) = 8a^3 - 12a^3 + 4a^3 = 0$（極小、$2a \leq a+1$ つまり $a \leq 1$ のとき区間内）
$f(a+1) = (a+1)^3 - 3a(a+1)^2 + 4a^3$
(i) $a \leq 1$ のとき：$2a \leq a+1$ なので $x = 2a$ は区間内。最大値の候補は $f(0) = 4a^3$ と $f(a+1)$。$f(0)$ と $f(a+1)$ の大小を比較して最大値を決定。
(ii) $a > 1$ のとき：$2a > a+1$ なので $x = 2a$ は区間外。$f$ は $[0, a+1]$ で単調減少。最大値 $= f(0) = 4a^3$
$a > 0$ とする。$f(x) = x^3 - 3a^2x$ の $-1 \leq x \leq 1$ における最大値 $M(a)$ と最小値 $m(a)$ を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x+a)(x-a)$
$f(x)$ は奇関数：$f(-x) = -f(x)$ なので $M(a) = -m(a)$。最大値のみ求めればよい。
(i) $a \geq 1$ のとき：$f'(x) \leq 0$（$-1 \leq x \leq 1$ で $x^2 \leq 1 \leq a^2$）なので $f$ は単調減少。$M(a) = f(-1) = -1 + 3a^2 = 3a^2 - 1$
(ii) $0 < a < 1$ のとき：$x = -a$ が区間内で極大。$f(-a) = -a^3 + 3a^3 = 2a^3$
$f(-1) = 3a^2 - 1$ と $f(-a) = 2a^3$ を比較：$f(-1) - f(-a) = 3a^2 - 1 - 2a^3 = -(2a^3 - 3a^2 + 1) = -(a-1)^2(2a+1)$
$0 < a < 1$ のとき $(a-1)^2 > 0$、$(2a+1) > 0$ なので $f(-1) - f(-a) < 0$、$f(-a) > f(-1)$
$\therefore M(a) = f(-a) = 2a^3$
まとめ：$M(a) = \begin{cases} 2a^3 & (0 < a < 1) \\ 3a^2 - 1 & (a \geq 1) \end{cases}$、$m(a) = -M(a)$