「$x$ が $a$ から $b$ まで変わるとき、$f(x)$ はどれだけ変化するか」── この問いに答えるのが平均変化率です。
そして $b$ を $a$ に限りなく近づけたとき、平均変化率は「瞬間の変化率」へと進化します。これが微分の出発点です。
関数 $f(x)$ において、$x$ の値が $a$ から $b$ まで変化するとき、$x$ の増分は $b - a$、$f(x)$ の増分は $f(b) - f(a)$ です。このとき、$f(x)$ の増分を $x$ の増分で割った値を平均変化率と呼びます。
関数 $f(x)$ の $x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率：
$$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$
$b - a$ を $\Delta x$（デルタ $x$）、$f(b) - f(a)$ を $\Delta y$ と書くこともあります。このとき平均変化率は $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ です。
日常的な例で考えましょう。車で 2 時間かけて 120 km 進んだとき、平均速度は $\dfrac{120}{2} = 60$ km/h です。途中で速度が変わっても、「ならした」速度がこの値です。
関数でも同じです。$x$ が $a$ から $b$ に変化する間に $f(x)$ がどう変わろうと、「ならした変化の割合」が平均変化率です。
$b = a + h$（すなわち $h = b - a$）とおくと、平均変化率は次のようにも書けます。
$$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$$
この表記は、後の微分係数の定義に直結する重要な形です。
例1：$f(x) = x^2$ の $x$ が $1$ から $3$ まで変化するときの平均変化率
$$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
例2：$f(x) = x^3$ の $x$ が $1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率
$$\frac{f(2) - f(1)}{2 - 1} = \frac{8 - 1}{1} = 7$$
例3：$f(x) = 2x^2 - 3x + 1$ の $x$ が $a$ から $a + h$ まで変化するときの平均変化率
$$\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \frac{\{2(a+h)^2 - 3(a+h) + 1\} - \{2a^2 - 3a + 1\}}{h}$$
$$= \frac{2(2ah + h^2) - 3h}{h} = \frac{4ah + 2h^2 - 3h}{h} = 4a + 2h - 3$$
曲線 $y = f(x)$ 上の2点 $\mathrm{A}(a, f(a))$、$\mathrm{B}(b, f(b))$ を結ぶ直線を割線（secant line）と呼びます。
平均変化率 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ は、2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を通る直線（割線）の傾きそのものです。
つまり平均変化率を求めることは、グラフ上の2点を結ぶ直線の傾きを求めることと同じです。この幾何学的な解釈が、後の「接線の傾き」への理解につながります。
✗ 誤り：平均変化率 = $f(b) - f(a)$（変化量そのもの）
✓ 正しい：平均変化率 = $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$（変化量 ÷ $x$ の増分）
平均変化率は「変化量」ではなく「変化の割合（率）」です。分母の $b - a$ を忘れないようにしましょう。
平均変化率 $\dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$ において、$b$ を $a$ にどんどん近づけたらどうなるでしょうか。
$f(x) = x^2$、$a = 1$ の場合で試してみましょう。
| $b$ | $b - a$ | $f(b) - f(a)$ | 平均変化率 |
|---|---|---|---|
| $2$ | $1$ | $3$ | $3$ |
| $1.5$ | $0.5$ | $1.25$ | $2.5$ |
| $1.1$ | $0.1$ | $0.21$ | $2.1$ |
| $1.01$ | $0.01$ | $0.0201$ | $2.01$ |
| $1.001$ | $0.001$ | $0.002001$ | $2.001$ |
$b$ が $1$ に近づくほど、平均変化率は $2$ に近づいていきます。この「限りなく近づく値」を極限値（limit）と呼びます。
「$x$ が $a$ に限りなく近づくとき、$f(x)$ が $L$ に限りなく近づく」ことを
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
と書き、$L$ を $x \to a$ のときの $f(x)$ の極限値という。
上の表から、$f(x) = x^2$ の $x = 1$ における「瞬間の変化率」は $2$ であることが分かります。これは $h$ を用いた表記では
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$$
と計算できます。
平均変化率は「区間全体でならした変化の割合」でした。区間の幅 $h$ を 0 に近づけると、「ならす」範囲がどんどん狭まり、最終的に1点での変化の割合＝瞬間の変化率が得られます。
車の例でいえば、走行時間を限りなく短くしたときの平均速度が「瞬間速度」になるのと同じです。
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ は、$h = 0$ を代入すると分子・分母ともに $0$ になります。このような状態を不定形 $\dfrac{0}{0}$ と呼びます。
不定形は「そのまま代入しては求まらない」という意味であり、式変形で $h$ を約分してから $h \to 0$ とします。
例：$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
$x = 2$ を代入すると $\dfrac{0}{0}$ なので、分子を因数分解します。
$$\lim_{x \to 2} \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$$
例：$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(a+h)^3 - a^3}{h}$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{3a^2 h + 3ah^2 + h^3}{h} = \lim_{h \to 0} (3a^2 + 3ah + h^2) = 3a^2$$
例：$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$
分子の有理化を行います。
$$= \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x+4} - 2)(\sqrt{x+4} + 2)}{x(\sqrt{x+4} + 2)} = \lim_{x \to 0} \frac{x+4-4}{x(\sqrt{x+4}+2)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{4}$$
極限計算で最も多いミスは、$\dfrac{0}{0}$ を「0」と即断してしまうことです。
✗ 誤り：$\dfrac{0}{0} = 0$ と答える
✓ 正しい：式変形で不定形を解消してから極限を求める
$\dfrac{0}{0}$ は「まだ答えが決まっていない」状態です。因数分解・展開・有理化などで式を変形し、$0$ になる因子を約分してから代入します。
高校では「限りなく近づく」と直感的に理解しますが、大学ではε-δ 論法（イプシロン・デルタ論法）を用いて極限を厳密に定義します。
「任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$0 < |x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - L| < \varepsilon$」が $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = L$ の定義です。
直感的には「$f(x)$ を $L$ にいくらでも近くできる」ことを数式で表現したものです。
ここまでの流れを整理しましょう。
この「微分係数」を $f'(a)$ と書きます。次の記事で詳しく学びます。
グラフ上では、$h \to 0$ にすると点 $\mathrm{B}$ が点 $\mathrm{A}$ に近づき、割線が接線に近づきます。
平均変化率（割線の傾き）の極限が微分係数（接線の傾き）です。
$$\underbrace{\frac{f(a+h) - f(a)}{h}}_{\text{割線の傾き}} \xrightarrow{h \to 0} \underbrace{f'(a)}_{\text{接線の傾き}}$$
「2点を通る直線」の傾きが、点を近づける極限操作を経て「1点で接する直線」の傾きになる ── これが微分の幾何学的な意味です。
$f(x) = x^2$ の $x = 1$ における接線の傾きは
$$f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$$
よって接線の方程式は $y - 1 = 2(x - 1)$ すなわち $y = 2x - 1$ です。
これは放物線 $y = x^2$ 上の点 $(1, 1)$ での接線として、確かに正しい結果です。
同じ計算を $h$ 型と $x$ 型の2通りで書くことがあります。
| $h$ 型 | $x$ 型 |
|---|---|
| $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ | $\displaystyle\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ |
| $b = a + h$ とおく | $h = x - a$ とおく |
どちらも同じ値を与えます。問題に応じて使いやすい方を選びましょう。
$h$ 型では $h \to 0$、$x$ 型では $x \to a$ です。混同すると計算が合わなくなります。
✗ 誤り：$\displaystyle\lim_{h \to a} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$（$h$ 型なのに $h \to a$ としている）
✓ 正しい：$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
Q1. $f(x) = 3x^2$ の $x$ が $1$ から $4$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
Q2. $f(x) = x^2 + 2x$ の $x$ が $a$ から $a + h$ まで変化するときの平均変化率を $a$, $h$ で表せ。
Q3. $\displaystyle\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ を求めよ。
Q4. $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^3 - 8}{h}$ を求めよ。
Q5. $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}$ を求めよ。
関数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ について、次の問いに答えよ。
(1) $x$ が $1$ から $5$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(2) $x$ が $a$ から $a + h$ まで変化するときの平均変化率を求めよ。
(3) $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ を求めよ。
(1) $\dfrac{f(5)-f(1)}{5-1} = \dfrac{8-0}{4} = 2$
(2) $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{(2ah+h^2-4h)}{h} = 2a + h - 4$
(3) (2) で $a = 2$ とおくと $2(2)+h-4 = h$ なので $\displaystyle\lim_{h \to 0} h = 0$
次の極限値を求めよ。
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}$
(2) $\displaystyle\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - 3x - 4}{x^2 - 16}$
(3) $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{9 + h} - 3}{h}$
(1) $\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = x^2+x+1 \to 3$
(2) $\dfrac{(x-4)(x+1)}{(x-4)(x+4)} = \dfrac{x+1}{x+4} \to \dfrac{5}{8}$
(3) 有理化して $\dfrac{h}{h(\sqrt{9+h}+3)} = \dfrac{1}{\sqrt{9+h}+3} \to \dfrac{1}{6}$
(1) は $x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1)$ の因数分解を用います。(3) は有理化の典型パターンで、$f(x)=\sqrt{x}$ の $x=9$ における微分係数に相当します。
関数 $f(x) = x^3 - 3x$ について、$x$ が $a$ から $a + h$ まで変化するときの平均変化率を $a$, $h$ で表せ。また、この結果を用いて $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ を求めよ。
$f(a+h) = (a+h)^3 - 3(a+h) = a^3 + 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - 3a - 3h$
$f(a+h) - f(a) = 3a^2h + 3ah^2 + h^3 - 3h$
平均変化率 $= \dfrac{3a^2h + 3ah^2 + h^3 - 3h}{h} = 3a^2 + 3ah + h^2 - 3$
$\displaystyle\lim_{h \to 0}(3a^2 + 3ah + h^2 - 3) = 3a^2 - 3$
平均変化率を求めてから $h \to 0$ とする流れは、微分係数の定義そのものです。結果の $3a^2 - 3$ は導関数 $f'(x) = 3x^2 - 3$ に $x = a$ を代入したものと一致します。
$a$ を正の定数とする。関数 $f(x) = \dfrac{1}{x}$ について、次の問いに答えよ。
(1) $\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ を求めよ。
(2) 曲線 $y = \dfrac{1}{x}$ 上の点 $\left(a, \dfrac{1}{a}\right)$ における接線の方程式を求めよ。
(3) (2)の接線と $x$ 軸、$y$ 軸で囲まれた三角形の面積を求め、$a$ によらず一定であることを示せ。
(1) $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} = \dfrac{\frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}}{h} = \dfrac{a-(a+h)}{h \cdot a(a+h)} = \dfrac{-1}{a(a+h)}$
$\displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{-1}{a(a+h)} = -\frac{1}{a^2}$
(2) 接線の傾きは $-\dfrac{1}{a^2}$ なので $y - \dfrac{1}{a} = -\dfrac{1}{a^2}(x - a)$ すなわち $y = -\dfrac{1}{a^2}x + \dfrac{2}{a}$
(3) $x$ 切片：$0 = -\dfrac{1}{a^2}x + \dfrac{2}{a}$ より $x = 2a$。$y$ 切片：$x = 0$ を代入して $y = \dfrac{2}{a}$
三角形の面積 $= \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot \dfrac{2}{a} = 2$
面積は $a$ によらず常に $2$ である。■
反比例のグラフ $y = \dfrac{1}{x}$ の接線が切り取る三角形の面積が一定であるという美しい性質です。これは $y = \dfrac{1}{x}$ のグラフが直角双曲線であり、面積に関する特別な対称性を持つことに起因します。