「$\sin(\theta + \pi)$ はなぜ $-\sin\theta$ になるのか？」── 丸暗記では対応しきれない公式群を、単位円の幾何学的な対称性から統一的に理解しましょう。
すべての公式は「単位円上の点がどう移動するか」で説明できます。
すべての対称性は単位円上の点の対称移動で理解できる。
単位円上で角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を、原点対称・$x$ 軸対称・$y$ 軸対称・直線 $y = x$ 対称に移すと、対応する座標がそのまま各公式の右辺になります。暗記すべき公式の数は多く見えますが、原理は1つだけです。
三角関数の最も基本的な性質は周期性です。角 $\theta$ に $2\pi$（360°）を加えると、単位円上で1周して元の位置に戻ります。したがって三角関数の値は変わりません。
$$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$$
$$\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$$
$$\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$$
$\sin\theta$、$\cos\theta$ の周期は $2\pi$、$\tan\theta$ の周期は $\pi$ です。
関数 $f(\theta)$ に対して、$f(\theta + T) = f(\theta)$ がすべての $\theta$ で成り立つような正の定数 $T$ のうち、最小のものを $f$ の周期（period）といいます。
$\tan\theta$ の周期が $\pi$ であることは、後述する $\theta + \pi$ の公式からも確認できます。
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ において、$\theta$ を $\theta + \pi$ に置き換えると分子・分母ともに符号が反転し、比の値は変わりません。そのため $\tan\theta$ は $\pi$ を加えるだけで元に戻ります。
$$\tan(\theta + \pi) = \frac{\sin(\theta + \pi)}{\cos(\theta + \pi)} = \frac{-\sin\theta}{-\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$$
$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$、$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$（次節で導出）を用いました。分子と分母の符号が同時に反転するため、比は不変です。
角 $\theta$ に対応する単位円上の点を $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ とします。角 $\theta + \pi$ に対応する点 $\mathrm{P}'$ は、$\mathrm{P}$ から半周（$\pi$ ラジアン）先に進んだ点です。
これは原点 $\mathrm{O}$ に関して $\mathrm{P}$ と点対称な位置にあります。原点対称では $x$ 座標も $y$ 座標もともに符号が反転するので、
$$\mathrm{P}'(-\cos\theta, -\sin\theta)$$
$$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$
$$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$$
$$\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$$
原点対称 → $x$, $y$ ともに符号反転 → $\sin$, $\cos$ ともにマイナス → $\tan$ は不変。
単位円上で角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を考えます。
角 $\theta + \pi$ に対応する点 $\mathrm{P}'$ は、$\mathrm{P}$ と原点 $\mathrm{O}$ に関して対称な点です。
原点対称では $(x, y) \to (-x, -y)$ なので、
$$\mathrm{P}'(-\cos\theta, -\sin\theta)$$
一方 $\mathrm{P}'$ の座標は定義より $(\cos(\theta + \pi), \sin(\theta + \pi))$ です。よって、
$$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta, \quad \sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$$
$\theta = \dfrac{\pi}{6}$ のとき、$\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ です。
$$\sin\left(\frac{\pi}{6} + \pi\right) = \sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2} = -\sin\frac{\pi}{6} \quad \checkmark$$
角 $-\theta$ は、角 $\theta$ と$x$ 軸に関して対称な方向を表します。単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を $x$ 軸で折り返すと、$y$ 座標だけが符号反転します。
$$\mathrm{P}'(\cos\theta, -\sin\theta)$$
$$\sin(-\theta) = -\sin\theta \quad \text{（奇関数）}$$
$$\cos(-\theta) = \cos\theta \quad \text{（偶関数）}$$
$$\tan(-\theta) = -\tan\theta \quad \text{（奇関数）}$$
$x$ 軸対称 → $y$ 座標（$\sin$）だけ符号反転、$x$ 座標（$\cos$）は不変。
単位円上で角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を考えます。
角 $-\theta$ に対応する点 $\mathrm{Q}$ は、$\mathrm{P}$ を $x$ 軸に関して対称に移した点です。
$x$ 軸対称では $(x, y) \to (x, -y)$ なので、
$$\mathrm{Q}(\cos\theta, -\sin\theta)$$
$\mathrm{Q}$ の座標は $(\cos(-\theta), \sin(-\theta))$ でもあるので、
$$\cos(-\theta) = \cos\theta, \quad \sin(-\theta) = -\sin\theta$$
$\tan$ については $\tan(-\theta) = \dfrac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)} = \dfrac{-\sin\theta}{\cos\theta} = -\tan\theta$。
$f(-x) = f(x)$ を満たす関数を偶関数（even function）、$f(-x) = -f(x)$ を満たす関数を奇関数（odd function）といいます。
偶関数・奇関数の概念は、大学数学のフーリエ解析で極めて重要になります。任意の関数は偶関数部分と奇関数部分に分解でき、
$$f(\theta) = \underbrace{\frac{f(\theta) + f(-\theta)}{2}}_{\text{偶関数部分}} + \underbrace{\frac{f(\theta) - f(-\theta)}{2}}_{\text{奇関数部分}}$$
フーリエ級数では、偶関数部分は $\cos$ で、奇関数部分は $\sin$ で展開されます。高校で学ぶ偶奇性の理解が、信号処理や量子力学といった応用分野の基礎になります。
$\theta$ と $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ は足すと $\dfrac{\pi}{2}$（90°）になります。このような2つの角を余角（complementary angles）といいます。余角の関係では、$\sin$ と $\cos$ が入れ替わります。
角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を直線 $y = x$ に関して対称に移すと、$x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わります。
$$\mathrm{P}'(\sin\theta, \cos\theta)$$
この点 $\mathrm{P}'$ は角 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ に対応します。
$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$$
$$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \frac{1}{\tan\theta}$$
直線 $y = x$ 対称 → $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わる → $\sin$ と $\cos$ が入れ替わる。
単位円上で角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を考えます。
角 $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ に対応する点 $\mathrm{Q}$ は、$\mathrm{P}$ を直線 $y = x$ に関して対称に移した点です。これは、$x$ 軸からの角度 $\theta$ を $y$ 軸からの角度に読み替えることに対応します。
直線 $y = x$ 対称では $(x, y) \to (y, x)$ なので、
$$\mathrm{Q}(\sin\theta, \cos\theta)$$
$\mathrm{Q}$ の座標は $\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right), \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)\right)$ でもあるので、
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta, \quad \sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$$
「$\cos$」という名前は「co-sine（余弦）」の略です。「co-」は「complementary（余角の）」を意味し、$\cos\theta = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$ という関係がまさに名前の由来になっています。同様に $\cot$（cotangent）、$\csc$（cosecant）の「co-」も余角の関係を表しています。
$\theta = \dfrac{\pi}{3}$ のとき、
$$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = \cos\frac{\pi}{3} \quad \checkmark$$
角 $\pi - \theta$ に対応する点は、角 $\theta$ の点を$y$ 軸に関して対称に移した位置にあります。$y$ 軸対称では $x$ 座標だけが符号反転します。
$$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$
$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$$
$$\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$$
$y$ 軸対称 → $x$ 座標（$\cos$）だけ符号反転、$y$ 座標（$\sin$）は不変。
単位円上で角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を考えます。
角 $\pi - \theta$ に対応する点 $\mathrm{R}$ は、$x$ 軸正方向から測って $\pi - \theta$ の位置にあります。$\mathrm{P}$ の偏角 $\theta$ を $\pi$ から引いた角なので、$y$ 軸に関して対称な点です。
$y$ 軸対称では $(x, y) \to (-x, y)$ なので、
$$\mathrm{R}(-\cos\theta, \sin\theta)$$
$\mathrm{R}$ の座標は $(\cos(\pi - \theta), \sin(\pi - \theta))$ でもあるので、
$$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta, \quad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$$
角 $\dfrac{\pi}{2} + \theta$ に対応する点は、角 $\theta$ の点を原点を中心に $\dfrac{\pi}{2}$ 回転させた位置にあります。90° 回転では $(x, y) \to (-y, x)$ と変換されます。
$$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$$
$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta$$
$$\tan\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\frac{1}{\tan\theta}$$
$\dfrac{\pi}{2}$ 回転 → $(x, y) \to (-y, x)$ → $\sin$ と $\cos$ が入れ替わり、$\cos$ の符号が反転。
| 変換 | 対称性 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|---|
| $\theta + 2\pi$ | 周期 | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $-\theta$ | $x$ 軸対称 | $-\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\pi - \theta$ | $y$ 軸対称 | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ |
| $\theta + \pi$ | 原点対称 | $-\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
| $\dfrac{\pi}{2} - \theta$ | $y = x$ 対称 | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\dfrac{1}{\tan\theta}$ |
| $\dfrac{\pi}{2} + \theta$ | $\dfrac{\pi}{2}$ 回転 | $\cos\theta$ | $-\sin\theta$ | $-\dfrac{1}{\tan\theta}$ |
公式が多く見えますが、次の2つの原則を押さえれば、すべてその場で導出できます。
ルール1：$\sin$ と $\cos$ が入れ替わるか？
$\pi \pm \theta$ のとき → 入れ替わらない（$\sin$ は $\sin$ のまま、$\cos$ は $\cos$ のまま）
$\dfrac{\pi}{2} \pm \theta$ のとき → 入れ替わる（$\sin$ が $\cos$ に、$\cos$ が $\sin$ に変わる）
ルール2：符号はどうなるか？
元の角 $\theta$ を鋭角（第1象限）として、変換後の角がどの象限に入るかを考えます。その象限での $\sin$（または $\cos$）の符号が、公式の符号になります。
具体例で確認：$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)$ を求めてみましょう。
最も多いミスは、$\sin$/$\cos$ が入れ替わるかどうかの判定を間違えることです。
✗ 誤り：$\sin(\pi - \theta) = \cos\theta$（入れ替えてしまう）
✓ 正しい：$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$（$\pi \pm \theta$ なので入れ替わらない）
✗ 誤り：$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \sin\theta$（入れ替えない）
✓ 正しい：$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$（$\dfrac{\pi}{2} \pm \theta$ なので入れ替わる）
迷ったら丸暗記より単位円で確認しましょう。$\theta$ に具体的な値（例えば $\dfrac{\pi}{6}$）を代入して検算するのも有効です。
$\theta + \pi$ の公式（原点対称）
$\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$、$\cos(\theta + \pi) = -\cos\theta$、$\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$
$-\theta$ の公式（$x$ 軸対称）
$\sin(-\theta) = -\sin\theta$、$\cos(-\theta) = \cos\theta$、$\tan(-\theta) = -\tan\theta$
$\pi - \theta$ の公式（$y$ 軸対称）
$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$、$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$、$\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$
$\dfrac{\pi}{2} - \theta$ の公式（余角）
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$、$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$、$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \dfrac{1}{\tan\theta}$
$\dfrac{\pi}{2} + \theta$ の公式
$\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta$、$\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin\theta$、$\tan\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = -\dfrac{1}{\tan\theta}$
Q1. $\sin\left(\theta + 2\pi\right) = \sin\theta$ が成り立つ理由を、単位円を使って簡潔に説明せよ。
Q2. $\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)$ の値を、$\cos\left(\pi + \dfrac{\pi}{6}\right)$ と見て求めよ。
Q3. $\sin(-\theta) = -\sin\theta$ が成り立つことから、$\sin\theta$ は偶関数・奇関数のどちらか。
Q4. $\sin 75°$ を $\cos$ を使って表せ。
Q5. $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)$ を $\sin\theta$ を使って表せ。
次の値を求めよ。
(1) $\sin\dfrac{5\pi}{6}$
(2) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)$
(3) $\tan\dfrac{4\pi}{3}$
(1) $\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$
(2) $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$（$\cos$ は偶関数）
(3) $\tan\dfrac{4\pi}{3} = \tan\left(\pi + \dfrac{\pi}{3}\right) = \tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$（$\tan$ の周期は $\pi$）
(1)は $\pi - \theta$ の公式、(2)は $-\theta$ の公式（偶関数）、(3)は $\theta + \pi$ の公式をそれぞれ使います。角度をどの公式の形に分解するかが鍵です。
次の式を簡単にせよ。
(1) $\sin(\pi - \theta)\cos(-\theta) + \cos(\pi + \theta)\sin(-\theta)$
(2) $\sin^2\theta + \sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) + \sin^2(\pi + \theta) + \sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + \theta\right)$
(1) 各項を変換すると、
$\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$、$\cos(-\theta) = \cos\theta$、$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$、$\sin(-\theta) = -\sin\theta$
$$= \sin\theta \cdot \cos\theta + (-\cos\theta)(-\sin\theta) = \sin\theta\cos\theta + \sin\theta\cos\theta = 2\sin\theta\cos\theta$$
（$= \sin 2\theta$ と書くこともできる）
(2) 各項を変換すると、
$\sin^2\left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos^2\theta$、$\sin^2(\pi + \theta) = \sin^2\theta$、$\sin^2\left(\dfrac{3\pi}{2} + \theta\right) = \cos^2\theta$
$$= \sin^2\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 + 1 = 2$$
(1)は各因子を対称性公式で変換した後に整理します。(2)は $\dfrac{3\pi}{2} + \theta = \pi + \left(\dfrac{\pi}{2} + \theta\right)$ と見ると $\sin\left(\dfrac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cos\theta$ なので、2乗すれば $\cos^2\theta$ になります。$\sin^2 + \cos^2 = 1$ を2回使うのがポイントです。
$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$（$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$）のとき、次の値を求めよ。
(1) $\sin(\pi + \theta)$
(2) $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right)$
(3) $\sin(\pi - \theta) + \cos(-\theta) + \tan(\pi + \theta)$
まず $\cos\theta$ を求める。$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より $\cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$。
$\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ なので $\cos\theta < 0$。よって $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$。
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{3/5}{-4/5} = -\dfrac{3}{4}$
(1) $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta = -\dfrac{3}{5}$
(2) $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta = \dfrac{3}{5}$
(3) $\sin(\pi - \theta) + \cos(-\theta) + \tan(\pi + \theta)$
$= \sin\theta + \cos\theta + \tan\theta = \dfrac{3}{5} + \left(-\dfrac{4}{5}\right) + \left(-\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{4}{20} - \dfrac{15}{20} = -\dfrac{19}{20}$
各公式で変換すると、結局 $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の基本値に帰着します。$\theta$ が第2象限であることから $\cos\theta < 0$ と正しく判定することが重要です。
関数 $f(\theta)$ が $f(\theta) = f(-\theta)$（偶関数）を満たし、かつ周期 $\pi$ をもつとする。このとき、$f(\theta) = f(\pi - \theta)$ が成り立つことを示せ。
$f(\pi - \theta)$ に周期性を適用する。
$f$ の周期が $\pi$ なので、
$$f(\pi - \theta) = f((\pi - \theta) - \pi) = f(-\theta)$$
$f$ は偶関数なので、
$$f(-\theta) = f(\theta)$$
したがって $f(\pi - \theta) = f(\theta)$。■
周期性と偶奇性を組み合わせて新しい対称性を導く問題です。$\cos\theta$ は偶関数で周期 $2\pi$ であり、$\cos(2\theta)$ は偶関数で周期 $\pi$ です。実際 $\cos(2(\pi - \theta)) = \cos(2\pi - 2\theta) = \cos(-2\theta) = \cos(2\theta)$ が成り立ちます。このように、周期性と偶奇性は独立した性質ではなく、互いに結びついて新たな性質を生み出します。