不等式 $f(x) \geq 0$ を示すには、$f(x)$ の最小値が $0$ 以上であることを示せばよい——微分法はこのシンプルな原理を実現する強力なツールです。増減表で最小値を求め、等号成立条件まで確認する手法を体系的に学びます。
不等式 $f(x) \geq g(x)$ を示すには：
Step 1: $h(x) = f(x) - g(x)$ とおく
Step 2: $h(x)$ の最小値を微分で求める
Step 3: 最小値 $\geq 0$ であれば不等式は成立
等号は最小値 $= 0$ のときに成立し、そのときの $x$ の値が等号成立条件です。
不等式に「$x > 0$」などの条件がついている場合、定義域全体ではなくその範囲での最小値を求める必要があります。
✗ すべての $x$ で最小値を求める
✓ 条件で指定された範囲での最小値を求める
（1） $f(x) = (\text{左辺}) - (\text{右辺})$ とおく
（2） $f'(x) = \cdots = 0$ の解を求める
（3） 増減表を書き、最小値を特定する
（4） 最小値 $\geq 0$ を確認する
（5） 「よって $f(x) \geq 0$ すなわち（元の不等式）が成り立つ」と結論
（6） 等号成立条件を述べる
$f(x) = x^3 - 3x + 2$（$x > 0$）とおく。
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x+1)(x-1)$
$x > 0$ で $f'(x) = 0$ のとき $x = 1$
| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | |
| $f(x)$ | $2$ | ↘ | $0$ | ↗ |
$x > 0$ での最小値は $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \geq 0$
よって $x > 0$ のとき $x^3 - 3x + 2 \geq 0$（等号は $x = 1$）。 ■
$a \leq x \leq b$ で $f(x) \geq 0$ を示すには、閉区間 $[a, b]$ での最小値を求めます。候補は「$f'(x) = 0$ の区間内の解」と「端点 $f(a), f(b)$」です。
$x \geq a$ で $f(x) \geq 0$ を示すには、$[a, \infty)$ での最小値を求めます。端点 $f(a)$ と、$f'(x) = 0$ の $x \geq a$ の解での値を比較します。$x \to \infty$ での挙動も確認しましょう。
$x > 0$ のように開区間の場合は端点 $x = 0$ での値は直接使えませんが、$x \to 0^+$ での極限値を参考にすることはできます。最小値が区間内の極小値で達成される場合は問題ありません。
$y = f(x)$ のグラフが接線の上側にある（下に凸）ことを示す問題も、微分を使った不等式の証明に帰着します。
$g(x) = x^2 - (2x - 1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \geq 0$ ✓
ここで $y = 2x - 1$ は $y = x^2$ の $x = 1$ における接線です。2次関数が下に凸なので、接線の上側にグラフがあります。
3次関数の場合、全範囲で接線の上側にあるとは限りません。$f(x) - (\text{接線}) = (x - a)^2 \cdot q(x)$ と因数分解して、$q(x)$ の符号で場合分けします。
大学では「凸関数」の理論として体系化されます。$f''(x) \geq 0$ である関数は下に凸で、すべての接線の上側にグラフがある（ジェンセンの不等式の基礎）。これは相加平均・相乗平均の不等式の一般化にもつながります。
$f(x) \geq 0$ がすべての $x$ で成り立つ条件は「$f(x)$ の最小値 $\geq 0$」です。最小値が $a$ を含む式になるので、それに関する不等式を解きます。
$f(x) = x^3 - 3x + a$（$x \geq 0$）の最小値 $\geq 0$ を求める。
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$、$x \geq 0$ で $f'(x) = 0$ のとき $x = 1$
最小値 $= f(1) = 1 - 3 + a = a - 2$
$a - 2 \geq 0$ より $a \geq 2$
区間が半開区間 $[0, \infty)$ のとき、端点 $f(0)$ も最小値の候補です。$f(0) = a$ と $f(1) = a - 2$ を比較して、$f(1) < f(0)$ なので最小値は $f(1)$ です。
3次関数 $f(x) = x^3 + ax$ は定義域 $(-\infty, \infty)$ で最小値をもちません（$x \to -\infty$ で $f \to -\infty$）。このような場合は $f(x) \geq 0$ がすべての実数で成り立つ $a$ は存在しません。定義域を制限して初めて問題が意味をもちます。
Q1. $x \geq 0$ のとき $x^3 + 1 \geq x$ を示せ。
$f(x) = x^3 - x + 1$（$x \geq 0$）とおく。$f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$ より $x = 1/\sqrt{3}$
$f(1/\sqrt{3}) = \frac{1}{3\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} + 1 = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}} > 0$
$f(0) = 1 > 0$ なので最小値 $> 0$。よって $x^3 + 1 \geq x$（等号なし、すなわち $>$）
Q2. 微分を使った不等式証明の基本方針を述べよ。
$f(x) = (\text{左辺}) - (\text{右辺})$ とおき、$f(x)$ の最小値が $0$ 以上であることを微分で示す。
Q3. すべての実数 $x$ で $x^2 \geq 2x - 1$ が成り立つことを示せ。
$f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \geq 0$（等号は $x = 1$）✓
Q4. $x \geq 0$ のとき $2x^3 - 3x^2 + a \geq 0$ が成り立つための $a$ の条件は？
$f(x) = 2x^3 - 3x^2 + a$、$f'(x) = 6x(x-1) = 0$ より $x = 0, 1$
$f(0) = a$、$f(1) = -1 + a$。最小値は $f(1) = a - 1$
$a - 1 \geq 0$ より $a \geq 1$
Q5. $f(x) = x^3 - 3x + 2$ の最小値を求め、$f(x) \geq 0$ の成立範囲を述べよ。
$f'(x) = 3(x+1)(x-1)$。極大値 $f(-1) = 4$、極小値 $f(1) = 0$
$f(x) = (x-1)^2(x+2)$ なので $x \geq -2$ で $f(x) \geq 0$
$x = -2$ で $f(-2) = 0$、$x < -2$ で $f(x) < 0$
$x > 0$ のとき、$x^3 + 2 \geq 3x$ を証明せよ。
$f(x) = x^3 - 3x + 2$（$x > 0$）とおく。
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$
$x > 0$ で $f'(x) = 0$ のとき $x = 1$
$x = 1$ の前後で負→正に変化 → $x = 1$ で極小値 $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
$x > 0$ での最小値は $0$ なので $f(x) \geq 0$
$\therefore x > 0$ のとき $x^3 + 2 \geq 3x$（等号は $x = 1$）■
$x \geq 0$ で $x^3 - 6x^2 + 12x + a \geq 0$ が成り立つための $a$ の最小値を求めよ。
$f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x + a$、$f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x-2)^2$
$f'(x) = 0$ のとき $x = 2$（重解）。$f'(x) \geq 0$ なので $f$ は $x \geq 0$ で単調増加。
最小値 $= f(0) = a$。$a \geq 0$ より $a$ の最小値は $0$。
$f'(x) = 3(x-2)^2 \geq 0$ より $f(x)$ は単調増加です。$x = 2$ で $f'(x) = 0$ ですが符号変化がないので極値ではなく、$f$ は端点 $x = 0$ で最小値をとります。
$a > 0$, $b > 0$ のとき $\dfrac{a^3 + b^3}{2} \geq \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3$ を証明せよ。
$t = a/b > 0$ とおくと、両辺を $b^3$ で割って $\dfrac{t^3 + 1}{2} \geq \left(\dfrac{t+1}{2}\right)^3$ を示せばよい。
$f(t) = \dfrac{t^3 + 1}{2} - \dfrac{(t+1)^3}{8} = \dfrac{4(t^3 + 1) - (t+1)^3}{8}$
分子：$4t^3 + 4 - t^3 - 3t^2 - 3t - 1 = 3t^3 - 3t^2 - 3t + 3 = 3(t^3 - t^2 - t + 1)$
$= 3(t-1)^2(t+1)$
$t > 0$ で $t + 1 > 0$ かつ $(t-1)^2 \geq 0$ なので $f(t) \geq 0$（等号は $t = 1$、すなわち $a = b$）■
$x > 0$ のとき、不等式 $x - \dfrac{x^3}{6} < \sin x < x$ が成り立つことを、$f(x) = x - \sin x$ と $g(x) = \sin x - x + \dfrac{x^3}{6}$ の最小値を調べることで証明せよ。ただし $(\sin x)' = \cos x$ は既知とする。
右側：$\sin x < x$（$x > 0$）の証明
$f(x) = x - \sin x$、$f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$（$\cos x \leq 1$ より）
$f(0) = 0$ かつ $f'(x) > 0$（$x \neq 2n\pi$ で）なので $x > 0$ で $f(x) > 0$。$\therefore \sin x < x$ ✓
左側：$x - x^3/6 < \sin x$（$x > 0$）の証明
$g(x) = \sin x - x + x^3/6$、$g'(x) = \cos x - 1 + x^2/2$
$g'(0) = 0$、$g''(x) = -\sin x + x$。右側の結果より $x > 0$ で $g''(x) > 0$。
$g'$ は $x > 0$ で単調増加、$g'(0) = 0$ より $g'(x) > 0$（$x > 0$）
$g$ は $x > 0$ で単調増加、$g(0) = 0$ より $g(x) > 0$（$x > 0$）✓ ■
この問題では微分を繰り返し適用しています。$f \geq 0$ の結果を使って $g'' > 0$ を示し、$g' > 0$、$g > 0$ へと連鎖的に不等式を導きます。テイラー展開 $\sin x \approx x - x^3/6 + \cdots$ との関係が背景にあります。