中学までの角度は $0°$ から $360°$ の範囲でした。三角関数を学ぶためには、まず角度の概念を「回転」として拡張し、さらに弧度法（ラジアン）という新しい角度の測り方を身につける必要があります。
なぜラジアンが数学の世界で「標準」なのか── その理由を理解しましょう。
三角関数を学ぶ上で、最初のステップは「角度」の概念を拡張することです。中学校では $0°$ から $360°$ の範囲の角を扱いましたが、ここではそれを超えた角度を考えます。
平面上に原点 $\mathrm{O}$ を中心として、$x$ 軸の正の部分を始線（initial side）とします。始線を基準にして、原点のまわりに回転させた半直線を動径（terminal side）と呼びます。
動径の回転によって角が定まります。このとき、回転の「向き」と「回数」も含めて角を考えるのが一般角の考え方です。
動径の回転の向きによって、角の正負が決まります。
例えば、反時計回りに $90°$ 回転した角は $+90°$、時計回りに $90°$ 回転した角は $-90°$ と表します。
回転の向きと回数をすべて含めて考えた角を一般角といいます。例えば $400°$ は $360° + 40°$ であり、1周と $40°$ の回転を意味します。同様に $-150°$ は時計回りに $150°$ の回転です。
動径が角 $\alpha$ の位置にあるとき、その動径が表す一般角は
$$\alpha + 360° \times n \quad (n \text{ は整数})$$
と表されます。$n = 0$ なら元の角そのもの、$n = 1$ なら1周多い角、$n = -1$ なら1周少ない角です。同じ動径の位置に対して無限に多くの一般角が対応することがポイントです。
具体例：動径が $60°$ の位置にあるとき、この動径が表す一般角は
$$60° + 360° \times n \quad (n \text{ は整数})$$
すなわち $\ldots, -660°, -300°, 60°, 420°, 780°, \ldots$ です。
$60°$ と $420°$ は同じ動径の位置を表しますが、角度としては異なる値です。$420°$ は「1周してさらに $60°$ 回転した」という意味を持っています。
問題で「動径の表す角」を聞かれたときは $\alpha + 360° \times n$ の形で答え、特定の角度を聞かれたときは条件に合う値を求めましょう。
これまで使ってきた度数法（$°$で表す方法）に代わる、もう一つの角度の測り方が弧度法（radian measure）です。
半径 $r$ の円において、中心角 $\theta$ に対する弧の長さを $l$ とするとき、
$$\theta = \frac{l}{r} \quad \text{(ラジアン)}$$
と定義します。弧の長さが半径と等しい（$l = r$）とき、その中心角が $1$ ラジアン（$1$ rad）です。
この定義では、角の大きさは円の半径によらず、弧と半径の「比」だけで決まります。だからこそ扇形の公式が最も簡潔になるのです。
半径 $r$ の円の全周は $2\pi r$ です。1周（$360°$）に対応する弧の長さは $2\pi r$ なので、弧度法では
$$360° = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \quad \text{(rad)}$$
したがって、
$$180° = \pi \quad \text{(rad)}$$
これが度数法と弧度法を結ぶ最も基本的な関係式です。
度数 → ラジアン：
$$\theta \text{ (rad)} = \alpha° \times \frac{\pi}{180}$$
ラジアン → 度数：
$$\alpha° = \theta \text{ (rad)} \times \frac{180}{\pi}$$
$1° = \dfrac{\pi}{180}$ rad $\approx 0.01745$ rad、$1$ rad $= \dfrac{180}{\pi}° \approx 57.30°$ です。
$\pi$ rad $= 180°$ であり、$\pi \approx 3.14\ldots$ とは全く別の意味です。
✗ 誤り：$\pi$ rad $= 3.14°$
✓ 正しい：$\pi$ rad $= 180°$
ラジアンの「$\pi$」は円周率の値ではなく、$180°$ を表す「記号」のようなものと考えましょう。$\dfrac{\pi}{6}$ は $\dfrac{180°}{6} = 30°$ です。
弧度法で一般角を表すと、動径が角 $\theta$ の位置にあるとき、その動径が表す一般角は
$$\theta + 2\pi \times n \quad (n \text{ は整数})$$
となります。$360°$ が $2\pi$ に対応するためです。
三角関数の計算で頻繁に登場する角度とラジアンの対応を覚えておきましょう。
| 度数法 | 弧度法 | 度数法 | 弧度法 |
|---|---|---|---|
| $0°$ | $0$ | $120°$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ |
| $30°$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $135°$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ |
| $45°$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $150°$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ |
| $60°$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $180°$ | $\pi$ |
| $90°$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $270°$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ |
| $360°$ | $2\pi$ |
丸暗記するよりも、$180° = \pi$ を基準にして計算する方が確実です。
例えば $30° = \dfrac{180°}{6} = \dfrac{\pi}{6}$、$45° = \dfrac{180°}{4} = \dfrac{\pi}{4}$、$60° = \dfrac{180°}{3} = \dfrac{\pi}{3}$ のように、$180°$ を何で割ったかを考えれば自然に求まります。
$120° = 180° - 60° = \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3}$ のように、$\pi$ からの引き算で求めることもできます。
例題1：$210°$ をラジアンに変換せよ。
解：$210° = 210 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{210\pi}{180} = \dfrac{7\pi}{6}$
例題2：$\dfrac{5\pi}{4}$ を度数に変換せよ。
解：$\dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{5 \times 180}{4} = 225°$
弧度法の真価は、扇形の公式が非常にシンプルになることに表れます。
弧度法の定義 $\theta = \dfrac{l}{r}$ をそのまま変形すると、弧の長さの公式が得られます。
半径 $r$、中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形について、
弧の長さ：
$$l = r\theta$$
面積：
$$S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl$$
度数法では $l = 2\pi r \times \dfrac{\alpha}{360}$、$S = \pi r^2 \times \dfrac{\alpha}{360}$ と煩雑でしたが、弧度法なら掛け算だけで求まります。
半径 $r$ の円全体の面積は $\pi r^2$、1周の角度は $2\pi$ ラジアンです。
中心角 $\theta$ の扇形は、円全体の $\dfrac{\theta}{2\pi}$ の割合を占めるので、
$$S = \pi r^2 \times \frac{\theta}{2\pi} = \frac{1}{2}r^2\theta$$
また、$l = r\theta$ を代入すると、
$$S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}r \cdot r\theta = \frac{1}{2}rl$$
$S = \dfrac{1}{2}rl$ は「底辺 $l$、高さ $r$ の三角形の面積」のような形をしていて覚えやすいです。実際、扇形を非常に細い三角形に分割するとこの式が得られます。
例題1：半径 $6$、中心角 $\dfrac{\pi}{3}$ の扇形の弧の長さと面積を求めよ。
解：
$$l = r\theta = 6 \times \frac{\pi}{3} = 2\pi$$
$$S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{\pi}{3} = 6\pi$$
例題2：半径 $4$、弧の長さ $3$ の扇形の中心角と面積を求めよ。
解：
$$\theta = \frac{l}{r} = \frac{3}{4} \quad \text{(rad)}$$
$$S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$$
$l = r\theta$、$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ の $\theta$ は必ずラジアンでなければなりません。
✗ 誤り：中心角 $60°$ のとき $l = 6 \times 60 = 360$
✓ 正しい：中心角 $60° = \dfrac{\pi}{3}$ rad のとき $l = 6 \times \dfrac{\pi}{3} = 2\pi$
度数法の値をそのまま代入しないよう注意しましょう。
「動径が $\theta$ の位置にある」とは、始線から反時計回りに $\theta$ ラジアン回転した位置に動径があることを意味します。この動径が表す一般角の全体は
$$\theta + 2n\pi \quad (n \text{ は整数})$$
例題：動径が $\dfrac{5\pi}{4}$ の位置にある角を、$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で表せ。また、$-\pi \leq \theta < \pi$ の範囲で表せ。
解：$0 \leq \theta < 2\pi$ では $\theta = \dfrac{5\pi}{4}$（そのまま）。$-\pi \leq \theta < \pi$ では $\dfrac{5\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{4}$ なので $\theta = -\dfrac{3\pi}{4}$。
一般角 $\theta$ の動径がどの象限にあるかを判定するには、$\theta$ を $2\pi$ で割った余りを調べます。
| 象限 | 角 $\theta$ の範囲（$0 \leq \theta < 2\pi$） |
|---|---|
| 第1象限 | $0 < \theta < \dfrac{\pi}{2}$ |
| 第2象限 | $\dfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$ |
| 第3象限 | $\pi < \theta < \dfrac{3\pi}{2}$ |
| 第4象限 | $\dfrac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$ |
$\theta = 0, \dfrac{\pi}{2}, \pi, \dfrac{3\pi}{2}$ のとき、動径は軸上にあり、どの象限にも属しません。
例題：$\theta = \dfrac{13\pi}{4}$ の動径は第何象限にあるか。
解：$\dfrac{13\pi}{4} = 2\pi + \dfrac{5\pi}{4}$ なので、動径は $\dfrac{5\pi}{4}$ の位置にある。$\pi < \dfrac{5\pi}{4} < \dfrac{3\pi}{2}$ より、第3象限。
1周 $2\pi$ を $n$ 等分する角は
$$\frac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$$
で表されます。これは正 $n$ 角形の頂点を原点中心の単位円上に配置するときの角度に対応します。
例題：1周を6等分する角をすべて求めよ。
解：$\dfrac{2k\pi}{6} = \dfrac{k\pi}{3}$（$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$）より、
$$0, \quad \frac{\pi}{3}, \quad \frac{2\pi}{3}, \quad \pi, \quad \frac{4\pi}{3}, \quad \frac{5\pi}{3}$$
ラジアンは「弧の長さ ÷ 半径」で定義されるので、（長さ）÷（長さ）= 無次元量です。したがって、$l = r\theta$ の右辺は（長さ）×（無次元）= 長さ、となり単位の整合性が取れています。
大学の微積分では、$\sin x$ や $\cos x$ の $x$ はラジアンであることが前提です。例えば $\dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x$ という微分公式は、$x$ がラジアンのときにのみ成り立ちます。度数法では別の形になってしまうため、数学では弧度法が標準なのです。
Q1. $-240°$ の動径は第何象限にあるか。
Q2. $150°$ をラジアンに変換せよ。
Q3. $\dfrac{7\pi}{6}$ を度数法で表せ。
Q4. 半径 $5$、中心角 $\dfrac{2\pi}{5}$ の扇形の弧の長さと面積を求めよ。
Q5. 動径が $\dfrac{\pi}{3}$ の位置にあるとき、この動径が表す一般角を表せ。
次の角を弧度法（ラジアン）で表せ。
(1) $75°$
(2) $-120°$
(3) $330°$
(1) $75° = 75 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{75\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{12}$
(2) $-120° = -120 \times \dfrac{\pi}{180} = -\dfrac{120\pi}{180} = -\dfrac{2\pi}{3}$
(3) $330° = 330 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{330\pi}{180} = \dfrac{11\pi}{6}$
半径 $r$ の扇形の弧の長さが $l$、面積が $S$ であるとき、次の問に答えよ。
(1) $r = 8$、$\theta = \dfrac{3\pi}{4}$ のとき、$l$ と $S$ を求めよ。
(2) $l = 4\pi$、$S = 12\pi$ のとき、$r$ と $\theta$ を求めよ。
(1) $l = r\theta = 8 \times \dfrac{3\pi}{4} = 6\pi$
$S = \dfrac{1}{2}rl = \dfrac{1}{2} \times 8 \times 6\pi = 24\pi$
(2) $S = \dfrac{1}{2}rl$ より $12\pi = \dfrac{1}{2} \times r \times 4\pi$、よって $r = 6$。
$l = r\theta$ より $4\pi = 6\theta$、よって $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$。
(2)では $S = \dfrac{1}{2}rl$ を使って先に $r$ を求め、次に $l = r\theta$ から $\theta$ を求める方が計算しやすいです。$S = \dfrac{1}{2}r^2\theta$ を使うと $r$ と $\theta$ の連立方程式になりますが、結果は同じです。
$\theta$ が次の条件を満たすとき、動径 $\mathrm{OP}$ は第何象限にあるか。すべての場合を求めよ。
(1) $\theta = \dfrac{n\pi}{3}$（$n$ は整数で、動径が軸上にないもの）
(2) $540° < \theta < 720°$
(1) $\dfrac{n\pi}{3}$ は $n = 0$ で $0$、$n = 3$ で $\pi$、$n = 6$ で $2\pi$ となり、$n$ を6で割った余りで分類できる。
$n \equiv 1 \pmod{6}$：$\dfrac{\pi}{3}$ → 第1象限
$n \equiv 2 \pmod{6}$：$\dfrac{2\pi}{3}$ → 第2象限
$n \equiv 4 \pmod{6}$：$\dfrac{4\pi}{3}$ → 第3象限
$n \equiv 5 \pmod{6}$：$\dfrac{5\pi}{3}$ → 第4象限
（$n \equiv 0, 3 \pmod{6}$ は軸上なので除外）
(2) $540° = 360° + 180°$、$720° = 360° \times 2$ なので、$\theta - 360°$ とすると $180° < \theta - 360° < 360°$。
よって動径は第3象限または第4象限にある（$270°$ のとき軸上を通過するが、その前後は第3象限と第4象限）。
扇形の周の長さ（弧の長さ＋2つの半径の長さ）が $L$（定数）であるとき、次の問に答えよ。
(1) 扇形の面積 $S$ を半径 $r$ を用いて表せ。
(2) $S$ が最大となるときの $r$ と中心角 $\theta$ を求め、$S$ の最大値を求めよ。
(1) 周の長さの条件より $l + 2r = L$ なので $l = L - 2r$。
$l > 0$ かつ $r > 0$ より $0 < r < \dfrac{L}{2}$ である。
$$S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r(L - 2r) = \frac{1}{2}(Lr - 2r^2)$$
(2) $S = \frac{1}{2}(Lr - 2r^2) = -\left(r^2 - \dfrac{L}{2}r\right) = -\left(r - \dfrac{L}{4}\right)^2 + \dfrac{L^2}{16}$
（平方完成を行った）
$0 < r < \dfrac{L}{2}$ の範囲で、$r = \dfrac{L}{4}$ のとき $S$ は最大値 $\dfrac{L^2}{16}$ をとる。
このとき $l = L - 2 \times \dfrac{L}{4} = \dfrac{L}{2}$、$\theta = \dfrac{l}{r} = \dfrac{L/2}{L/4} = 2$（ラジアン）。
よって、$r = \dfrac{L}{4}$、$\theta = 2$ rad のとき面積は最大値 $\dfrac{L^2}{16}$。
$S = \dfrac{1}{2}rl$ を用いて弧の長さの条件を代入し、$r$ の2次関数に帰着させます。平方完成により最大値を求める典型問題です。最大となるとき $\theta = 2$ rad $\approx 114.6°$ であることは覚えておくと便利です。