2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の両方に接する直線を共通接線と呼びます。「傾きが等しい」かつ「接線の式が一致する」という2条件を立てて連立方程式を解く手法を学びます。
直線 $\ell$ が曲線 $C_1: y = f(x)$ の $x = s$ での接線であり、同時に曲線 $C_2: y = g(x)$ の $x = t$ での接線であるとき、$\ell$ は $C_1$ と $C_2$ の共通接線です。
このとき次の2条件が成り立ちます：
① 傾きが等しい：$f'(s) = g'(t)$
② 接線の式が一致：$y - f(s) = f'(s)(x - s)$ と $y - g(t) = g'(t)(x - t)$ が同じ直線
Step 1: $C_1$ 上の接点を $(s, f(s))$、$C_2$ 上の接点を $(t, g(t))$ とおく
Step 2: 傾きの一致条件：$f'(s) = g'(t) \quad \cdots (A)$
Step 3: 接線の式を $C_1$ 側と $C_2$ 側でそれぞれ書き、$y$ 切片が一致する条件を立てる
$C_1$ 側の接線：$y = f'(s)x - sf'(s) + f(s)$
$C_2$ 側の接線：$y = g'(t)x - tg'(t) + g(t)$
$y$ 切片一致：$-sf'(s) + f(s) = -tg'(t) + g(t) \quad \cdots (B)$
Step 4: $(A)(B)$ を連立して $s, t$ を求める
共通接線の接点は $C_1$ 上の点と $C_2$ 上の点で別々です。同じ $x$ 座標とは限りません（$s \neq t$ が普通）。変数を2つ（$s$ と $t$）置くことがポイントです。
$C_1$ 上の点 $(s, s^2)$ での接線：$y = 2sx - s^2$
$C_2$ 上の点 $(t, (t-2)^2 + 1)$ での接線：$y = 2(t-2)(x - t) + (t-2)^2 + 1 = 2(t-2)x - t^2 + 4t - 3$
条件(A)：$2s = 2(t - 2)$ より $s = t - 2$
条件(B)：$-s^2 = -t^2 + 4t - 3$
$s = t - 2$ を代入：$-(t-2)^2 = -t^2 + 4t - 3$
$-t^2 + 4t - 4 = -t^2 + 4t - 3$
$-4 = -3$（矛盾）
矛盾が生じたので、この2つの放物線には共通接線が存在しません。
$C_1$ 上の接線：$y = 2sx - s^2$
$C_2$ 上の接線：$y = (-2t + 4)(x - t) + (-t^2 + 4t - 2) = (-2t+4)x + t^2 - 2$
条件(A)：$2s = -2t + 4$ より $s = -t + 2$
条件(B)：$-s^2 = t^2 - 2$
$-(- t + 2)^2 = t^2 - 2$、$-t^2 + 4t - 4 = t^2 - 2$、$2t^2 - 4t + 2 = 0$、$t^2 - 2t + 1 = 0$、$(t-1)^2 = 0$、$t = 1$
$s = 1$。接線は $y = 2x - 1$
$C_1: y = x^3$ と $C_2: y = x^2 + ax + b$ の共通接線を求める問題では、接点を $s$（$C_1$ 上）と $t$（$C_2$ 上）とおいて連立します。
2つの曲線 $y = f(x)$ と $y = g(x)$ に共通の接線 $y = mx + n$ が存在するとき、$h(x) = f(x) - (mx + n)$ と $k(x) = g(x) - (mx + n)$ がともに重根をもちます。この条件から $m, n$ を求める方法もあります。
共通接線は2つの曲線の「仲立ち」をする直線です。2曲線の間の距離が最も近い点を結ぶ直線に関連することもあります。放物線の共通接線は、レンズ設計や反射鏡の理論で応用されます。
「2つの曲線が共通接線をもつための条件」を求める問題では、$s, t$ の連立方程式が実数解をもつ条件を求めます。
$C_2: y = (x - a)^2 + a$
$C_1$ の接線：$y = 2sx - s^2$、$C_2$ の接線：$y = 2(t-a)(x-t) + (t-a)^2 + a = 2(t-a)x - t^2 + 2at - a^2 + a$
傾き一致：$2s = 2(t-a)$、$s = t - a$
$y$ 切片一致：$-s^2 = -t^2 + 2at - a^2 + a$
$s = t - a$ を代入：$-(t-a)^2 = -t^2 + 2at - a^2 + a$
$-t^2 + 2at - a^2 = -t^2 + 2at - a^2 + a$
$0 = a$ より $a = 0$
$a = 0$ のとき2つの放物線は同一になるので、共通接線は「$C_1 = C_2$ のすべての接線」。$a \neq 0$ では共通接線は存在しません。
パラメータの値によっては2つの曲線が一致してしまうことがあります。この場合、共通接線は無限に存在するので、通常は「異なる曲線」であることを前提として議論します。
Q1. 共通接線を求めるための2条件を述べよ。
① 傾きの一致：$f'(s) = g'(t)$
② 接線の式の一致（$y$ 切片一致）：$-sf'(s) + f(s) = -tg'(t) + g(t)$
Q2. $y = x^2$ と $y = -x^2 + 2$ の共通接線を求めよ。
$C_1$ の接線：$y = 2sx - s^2$、$C_2$ の接線：$y = -2tx + t^2 + 2$
傾き一致：$2s = -2t$、$s = -t$
$y$ 切片一致：$-s^2 = t^2 + 2$、$-t^2 = t^2 + 2$、$2t^2 = -2$（解なし）
共通接線は存在しない
Q3. $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 4x - 2$ の共通接線を求めよ。
$C_1$ の接線：$y = 2sx - s^2 + 1$、$C_2$ の接線：$y = (-2t+4)x + t^2 - 2$
傾き一致：$2s = -2t + 4$、$s = -t + 2$
$y$ 切片一致：$-s^2 + 1 = t^2 - 2$
$-(-t+2)^2 + 1 = t^2 - 2$、$-t^2 + 4t - 4 + 1 = t^2 - 2$、$2t^2 - 4t + 1 = 0$
$t = \dfrac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \dfrac{2 \pm \sqrt{2}}{2}$
共通接線は2本存在
Q4. 共通接線の「別解法」で用いるのは何の条件か。
差関数 $f(x) - (mx + n)$ と $g(x) - (mx + n)$ がそれぞれ重根をもつ条件を利用する。
Q5. $y = x^3$ と $y = ax^2$ が共通接線をもつとき、$a$ の条件を求めよ。
$C_1$ の接線：$y = 3s^2x - 2s^3$、$C_2$ の接線：$y = 2atx - at^2$
傾き一致：$3s^2 = 2at$
$y$ 切片一致：$-2s^3 = -at^2$
第2式より $at^2 = 2s^3$。第1式より $t = 3s^2/(2a)$。代入して整理すると $a$ に関する条件が得られる。$a \neq 0$ のとき共通接線は存在する（$a = 0$ は $y = 0$ で自明）。
$C_1: y = x^2$ と $C_2: y = x^2 - 4x + 8$ の共通接線を求めよ。
$C_1$ の接線：$y = 2sx - s^2$
$C_2 = (x-2)^2 + 4$ の接線：$y = 2(t-2)(x-t) + (t-2)^2 + 4 = 2(t-2)x - t^2 + 4t$
傾き一致：$2s = 2(t-2)$、$s = t - 2$
$y$ 切片一致：$-s^2 = -t^2 + 4t$
$-(t-2)^2 = -t^2 + 4t$、$-t^2 + 4t - 4 = -t^2 + 4t$、$-4 = 0$（矛盾）
共通接線は存在しない（2つの放物線は交わらず、向きが同じ）
$C_1: y = x^3$ と $C_2: y = x^2$ の共通接線を求めよ。
$C_1$ の接線：$y = 3s^2x - 2s^3$
$C_2$ の接線：$y = 2tx - t^2$
傾き一致：$3s^2 = 2t \quad \cdots (1)$
$y$ 切片一致：$-2s^3 = -t^2 \quad \cdots (2)$
$(1)$ より $t = 3s^2/2$。$(2)$ に代入：$-2s^3 = -9s^4/4$
$9s^4 - 8s^3 = 0$、$s^3(9s - 8) = 0$
$s = 0$ のとき $t = 0$：接線 $y = 0$（$x$ 軸）
$s = 8/9$ のとき $t = 3 \cdot 64/(81 \cdot 2) = 32/27$：接線 $y = \dfrac{64}{27}x - \dfrac{1024}{729}$
$C_1: y = x^2 + ax$ と $C_2: y = x^2 + bx + 1$（$a \neq b$）が共通接線をもつとき、$a$ と $b$ の関係式を求めよ。
$C_1$ の接線：$y = (2s + a)x - s^2$
$C_2$ の接線：$y = (2t + b)x - t^2 + 1$
傾き一致：$2s + a = 2t + b$、$s - t = (b - a)/2 \quad \cdots (1)$
$y$ 切片一致：$-s^2 = -t^2 + 1$、$t^2 - s^2 = 1$、$(t-s)(t+s) = 1 \quad \cdots (2)$
$(1)$ より $t - s = (a - b)/2$。$(2)$ に代入：$\dfrac{a - b}{2}(t + s) = 1$
$t + s = \dfrac{2}{a - b}$。$(1)$ と連立して $s = \dfrac{1}{a-b} + \dfrac{b-a}{4}$（具体的な $s, t$ が存在）
共通接線が存在する条件は $a \neq b$ のもとで常に成り立つ。関係式は $(a-b)(s+t) = 2$。
$C_1: y = x^3 - 3x$ と $C_2: y = a(x - 1)^2 + b$ が原点で共通接線 $y = -3x$ をもつとき、$a, b$ の値を求めよ。
$C_1$ で $x = 0$ のとき $f(0) = 0$、$f'(0) = -3$。接線は $y = -3x$ ✓（原点で $C_1$ に接する）
$C_2$ で接線 $y = -3x$ に接する条件：
$g(x) = a(x-1)^2 + b$、$g'(x) = 2a(x-1)$
接点での傾き $= -3$：$2a(x - 1) = -3$、$x = 1 - \dfrac{3}{2a}$
接線が $y = -3x$ なので、接点で $g(x) = -3x$：
$a\left(-\dfrac{3}{2a}\right)^2 + b = -3\left(1 - \dfrac{3}{2a}\right)$
$\dfrac{9}{4a} + b = -3 + \dfrac{9}{2a}$
$b = -3 + \dfrac{9}{2a} - \dfrac{9}{4a} = -3 + \dfrac{9}{4a}$
また、原点を通るので $-3 \cdot 0 = 0$ を代入する代わりに、$y = -3x$ が原点を通ることは自明。
接点が原点 $(0, 0)$：$g(0) = a + b = 0$、$g'(0) = -2a = -3$
$a = 3/2$、$b = -3/2$