曲線外の点から何本の接線が引けるかは、接点の $x$ 座標に関する方程式の実数解の個数に帰着します。これは II-6-6（曲線外の点からの接線）と II-6-11（方程式の実数解の個数）の融合テーマであり、入試で最も差がつく問題です。
点 $(a, b)$ から曲線 $y = f(x)$ に接線を引くとき、接点を $(t, f(t))$ とおく。接線の方程式に $(a, b)$ を代入して得られる $t$ の方程式の実数解の個数が接線の本数です。
Step 1: 接点 $(t, f(t))$ における接線：$y - f(t) = f'(t)(x - t)$
Step 2: この接線が点 $(a, b)$ を通る条件：$b - f(t) = f'(t)(a - t)$
Step 3: この式を $t$ について整理し、$g(t) = 0$ の形にする
Step 4: $g(t) = 0$ の実数解の個数を調べる（グラフ利用）
接点 $(t, t^3)$ における接線：$y = 3t^2(x - t) + t^3 = 3t^2x - 2t^3$
点 $(a, b)$ を通る条件：$b = 3t^2a - 2t^3$
$\therefore 2t^3 - 3at^2 + b = 0 \quad \cdots (*)$
$(*)$ の実数解の個数が接線の本数です。
$(a, b)$ が曲線 $y = f(x)$ 上にある場合、$t = a$ は必ず $(*)$ の解になります（その点での接線は必ず引ける）。このとき「接線の本数」に接点が $(a, b)$ 自身であるものを含めるかどうか、問題文の指示に注意しましょう。
接点 $(t, t^3 - 3t)$ における接線：$y = (3t^2 - 3)(x - t) + t^3 - 3t = (3t^2 - 3)x - 2t^3$
点 $(0, a)$ を通る条件：$a = -2t^3$、つまり $t^3 = -a/2$
3次方程式 $t^3 = -a/2$ は常に1つの実数解をもつので、接線は常に1本。
このように、$y$ 軸上の点から $y = x^3 - 3x$ への接線は常に1本です。しかし、$y$ 軸から外れた点からは本数が変わります。
接線が $(1, a)$ を通る条件：$a = (3t^2 - 3)(1 - t) + t^3 - 3t = -2t^3 + 3t^2 - 3$
$\therefore$ $h(t) = -2t^3 + 3t^2 - 3 = a$ の実数解の個数を調べる。
$h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t - 1) = 0$ のとき $t = 0, 1$
$h(0) = -3$（極小）、$h(1) = -2$（極大）
| $a$ の範囲 | 接線の本数 |
|---|---|
| $a < -3$ または $a > -2$ | 1本 |
| $a = -3$ または $a = -2$ | 2本 |
| $-3 < a < -2$ | 3本 |
接線の本数問題は、結局 $h(t) = a$ というパラメータ付きの方程式の解の個数問題に帰着します。これは II-6-11 で学んだ「グラフと水平線の交点」の手法そのものです。
接線の本数が変わる境界値（上の例では $a = -3, -2$）は、$h(t) = a$ が重解をもつときに対応します。幾何的には、点 $(1, a)$ から引いた接線が曲線に「接しつつ通る」（つまり接点が2重になる）特別な位置です。
接線の本数が変わる点の軌跡は、代数幾何では判別式曲線（discriminant locus）と呼ばれます。3次曲線の場合、この軌跡は曲線自身の接線がちょうど2点で接するような特別な曲線（カスプ曲線）になります。
曲線上の各点での接線は、平面を「接線が1本引ける領域」「2本引ける領域」「3本引ける領域」に分けます。3次曲線の場合、変曲点における接線が境界の一部を形成します。
接点 $(t, t^3)$ での接線：$y = 3t^2x - 2t^3$
変曲点 $(0, 0)$ での接線は $y = 0$（$x$ 軸）。$x$ 軸の上側と下側で接線の本数が異なります。
境界上の点（接線の本数が変わるちょうどの位置）では、2本の接線のうち1本が「接しつつ通る」形になるため、通常の接線+特殊な接線の合計として本数を数えます。問題文が「異なる接線」と聞いているか「重複を含む」と聞いているかに注意。
Q1. 点 $(0, k)$ から曲線 $y = x^3$ に引ける接線の本数を $k$ で分類せよ。
接線が $(0, k)$ を通る条件：$k = -2t^3$、すなわち $t^3 = -k/2$
任意の $k$ に対して $t$ は1つ定まるので、接線は常に1本
Q2. 接線の本数問題を解く基本手順を述べよ。
① 接点 $(t, f(t))$ での接線の式を立てる
② 通過点の座標を代入し、$t$ に関する方程式を導く
③ この方程式の実数解の個数をグラフで判定する
Q3. 曲線 $y = x^3 - 3x$ に点 $(2, a)$ から引ける接線が3本あるとき、$a$ の範囲を求めよ。
接線が $(2, a)$ を通る条件：$a = (3t^2 - 3)(2 - t) + t^3 - 3t = -2t^3 + 6t^2 - 6t + 6 - 3t = -2t^3 + 6t^2 - 9t + 6$
$h(t) = -2t^3 + 6t^2 - 9t + 6$ とおく
$h'(t) = -6t^2 + 12t - 9 = -3(2t^2 - 4t + 3)$
判別式 $= 16 - 24 = -8 < 0$ なので $h'(t) < 0$（常に減少）。
$h(t)$ は単調減少なので $h(t) = a$ の解は常に1個。接線は常に1本（3本にならない）。
Q4. 接線の本数が変わる境界値は、$t$ の方程式がどのような解をもつときか。
$t$ の方程式が重解をもつときに、接線の本数が変わる。
Q5. 点 $(0, a)$ から曲線 $y = x^3 - 12x$ に何本の接線が引けるか、$a$ で場合分けせよ。
接線が $(0, a)$ を通る条件：$a = -2t^3 + 12t$
$h(t) = -2t^3 + 12t$、$h'(t) = -6t^2 + 12 = -6(t^2 - 2) = 0$ のとき $t = \pm\sqrt{2}$
$h(-\sqrt{2}) = -8\sqrt{2}$（極小）、$h(\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$（極大）
$a < -8\sqrt{2}$ or $a > 8\sqrt{2}$：1本、$a = \pm 8\sqrt{2}$：2本、$-8\sqrt{2} < a < 8\sqrt{2}$：3本
点 $(0, 2)$ から曲線 $y = x^3$ に引ける接線の方程式をすべて求めよ。
接点 $(t, t^3)$ での接線：$y = 3t^2x - 2t^3$
$(0, 2)$ を通る条件：$2 = -2t^3$、$t^3 = -1$、$t = -1$
接線：$y = 3x + 2$
点 $(1, a)$ から曲線 $y = x^3$ に3本の接線が引けるような $a$ の範囲を求めよ。
接線が $(1, a)$ を通る条件：$a = 3t^2 \cdot 1 - 2t^3 = -2t^3 + 3t^2$
$h(t) = -2t^3 + 3t^2$、$h'(t) = -6t^2 + 6t = -6t(t-1) = 0$ のとき $t = 0, 1$
$h(0) = 0$（極小）、$h(1) = 1$（極大）
$h(t) = a$ が3つの実数解をもつ条件：$0 < a < 1$
注意：$t = 1$ のとき接点は $(1, 1)$ で、接線は $y = 3x - 2$。$(1, a)$ が曲線上の点 $(1, 1)$ と一致する場合（$a = 1$）は、接線の本数が2本になります。
曲線 $y = x^3 - 3x$ 上の点 $(a, a^3 - 3a)$ からこの曲線に引ける接線は、その点での接線を含めて何本あるか。
接線が $(a, a^3 - 3a)$ を通る条件：
$a^3 - 3a = (3t^2 - 3)(a - t) + t^3 - 3t$
$a^3 - 3a = 3t^2a - 3t^3 - 3a + 3t + t^3 - 3t = -2t^3 + 3at^2$
$2t^3 - 3at^2 + a^3 = 0$
$t = a$ は解（自明）。$(t - a)$ で割ると $2t^2 - at - a^2 = (2t + a)(t - a) = 0$
$t = a$（重解）, $t = -a/2$。$t = a$ と $t = -a/2$ が異なるのは $a \neq 0$ のとき。
$a \neq 0$ のとき接線は2本、$a = 0$ のとき接線は1本
曲線 $C: y = x^3 - 3x$ について、点 $P(a, b)$ から $C$ に引ける接線がちょうど2本となるような点 $P$ の軌跡を求めよ。
接線が $(a, b)$ を通る条件：$b = -2t^3 + 3at^2 - 3a + 3t - 3t = -2t^3 + 3at^2 - 3t + (3t - 3a + b)$
整理すると $2t^3 - 3at^2 + (3a - b) = 0 \cdots (*)$
ちょうど2本の接線 ⟺ $(*)$ がちょうど2つの異なる実数解をもつ ⟺ $(*)$ が重解をもつ
$h(t) = 2t^3 - 3at^2$ とおくと $(*)$ は $h(t) = b - 3a$
$h'(t) = 6t(t - a) = 0$ のとき $t = 0, a$
$h(0) = 0$, $h(a) = 2a^3 - 3a^3 = -a^3$
重解をもつのは $b - 3a = 0$ または $b - 3a = -a^3$
すなわち $b = 3a$ または $b = -a^3 + 3a = -(a^3 - 3a)$
後者は $b = -(a^3 - 3a)$ つまり点 $(a, b)$ が曲線 $y = -(x^3 - 3x)$ 上にあるとき。
実は $b = a^3 - 3a$（曲線 $C$ 上の点、$a \neq 0$）でも2本になる。
軌跡は曲線 $C$ 自身（原点を除く）と変曲点における接線 $y = -3x$ の一部。