数学IIの範囲では3次関数が中心ですが、$f(x) = x^4 - 2x^2$ のような4次関数も頻出します。導関数 $f'(x)$ が3次式になるため、$f'(x) = 0$ の解が最大3つとなり、グラフのパターンが増えます。本記事では4次関数のグラフの特徴と、最大最小問題への応用を学びます。
$f(x) = ax^4 + \cdots$（$a \neq 0$）のグラフは：
・$a > 0$ のとき：$x \to \pm\infty$ で $f(x) \to +\infty$（U字型の両端上がり）
・$a < 0$ のとき：$x \to \pm\infty$ で $f(x) \to -\infty$（∩字型の両端下がり）
3次関数と異なり、両端が同じ方向に伸びるのが最大の特徴です。
4次関数の導関数は3次式なので、$f'(x) = 0$ は最大3つの実数解をもちます。したがって、極値は最大で3つ（極大2つ＋極小1つ、または極大1つ＋極小2つ）となります。
| $f'(x)=0$の解 | 極値の個数 | グラフの形 |
|---|---|---|
| 異なる3実数解 | 3つ（極小・極大・極小） | W字型 |
| 1実数解＋重解 | 1つ（極小のみ） | U字型（踊り場付き） |
| 1実数解のみ | 1つ（極小のみ） | U字型 |
| 3重解 | なし | $y = x^4$ 型 |
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8x = 4x(x^2 - 3x + 2) = 4x(x-1)(x-2)$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 0, 1, 2$（異なる3実数解 → W字型）
| $x$ | $\cdots$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↘ | 極小 $0$ | ↗ | 極大 $1$ | ↘ | 極小 $0$ | ↗ |
4次関数の $f'(x)$ は3次式です。因数分解には「$x$ をくくり出す」「因数定理を使う」などの工夫が必要です。特に共通因数 $x$ を見落とさないようにしましょう。
奇数次の項がない4次関数は偶関数（$f(-x) = f(x)$）であり、$y$ 軸対称なグラフをもちます。
$$f'(x) = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b)$$
$x = 0$ は常に $f'(x) = 0$ の解で、$2ax^2 + b = 0$ の解の有無で場合分けします。
$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x+1)(x-1)$
$x = -1$ で極小値 $-1$、$x = 0$ で極大値 $0$、$x = 1$ で極小値 $-1$
$f(x) = ax^4 + bx^2 + c$ は $t = x^2$（$t \geq 0$）とおくと $g(t) = at^2 + bt + c$ という2次関数になります。$t \geq 0$ の制約のもとで $g(t)$ の最大最小を考えれば、$f(x)$ の最大最小が求まります。
3次関数と同様に、$f'(x) = 0$ の区間内の解と端点での値を比較します。4次関数の場合は候補が最大5つ（端点2つ＋極値3つ）になりうるので、漏れなく計算することが大切です。
$a > 0$ のとき、4次関数は $x \to \pm\infty$ で $+\infty$ に向かうため、最小値は必ず存在します（最大値は存在しない）。最小値は極小値の中で最も小さいものです。
3次関数は定義域全体では最大値も最小値も存在しませんが、4次関数（$a > 0$）は最小値が存在します。この違いは $x \to \pm\infty$ での挙動の違いによるものです。
$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x+2)(x-2)$
$x = -2$：$f(-2) = 16 - 32 + 12 = -4$（極小）
$x = 0$：$f(0) = 12$（極大）
$x = 2$：$f(2) = 16 - 32 + 12 = -4$（極小）
$\therefore$ 最小値は $-4$（$x = \pm 2$）
$f(x) = x^4 + ax^2 + b$ の最小値を求めるとき：
Step 1: $t = x^2 \geq 0$ とおく
Step 2: $g(t) = t^2 + at + b$（$t \geq 0$）の最小値を求める
Step 3: 2次関数 $g(t)$ の軸 $t = -a/2$ が $t \geq 0$ に入るかで場合分け
$t = x^2 \geq 0$ とおくと $g(t) = t^2 - 6t + 5 = (t - 3)^2 - 4$
軸は $t = 3 \geq 0$ なので $g(3) = -4$ が最小値。$t = 3$ つまり $x = \pm\sqrt{3}$ のとき。
$\therefore f(x)$ の最小値は $-4$
✗ $g(t)$ の軸がどこでも $g$ は軸で最小
✓ $t = x^2 \geq 0$ の制約があるので、軸が負のときは $t = 0$ で最小
例：$g(t) = t^2 + 4t + 5 = (t+2)^2 + 1$ は軸 $t = -2 < 0$ なので、$t \geq 0$ では $g(0) = 5$ が最小値。
置換 $t = x^2$ の考え方は、大学の多変数関数の最適化や、ラグランジュの未定乗数法につながる基本的な「変数変換による次数下げ」の技法です。制約条件つき最適化の入門として重要です。
Q1. $f(x) = x^4 - 4x^2$ の極値をすべて求めよ。
$f'(x) = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 4x(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$
$x = -\sqrt{2}$ で極小値 $4 - 8 = -4$、$x = 0$ で極大値 $0$、$x = \sqrt{2}$ で極小値 $-4$
Q2. $f(x) = -x^4 + 2x^2 + 3$ の最大値を求めよ。
$t = x^2 \geq 0$ とおくと $g(t) = -t^2 + 2t + 3 = -(t-1)^2 + 4$
$t = 1$（すなわち $x = \pm 1$）で最大値 $4$
Q3. $f(x) = x^4 + 2x^2 + 1$ のグラフはW字型かU字型か。
$f(x) = (x^2 + 1)^2$ より $f'(x) = 4x(x^2 + 1) = 0$ のとき $x = 0$ のみ。
$x = 0$ で極小値 $1$。極値は1つなのでU字型。
Q4. $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$ の $[-2, 2]$ における最大値を求めよ。
$f'(x) = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$
$f(-2) = 16 - 8 + 3 = 11$、$f(-1) = 1 - 2 + 3 = 2$、$f(0) = 3$、$f(1) = 2$、$f(2) = 11$
最大値は $11$（$x = \pm 2$）
Q5. $f(x) = x^4 + ax^2$ が $x = 0$ 以外にも極値をもつための $a$ の条件を求めよ。
$f'(x) = 4x^3 + 2ax = 2x(2x^2 + a)$
$2x^2 + a = 0$ が $x \neq 0$ の実数解をもつには $a < 0$
$\therefore a < 0$
$f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$ の極値をすべて求め、グラフの概形を描け。
$f(x) = (x^2 - 4)^2$
$f'(x) = 2(x^2 - 4) \cdot 2x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x+2)(x-2)$
$x = -2$：極小値 $f(-2) = 0$、$x = 0$：極大値 $f(0) = 16$、$x = 2$：極小値 $f(2) = 0$
W字型のグラフで、$x$ 軸に $x = \pm 2$ で接する。
$f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ を簡単にし、極値を求めよ。
$f(x) = (x-1)^4$
$f'(x) = 4(x-1)^3 = 0$ のとき $x = 1$
$x < 1$ で $f'(x) < 0$、$x > 1$ で $f'(x) > 0$ なので $x = 1$ で極小値 $f(1) = 0$
$f(x) = (x-1)^4$ と気づけば計算は一瞬です。二項定理の係数（$1, -4, 6, -4, 1$）から $(x-1)^4$ を見抜く力が問われます。$f'(x) = 4(x-1)^3$ は $x=1$ の前後で符号が変わるため、極小値は存在します。
$f(x) = x^4 + 2ax^2 + 1$ の最小値が $-3$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
$t = x^2 \geq 0$ とおくと $g(t) = t^2 + 2at + 1 = (t + a)^2 + 1 - a^2$
(i) $-a \leq 0$（$a \geq 0$）のとき：$g(0) = 1$ が最小値。$1 = -3$ にならず不適。
(ii) $-a > 0$（$a < 0$）のとき：$g(-a) = 1 - a^2$ が最小値。$1 - a^2 = -3$ より $a^2 = 4$、$a = -2$（$a < 0$）
$\therefore a = -2$
$f(x) = x^4 - 4ax^3 + 6a^2x^2$（$a > 0$）の $0 \leq x \leq 2a$ における最大値と最小値を求めよ。
$f'(x) = 4x^3 - 12ax^2 + 12a^2x = 4x(x^2 - 3ax + 3a^2)$
$x^2 - 3ax + 3a^2 = 0$ の判別式 $D = 9a^2 - 12a^2 = -3a^2 < 0$ なので実数解なし。
$\therefore f'(x) = 0$ の区間 $[0, 2a]$ 内の解は $x = 0$ のみ。
$x > 0$ で $x^2 - 3ax + 3a^2 > 0$ より $f'(x) > 0$。$f$ は $[0, 2a]$ で単調増加。
最小値 $= f(0) = 0$、最大値 $= f(2a) = 16a^4 - 32a^4 + 24a^4 = 8a^4$