sinのグラフと変換
─ 正弦波を自在に操る4つのパラメータ

1$y = \sin\theta$ の基本グラフ

三角関数のグラフを学ぶ第一歩は、$y = \sin\theta$ の形を正確に把握することです。単位円上の点の $y$ 座標が $\sin\theta$ であることを思い出しながら、横軸に $\theta$、縦軸に $y$ をとってグラフを描きましょう。

基本グラフの特徴

$y = \sin\theta$ のグラフには次のような特徴があります。

• 形状：なめらかな波形（正弦波、サインカーブ）
• 周期：$2\pi$（$\theta$ が $2\pi$ 進むと同じ形が繰り返される）
• 振幅：$1$（波の山の高さ、谷の深さがともに $1$）
• 値域：$-1 \leq y \leq 1$
• 原点を通る：$\sin 0 = 0$

主要な点の座標

1周期分（$0 \leq \theta \leq 2\pi$）の主要な点を確認しましょう。

グラフの対称性

$\sin(-\theta) = -\sin\theta$ なので、$y = \sin\theta$ のグラフは原点対称（奇関数）です。つまり、原点に関して点対称な形をしています。

2$y = a\sin\theta$（振幅の変換）

$a$ の意味

$y = a\sin\theta$ において、定数 $a$ はグラフの縦方向の伸縮を制御します。$\sin\theta$ の値（$-1$ から $1$）を $a$ 倍するので、グラフの山と谷の高さが変わります。

$a > 0$ の場合

$a > 0$ のとき、$y = a\sin\theta$ は $y = \sin\theta$ を縦方向に $a$ 倍したグラフです。

• $a > 1$ のとき：グラフが縦に引き伸ばされる（振幅が大きくなる）
• $0 < a < 1$ のとき：グラフが縦に縮む（振幅が小さくなる）
• $a = 1$ のとき：基本グラフそのもの

$a < 0$ の場合

$a < 0$ のとき、$y = a\sin\theta$ は $y = |a|\sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸に関して上下反転（折り返し）したものです。$\sin\theta$ の値に負の数をかけるので、山と谷が入れ替わります。

例えば $y = -\sin\theta$ は、$y = \sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸で折り返した形になります。

具体例

例：$y = 3\sin\theta$ → 振幅 $3$、値域 $[-3, 3]$

例：$y = -2\sin\theta$ → 振幅 $|-2| = 2$、値域 $[-2, 2]$、上下反転

3$y = \sin(b\theta)$（周期の変換）

$b$ の意味

$y = \sin(b\theta)$ において、定数 $b$ はグラフの横方向の伸縮を制御します。$\theta$ に $b$ をかけることで、波が繰り返される速さが変わります。

$b > 0$ の場合

• $b > 1$：波が横に圧縮される（周期が短くなる）
• $0 < b < 1$：波が横に引き伸ばされる（周期が長くなる）

例：$y = \sin(2\theta)$ → 周期 $= \dfrac{2\pi}{2} = \pi$（通常の半分の周期）

例：$y = \sin\!\left(\dfrac{1}{2}\theta\right)$ → 周期 $= \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$（通常の2倍の周期）

$b < 0$ の場合

$b < 0$ のとき、$\sin(b\theta) = \sin(-|b|\theta) = -\sin(|b|\theta)$ となります。つまり、周期は $\dfrac{2\pi}{|b|}$ で、さらにグラフが上下反転します。

4$y = \sin(\theta - c)$（位相の平行移動）

$c$ の意味

$y = \sin(\theta - c)$ は、$y = \sin\theta$ のグラフを $\theta$ 軸方向（横方向）に $c$ だけ平行移動したものです。この $c$ を位相（位相のずれ）と呼びます。

• $c > 0$：グラフが正の方向（右）に $c$ だけ移動
• $c < 0$：グラフが負の方向（左）に $|c|$ だけ移動

これは関数のグラフの平行移動の一般原則「$y = f(x - c)$ は $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $+c$ だけ平行移動」と同じです。

具体例

例：$y = \sin\!\left(\theta - \dfrac{\pi}{3}\right)$ → $y = \sin\theta$ を右に $\dfrac{\pi}{3}$ 移動

例：$y = \sin\!\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(\theta - \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)$ → $y = \sin\theta$ を左に $\dfrac{\pi}{4}$ 移動

位相の平行移動の確認

平行移動量を確認するには、「もとのグラフで $\theta = 0$ だった点がどこに移動するか」を考えるとわかりやすいです。$y = \sin(\theta - c)$ で $y = 0$ となる始点は $\theta = c$ なので、確かに右に $c$ ずれています。

5$y = a\sin(b\theta + c) + d$ の一般形

4つのパラメータの意味

最も一般的な正弦関数のグラフ $y = a\sin(b\theta + c) + d$ には、4つのパラメータがあります。それぞれの役割をまとめましょう。

グラフの描き方の手順

$y = a\sin(b\theta + c) + d$ のグラフを描くには、次の手順に従います。

1. $b$ でくくる：$y = a\sin\!\left(b\!\left(\theta + \dfrac{c}{b}\right)\right) + d$ と変形する
2. 周期を求める：$T = \dfrac{2\pi}{|b|}$
3. 振幅を確認する：振幅 $= |a|$、$a < 0$ なら上下反転
4. 基準線を引く：$y = d$ の水平線を引く
5. 始点を定める：平行移動量 $-\dfrac{c}{b}$ の位置から波を開始
6. 主要な5点を打つ：始点から $\dfrac{T}{4}$ ずつ進んで、零点→最大→零点→最小→零点をプロット

具体例

例題：$y = 2\sin\!\left(3\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) + 1$ のグラフの特徴を求めよ。

解：まず $b = 3$ でくくると、

$$y = 2\sin\!\left(3\!\left(\theta - \frac{\pi}{6}\right)\right) + 1$$

• 振幅：$|2| = 2$
• 周期：$\dfrac{2\pi}{|3|} = \dfrac{2\pi}{3}$
• 位相（横の平行移動）：右に $\dfrac{\pi}{6}$
• 基準線：$y = 1$（上に $1$ 移動）
• 値域：$1 - 2 \leq y \leq 1 + 2$ すなわち $-1 \leq y \leq 3$

パラメータの変換の一覧表