3次関数の決定
─ 条件から係数を求める逆問題

13次関数の決定に必要な条件数

各条件が与える方程式の数

2極値の条件による決定

例題：$x = 1$ で極大値 $5$、$x = 3$ で極小値 $1$ をとる3次関数

$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ とおく。

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

$f'(1) = 3a + 2b + c = 0 \quad \cdots (1)$

$f'(3) = 27a + 6b + c = 0 \quad \cdots (2)$

$f(1) = a + b + c + d = 5 \quad \cdots (3)$

$f(3) = 27a + 9b + 3c + d = 1 \quad \cdots (4)$

$(2) - (1)$：$24a + 4b = 0$、$b = -6a$

$(1)$：$3a - 12a + c = 0$、$c = 9a$

$(3)$：$a - 6a + 9a + d = 5$、$4a + d = 5$

$(4)$：$27a - 54a + 27a + d = 1$、$d = 1$

$4a + 1 = 5$、$a = 1$。$\therefore f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$

3通過点の条件による決定

4点を通る3次関数

4点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4)$ を通る3次関数は、4元連立方程式を解いて求めます。ラグランジュ補間の考え方を使えば公式的に求めることもできます。

「最高次係数が与えられている + 3点」のパターン

$f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$ のように $a = 1$ が指定されていれば、3点の条件で十分です。

4接線の条件による決定

「ある点で特定の接線をもつ」条件

「点 $(p, q)$ で接線の傾きが $m$」は2つの条件を与えます：$f(p) = q$ と $f'(p) = m$。

例題：$f(x) = ax^3 + bx^2$ が原点で $x$ 軸に接し、点 $(1, 2)$ を通る

「原点で $x$ 軸に接する」→ $f(0) = 0$ と $f'(0) = 0$

$f(0) = 0$ → $d = 0$（すでに $d$ なし）✓

$f'(x) = 3ax^2 + 2bx$、$f'(0) = 0$ ✓（自動的に成立）

「$x$ 軸に接する」は $f(0) = 0$ かつ $f'(0) = 0$ だが、$f(x) = ax^3 + bx^2$ はすでに $f(0) = 0$, $f'(0) = 0$。

点 $(1, 2)$：$f(1) = a + b = 2 \quad \cdots (1)$

条件が1つだけなので、もう1つ必要。例えば「$x = 1$ で極大」など追加条件があれば $f'(1) = 0$：$3a + 2b = 0 \quad \cdots (2)$

$(1)(2)$：$a = -4, b = 6$。$f(x) = -4x^3 + 6x^2$

5複合条件と工夫が必要なパターン

$f'(x)$ の因数分解を使う方法

「$x = p, q$ で極値」→ $f'(p) = f'(q) = 0$ → $f'(x) = 3a(x - p)(x - q)$

$f'(x)$ を積分すれば $f(x) = a(x-p)^2(x-q) \cdot \frac{1}{?} + \cdots$ — しかし直接積分する方が簡単です：

$$f(x) = a\left(x^3 - \frac{p+q}{1} \cdot x^2 + \cdots \right) + d$$

実際には $f'(x) = 3a(x - p)(x - q) = 3a[x^2 - (p+q)x + pq]$ を積分して：

$$f(x) = 3a\left[\frac{x^3}{3} - \frac{(p+q)x^2}{2} + pqx\right] + d = a\left[x^3 - \frac{3(p+q)}{2}x^2 + 3pqx\right] + d$$

対称性を利用する方法

変曲点が指定されている場合、変曲点を原点に平行移動してから考えると、$f(x) = ax^3 + cx$ の形に帰着でき、計算が簡単になります。

演入試問題演習