導関数 $f'(x)$ の符号を調べれば、関数 $f(x)$ がどこで増加し、どこで減少するかがわかります。極大・極小の判定は入試の最重要テーマであり、増減表を正確に書けることがすべての出発点です。本記事では、$f'(x)=0$ の解が増減をどう切り替えるかを原理から理解し、極値の存在条件まで体系的に学びます。
ある区間で $f'(x) > 0$ であれば、$f(x)$ はその区間で単調増加、$f'(x) < 0$ であれば単調減少です。導関数は「関数の傾き」を与えるので、傾きが正なら右上がり、傾きが負なら右下がりです。
区間 $I$ において、任意の $x_1, x_2 \in I$ に対し：
区間 $I$ で $f(x)$ が微分可能なとき：
$$f'(x) > 0 \;(\forall x \in I) \Longrightarrow f(x) \text{ は } I \text{ で単調増加}$$
$$f'(x) < 0 \;(\forall x \in I) \Longrightarrow f(x) \text{ は } I \text{ で単調減少}$$
※ 正確には「$f'(x) \geq 0$ かつ等号が有限個の点でのみ成り立つ」場合も単調増加です。
例） $f(x) = x^3 - 3x$ のとき $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$ です。
✗ $f'(x) = 0$ となる点は必ず極値
✓ $f'(x) = 0$ の前後で $f'(x)$ の符号が変わるときに限り極値
例：$f(x) = x^3$ では $f'(0) = 0$ ですが、$f'(x) = 3x^2 \geq 0$ で符号は変わらず、$x = 0$ は極値ではありません。
$f(x)$ が $x = a$ の近くで定義されているとき：
極大値と極小値をまとめて極値と呼びます。
$f'(a) = 0$ のとき、$x = a$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変わるかで判定します：
・$f'(x)$ が正 → 負 に変化 → $x = a$ で極大
・$f'(x)$ が負 → 正 に変化 → $x = a$ で極小
・$f'(x)$ の符号が変わらない → 極値ではない
極大値はあくまで「局所的」な最大であり、関数全体の最大値（大域的最大値）とは異なります。3次関数 $f(x) = x^3 - 3x$ は $x = -1$ で極大値 $2$ をとりますが、$x \to \infty$ で $f(x) \to \infty$ なので、関数全体の最大値は存在しません。
大学では $f''(a) < 0$ なら極大、$f''(a) > 0$ なら極小という第2次導関数テストを学びます。これは $f'$ の増減を調べることと同じ原理です。高校範囲の増減表は、この判定法の直感的な表現です。
Step 1: $f'(x)$ を求める
Step 2: $f'(x) = 0$ の解を求める
Step 3: 数直線上で $f'(x)$ の符号を調べる
Step 4: 符号に応じて $f(x)$ の増減（↗ ↘）を書く
Step 5: 極値の座標を計算して記入する
$f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 = 6(x^2 - 3x + 2) = 6(x-1)(x-2)$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 1, 2$
| $x$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $2$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | ↗ | 極大 $2$ | ↘ | 極小 $1$ | ↗ |
$f(1) = 2 - 9 + 12 - 3 = 2$（極大値）、$f(2) = 16 - 36 + 24 - 3 = 1$（極小値）
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）のとき $f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ は2次式。$f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると：
$f'(x) = 0$ が重解をもつとき、例えば $f(x) = x^3$ で $f'(x) = 3x^2$ の場合、$f'(x) \geq 0$ なので符号変化がなく、極値は存在しません。
✗ $f'(x) = 0$ の解があるから極値がある
✓ 符号が変わるかどうかを必ず確認する
$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$（$a \neq 0$）が極値をもつ
$$\iff f'(x) = 0 \text{ が異なる2つの実数解をもつ}$$
$$\iff D = (2b)^2 - 4 \cdot 3a \cdot c = 4b^2 - 12ac > 0$$
$$\iff b^2 - 3ac > 0$$
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3$
極値をもつ条件は $f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$：
$$D = (2a)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 4a^2 - 36 > 0$$
$$a^2 > 9 \quad \therefore a < -3 \text{ または } a > 3$$
3次関数が極値をもたない条件は $b^2 - 3ac \leq 0$ です。このとき $f(x)$ は単調増加または単調減少になります（$a > 0$ なら単調増加、$a < 0$ なら単調減少）。
「極値をもつ条件」は入試頻出で、次のパターンに分かれます：
① パラメータの範囲を求める → 判別式 $D > 0$
② 極大値と極小値の差を求める → 解と係数の関係を利用
③ 極値の符号条件 → 極値の式に代入して不等式を立てる
$f(x) = a(x - \alpha)^2(x - \beta) + k$ のように因数分解できるとき、$f'(x) = 0$ の解を $\alpha, \beta$（$\alpha < \beta$）とすると：
$$f(\alpha) - f(\beta) = \frac{a}{6}(\alpha - \beta)^3 \cdot (-2) = -\frac{a}{3}(\alpha - \beta)^3$$
ただし高校範囲では、$f(\alpha)$ と $f(\beta)$ をそれぞれ計算するのが確実です。
「$f(x)$ が $x = p$ で極大値 $q$ をとる」という条件は、次の2つの式を与えます：
これらを連立して未知の係数を求めます。
$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$ が $x = 1$ で極値をとるとき、$a, b$ を求めよ。
解） $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ より $f'(1) = 0$：
$$3 + 2a + b = 0 \quad \cdots (1)$$
ここで条件は1つしかないため、$a, b$ の関係式が得られます。追加条件（例：$x = -1$ でも極値をとる）があれば、もう1つの式から連立して解けます。
$f'(-1) = 0$ のとき：$3 - 2a + b = 0 \quad \cdots (2)$
$(1) - (2)$：$4a = 0$ より $a = 0$、$b = -3$
$\therefore f(x) = x^3 - 3x + 1$
$f'(p) = 0$ は極値の必要条件であって十分条件ではありません。解を求めた後、増減表を作って極大・極小を確認する必要があります。
✗ $f'(p) = 0$ だから $x = p$ で極値をとる
✓ $f'(p) = 0$ かつ $f'(x)$ の符号が $x = p$ の前後で変化する
問題文で「$x = p$ で極値をとる」と言われたら、$f'(p) = 0$ は使えます（必要条件）。ただし答えを出した後、本当に極値であることの確認（増減表）は必須です。特に「$x = p$ で極大値をとる」と指定されている場合、極小値でないことまで確認しましょう。
Q1. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の極大値と極小値を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 1, 3$
増減表より $x = 1$ で極大値 $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$、$x = 3$ で極小値 $f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1$
Q2. $f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 5$ は極値をもつか判定せよ。
$f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x+1)^2$
$f'(x) = 0$ のとき $x = -1$（重解）。$f'(x) \geq 0$ で符号変化がないため、極値をもたない。
Q3. $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ の増減を調べ、増減表を完成させよ。
$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x-2)(x+1)$
$x < -1$：$f'(x) > 0$（↗）、$x = -1$：極大値 $f(-1) = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$
$-1 < x < 2$：$f'(x) < 0$（↘）、$x = 2$：極小値 $f(2) = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$
$x > 2$：$f'(x) > 0$（↗）
Q4. $f(x) = x^3 + ax^2 + (a+2)x + 1$ が極値をもつような $a$ の範囲を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a+2)$
判別式 $D = 4a^2 - 12(a+2) = 4a^2 - 12a - 24 > 0$
$a^2 - 3a - 6 > 0$ を解いて $a < \dfrac{3 - \sqrt{33}}{2}$ または $a > \dfrac{3 + \sqrt{33}}{2}$
Q5. $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ が $x = 2$ で極大値 $4$ をとるとき、$a, b$ を求めよ。
$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$ より $f'(2) = 12 + 4a + b = 0 \quad \cdots (1)$
$f(2) = 8 + 4a + 2b = 4 \quad \cdots (2)$
$(1)$ より $b = -12 - 4a$、$(2)$ に代入：$8 + 4a + 2(-12 - 4a) = 4$
$8 + 4a - 24 - 8a = 4$、$-4a = 20$、$a = -5$、$b = -12 + 20 = 8$
確認：$f'(x) = 3x^2 - 10x + 8 = (3x - 4)(x - 2)$、$x = 2$ の前後で正→負に符号変化 → 極大 ✓
$f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 2$ の極大値と極小値を求めよ。
$f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 = -3(x^2 - 2x - 3) = -3(x-3)(x+1)$
$f'(x) = 0$ のとき $x = -1, 3$
$x < -1$：$f'(x) < 0$（↘）、$-1 < x < 3$：$f'(x) > 0$（↗）、$x > 3$：$f'(x) < 0$（↘）
$x = -1$ で極小値 $f(-1) = 1 + 3 - 9 - 2 = -7$
$x = 3$ で極大値 $f(3) = -27 + 27 + 27 - 2 = 25$
$f(x) = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x + 1$ が極値をもつとき、$a$ の条件を求めよ。また、極大値と極小値の差を $a$ を用いて表せ。
$f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3a^2 = 3(x^2 - 2ax + a^2) = 3(x - a)^2$
$f'(x) = 0$ のとき $x = a$（重解）。$f'(x) = 3(x-a)^2 \geq 0$ で符号変化なし。
よって、$f(x)$ は極値をもたない（任意の $a$ に対して）。
$f'(x) = 3(x - a)^2$ は常に $0$ 以上で、$x = a$ でのみ $0$ となります。前後で符号が変わらないため極値をもちません。問題文が「極値をもつとき」と仮定していますが、そのような $a$ は存在しません。
$f(x) = 2x^3 + 3(a-1)x^2 - 6ax + 5$ が $x = -2$ で極値をとるとき、定数 $a$ の値を求め、極大値と極小値をそれぞれ求めよ。
$f'(x) = 6x^2 + 6(a-1)x - 6a = 6[x^2 + (a-1)x - a] = 6(x+a)(x-1)$
$f'(-2) = 0$ より $6(-2+a)(-2-1) = 0$、$-18(-2+a) = 0$、$a = 2$
$f'(x) = 6(x+2)(x-1)$
$x = -2$ で極大値：$f(-2) = 2(-8) + 3(1)(4) - 12(-2) + 5 = -16 + 12 + 24 + 5 = 25$
$x = 1$ で極小値：$f(1) = 2 + 3 - 12 + 5 = -2$
$f(x) = x^3 - 3a^2x + 2a^3$（$a > 0$）について、次の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ の極大値と極小値を $a$ を用いて表せ。
(2) 極大値と極小値の差が $32$ であるとき、$a$ の値を求めよ。
(1) $f'(x) = 3x^2 - 3a^2 = 3(x+a)(x-a)$
$a > 0$ より $x = -a$ で極大、$x = a$ で極小。
極大値：$f(-a) = -a^3 + 3a^3 + 2a^3 = 4a^3$
極小値：$f(a) = a^3 - 3a^3 + 2a^3 = 0$
(2) 極大値 $-$ 極小値 $= 4a^3 - 0 = 4a^3 = 32$
$a^3 = 8$ より $a = 2$
$f(x) = x^3 - 3a^2x + 2a^3$ は $f(a) = 0$ を満たすので、$x = a$ は $f(x) = 0$ の解でもあります。このように極小値が $0$ になるのは、$f(x) = (x-a)^2(x+2a)$ と因数分解できることからもわかります。