「点から直線までの距離はどうやって求めるのか？」── この問いに答える公式は、図形と方程式の章で最も応用範囲が広い道具の一つです。
公式を暗記するだけでなく、なぜ垂線の長さが最短距離になるのか、その本質を理解しましょう。
座標平面上の点から直線までの「距離」とは、点から直線に下ろした垂線の長さのことです。これは点と直線上のすべての点との距離のうち、最も短い距離に一致します。
点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離 $d$ は、次の公式で求められます。
点 $(x_1, y_1)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離は
$$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
分子は「点の座標を直線の方程式の左辺に代入した値の絶対値」、分母は「$x, y$ の係数の2乗和の平方根」です。
点から直線への距離とは、点と直線を結ぶあらゆる線分のうち最も短いものの長さです。そして、最短の線分は必ず直線に垂直になります。
なぜなら、点から直線上の各点への距離を考えたとき、垂線の足の位置で距離は最小になるからです。これは「直角三角形の斜辺は他の辺より長い」ということから理解できます。
例題：点 $(3, 1)$ と直線 $3x + 4y - 2 = 0$ の距離を求めよ。
解：$a = 3$、$b = 4$、$c = -2$、$x_1 = 3$、$y_1 = 1$ を公式に代入します。
$$d = \frac{|3 \cdot 3 + 4 \cdot 1 + (-2)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|9 + 4 - 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|11|}{\sqrt{25}} = \frac{11}{5}$$
1. 直線は一般形 $ax + by + c = 0$ にする：$y = 2x + 3$ のような形のまま代入してはいけません。$2x - y + 3 = 0$ と変形してから公式を適用します。
2. 分子の絶対値を忘れない：代入した結果が負になることがあります。距離は常に正なので、必ず絶対値をつけます。
✗ 誤り：$d = \dfrac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$（絶対値なし）
✓ 正しい：$d = \dfrac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
3. 分母の $\sqrt{a^2 + b^2}$ を忘れない：分母で正規化しないと、直線の方程式の書き方によって値が変わってしまいます。例えば $x + y - 1 = 0$ と $2x + 2y - 2 = 0$ は同じ直線ですが、分母がないと異なる値になります。
点と直線の距離の公式がなぜ成り立つのか、2通りの方法で導出します。
点 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$ から直線 $\ell : ax + by + c = 0$ に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(x_0, y_0)$ とします。
Step 1：直線 $\ell$ の方向ベクトルは $(-b, a)$（$ax + by + c = 0$ の法線ベクトルが $(a, b)$ なので、それに垂直なベクトル）です。
Step 2：直線 $\mathrm{PH}$ は $\ell$ に垂直なので、$\mathrm{PH}$ の方向ベクトルは $(a, b)$ に平行です。よって
$$x_0 = x_1 + at, \quad y_0 = y_1 + bt \quad (\text{ある実数 } t)$$
Step 3：$\mathrm{H}$ は直線 $\ell$ 上の点なので $ax_0 + by_0 + c = 0$ を満たします。代入すると
$$a(x_1 + at) + b(y_1 + bt) + c = 0$$
$$ax_1 + by_1 + c + (a^2 + b^2)t = 0$$
$$t = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$$
Step 4：距離 $d = \mathrm{PH}$ を求めます。
$$d = \sqrt{(x_0 - x_1)^2 + (y_0 - y_1)^2} = \sqrt{(at)^2 + (bt)^2} = |t|\sqrt{a^2 + b^2}$$
$$= \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
直線 $\ell : ax + by + c = 0$ 上に2点 $\mathrm{A}$、$\mathrm{B}$ を取り、点 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$ と合わせて三角形 $\mathrm{PAB}$ を作ります。
Step 1：$b \neq 0$ の場合、直線 $\ell$ 上に次の2点を取ります。
$$\mathrm{A}\!\left(0,\, -\frac{c}{b}\right), \quad \mathrm{B}\!\left(b,\, -\frac{c + ab}{b}\right)$$
（$\mathrm{A}$ は $x = 0$、$\mathrm{B}$ は $x = b$ を代入して得られる点です。）
Step 2：底辺 $\mathrm{AB}$ の長さを求めます。
$$\mathrm{AB} = \sqrt{b^2 + \left(-\frac{ab}{b}\right)^2} = \sqrt{b^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Step 3：三角形 $\mathrm{PAB}$ の面積 $S$ を座標から求めます。行列式の公式を使うと
$$S = \frac{1}{2}\left|b\!\left(y_1 + \frac{c}{b}\right) - 0 \cdot \left(-\frac{ab}{b}\right) + x_1\!\left(-\frac{c+ab}{b} + \frac{c}{b}\right) \right|$$
計算を整理すると
$$S = \frac{1}{2}|ax_1 + by_1 + c|$$
Step 4：一方、$S = \dfrac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times d$ なので
$$\frac{1}{2}|ax_1 + by_1 + c| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \cdot d$$
$$d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
直線 $ax + by + c = 0$ の法線ベクトル（直線に垂直なベクトル）は $\vec{n} = (a, b)$ です。点 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$ から直線上の任意の点 $\mathrm{A}(x_0, y_0)$ へのベクトル $\vec{\mathrm{AP}}$ を法線方向に射影すると、その大きさが点と直線の距離になります。
$$d = \frac{|\vec{\mathrm{AP}} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|a(x_1 - x_0) + b(y_1 - y_0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
$\mathrm{A}$ は直線上なので $ax_0 + by_0 + c = 0$、すなわち $ax_0 + by_0 = -c$ を使うと、分子は $|ax_1 + by_1 + c|$ になります。大学の線形代数で学ぶ「正射影」の考え方がここに現れています。
2つの平行な直線の距離は、一方の直線上の点から他方の直線までの距離として計算できます。点と直線の距離の公式を応用しましょう。
2直線 $ax + by + c_1 = 0$ と $ax + by + c_2 = 0$ は、$x, y$ の係数が同じなので平行です。この2直線の距離を求めます。
直線 $ax + by + c_1 = 0$ 上の点を1つ選び、もう一方の直線 $ax + by + c_2 = 0$ までの距離を計算すればよいのです。
例えば $b \neq 0$ のとき、直線 $ax + by + c_1 = 0$ 上の点として $(0, -c_1/b)$ を選ぶと、
$$d = \frac{|a \cdot 0 + b \cdot (-c_1/b) + c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|-c_1 + c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
2つの平行な直線 $ax + by + c_1 = 0$ と $ax + by + c_2 = 0$ の距離は
$$d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
$x, y$ の係数（$a$ と $b$）が両直線で完全に一致していることが前提です。
この公式は、2直線の $x, y$ の係数が同じでなければ使えません。
例えば $x + y + 1 = 0$ と $2x + 2y + 5 = 0$ の距離を求めるとき、そのまま $|c_1 - c_2| = |1 - 5| = 4$ とするのは誤りです。
✗ 誤り：$\dfrac{|1 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{4}{\sqrt{2}}$（係数が異なる）
✓ 正しい：$2x + 2y + 5 = 0$ を $x + y + \dfrac{5}{2} = 0$ に変形してから $\dfrac{|1 - \frac{5}{2}|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{\frac{3}{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{3}{2\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{4}$
例題：2直線 $3x - 4y + 2 = 0$ と $3x - 4y - 8 = 0$ の距離を求めよ。
解：$a = 3$、$b = -4$ が一致しているので、公式をそのまま適用できます。
$$d = \frac{|2 - (-8)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|10|}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$$
点と直線の距離の公式は、単に距離を求めるだけでなく、さまざまな問題の解法に使われます。
点 $\mathrm{P}(x_1, y_1)$ から直線 $\ell : ax + by + c = 0$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標は、導出の過程で得た $t$ を使って求められます。
$$t = -\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}$$
より、
$$\mathrm{H}\!\left(x_1 - \frac{a(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2},\, y_1 - \frac{b(ax_1 + by_1 + c)}{a^2 + b^2}\right)$$
例題：点 $(5, 3)$ から直線 $2x + y - 3 = 0$ に下ろした垂線の足の座標を求めよ。
解：$ax_1 + by_1 + c = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 3 - 3 = 10$、$a^2 + b^2 = 4 + 1 = 5$ より
$$t = -\frac{10}{5} = -2$$
$$\mathrm{H} = (5 + 2 \cdot (-2),\, 3 + 1 \cdot (-2)) = (1, 1)$$
確認：$\mathrm{H}(1, 1)$ は直線上にあるか → $2 \cdot 1 + 1 - 3 = 0$ ✓
点 $\mathrm{P}$ の直線 $\ell$ に関する対称点 $\mathrm{P'}$ は、垂線の足 $\mathrm{H}$ が $\mathrm{PP'}$ の中点であることを利用して求めます。
$\mathrm{H}$ が $\mathrm{P}$ と $\mathrm{P'}$ の中点なので、
$$\mathrm{P'} = (2x_0 - x_1,\, 2y_0 - y_1) \quad (\mathrm{H} = (x_0, y_0))$$
例題：点 $(5, 3)$ の直線 $2x + y - 3 = 0$ に関する対称点を求めよ。
解：上の例題で垂線の足は $\mathrm{H}(1, 1)$ と求まったので、
$$\mathrm{P'} = (2 \cdot 1 - 5,\, 2 \cdot 1 - 3) = (-3, -1)$$
円 $x^2 + y^2 = r^2$ に接する直線を求める問題で、点と直線の距離の公式が活躍します。
直線 $\ell$ が円に接する条件は、「中心から直線までの距離 $=$ 半径」です。
例題：傾き $2$ で円 $x^2 + y^2 = 5$ に接する直線の方程式を求めよ。
解：傾き $2$ の直線を $y = 2x + k$（すなわち $2x - y + k = 0$）とおきます。
円の中心 $(0, 0)$ から直線までの距離が半径 $\sqrt{5}$ に等しいので
$$\frac{|2 \cdot 0 - 0 + k|}{\sqrt{4 + 1}} = \sqrt{5}$$
$$\frac{|k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \quad \Longrightarrow \quad |k| = 5 \quad \Longrightarrow \quad k = \pm 5$$
よって、求める接線は $y = 2x + 5$ と $y = 2x - 5$。
三角形の面積を座標から求める方法はいくつかありますが、点と直線の距離を使う方法は見通しがよく、実用的です。
三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を求めるとき、例えば辺 $\mathrm{AB}$ を底辺とすると、高さは「点 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離」です。
手順：
例題：3点 $\mathrm{A}(1, 2)$、$\mathrm{B}(4, 6)$、$\mathrm{C}(5, 1)$ で作る三角形の面積を求めよ。
解：辺 $\mathrm{AB}$ を底辺にします。
直線 $\mathrm{AB}$ の傾き：$\dfrac{6 - 2}{4 - 1} = \dfrac{4}{3}$ なので、$y - 2 = \dfrac{4}{3}(x - 1)$ → $4x - 3y + 2 = 0$
底辺の長さ：$\mathrm{AB} = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$
高さ（$\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AB}$ までの距離）：$h = \dfrac{|4 \cdot 5 - 3 \cdot 1 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \dfrac{|19|}{5} = \dfrac{19}{5}$
面積：$S = \dfrac{1}{2} \times 5 \times \dfrac{19}{5} = \dfrac{19}{2}$
3点 $(x_1, y_1)$、$(x_2, y_2)$、$(x_3, y_3)$ で作る三角形の面積は、行列式を使って次のようにも求められます。
$$S = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$
この公式と点と直線の距離を使う方法は、本質的に同じ計算をしています。
| 方法 | 利点 | 注意点 |
|---|---|---|
| 点と直線の距離 | 底辺と高さの意味が明確 | 直線の方程式を立てる必要あり |
| 行列式公式 | 座標を代入するだけで計算可能 | 計算の幾何学的意味が見えにくい |
状況に応じて使い分けましょう。直線の方程式が既に分かっている場合は距離の方法が、3点の座標だけが与えられている場合は行列式公式が便利です。
Q1. 点 $(2, -1)$ と直線 $3x - 4y + 5 = 0$ の距離を求めよ。
Q2. 点 $(0, 0)$ と直線 $5x + 12y - 26 = 0$ の距離を求めよ。
Q3. 2直線 $2x - y + 3 = 0$ と $2x - y - 7 = 0$ の距離を求めよ。
Q4. 点 $(3, 4)$ から直線 $x + 2y - 1 = 0$ に下ろした垂線の足の座標を求めよ。
Q5. 原点と直線 $y = 3x + 10$（一般形：$3x - y + 10 = 0$）の距離を求めよ。
次の点と直線の距離を求めよ。
(1) 点 $(1, 3)$ と直線 $4x - 3y + 10 = 0$
(2) 点 $(-2, 5)$ と直線 $x + y - 1 = 0$
(3) 2直線 $x - 2y + 1 = 0$ と $x - 2y + 6 = 0$ の距離
(1) $d = \dfrac{|4 \cdot 1 - 3 \cdot 3 + 10|}{\sqrt{16 + 9}} = \dfrac{|4 - 9 + 10|}{5} = \dfrac{5}{5} = 1$
(2) $d = \dfrac{|-2 + 5 - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \dfrac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
(3) 係数が一致しているので $d = \dfrac{|1 - 6|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$
点 $\mathrm{A}(4, 3)$ から直線 $\ell : 3x + 4y - 10 = 0$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{H}$ の座標、および点 $\mathrm{A}$ の直線 $\ell$ に関する対称点 $\mathrm{A'}$ の座標を求めよ。
$ax_1 + by_1 + c = 3 \cdot 4 + 4 \cdot 3 - 10 = 14$、$a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$
$t = -\dfrac{14}{25}$
$\mathrm{H} = \!\left(4 + 3 \cdot \!\left(-\dfrac{14}{25}\right),\, 3 + 4 \cdot \!\left(-\dfrac{14}{25}\right)\right) = \!\left(\dfrac{100 - 42}{25},\, \dfrac{75 - 56}{25}\right) = \!\left(\dfrac{58}{25},\, \dfrac{19}{25}\right)$
$\mathrm{A'} = \!\left(2 \cdot \dfrac{58}{25} - 4,\, 2 \cdot \dfrac{19}{25} - 3\right) = \!\left(\dfrac{116 - 100}{25},\, \dfrac{38 - 75}{25}\right) = \!\left(\dfrac{16}{25},\, -\dfrac{37}{25}\right)$
垂線の足 $\mathrm{H}$ を求めるには、パラメータ $t$ を用いて $\mathrm{H} = (x_1 + at, y_1 + bt)$ とし、$\mathrm{H}$ が直線上にある条件から $t$ を決めます。対称点は $\mathrm{H}$ が $\mathrm{A}$ と $\mathrm{A'}$ の中点であることから求めます。
円 $x^2 + y^2 = 9$ に点 $(1, 2)$ を通る接線を引く。接線の方程式を求めよ。
点 $(1, 2)$ は円の内部にないか確認：$1^2 + 2^2 = 5 < 9$ なので円の内部にあり、この点から2本の接線は引けません。
【修正】点 $(1, 2)$ は円の内部にあるため、この点を通る接線は存在しない。
そこで問題を修正し、点 $(3, 4)$ を通る場合を考えます。$3^2 + 4^2 = 25 > 9$ なので円の外部です。
接線を $y - 4 = m(x - 3)$ すなわち $mx - y + (4 - 3m) = 0$ とおきます。
中心 $(0, 0)$ からの距離 $= 3$ より
$$\frac{|4 - 3m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3$$
$$(4 - 3m)^2 = 9(m^2 + 1)$$
$$16 - 24m + 9m^2 = 9m^2 + 9$$
$$-24m + 7 = 0 \quad \Longrightarrow \quad m = \frac{7}{24}$$
$m$ が1つしか出ないので、傾きをもたない接線 $x = 3$ も確認します。中心からの距離は $3$ で半径に等しいので接線です。
よって接線は $x = 3$ と $y = \dfrac{7}{24}(x - 3) + 4$、すなわち $7x - 24y + 75 = 0$。
接線の条件「中心から直線までの距離 $=$ 半径」を点と直線の距離の公式で表し、方程式を解きます。傾きが存在しない場合（$x = k$ 型）も別途確認するのがポイントです。
座標平面上に3点 $\mathrm{A}(0, 0)$、$\mathrm{B}(6, 0)$、$\mathrm{C}(2, 4)$ がある。
(1) 三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を、点と直線の距離を用いて求めよ。
(2) 三角形 $\mathrm{ABC}$ の内接円の半径 $r$ を求めよ。
(3) 内接円の中心 $\mathrm{I}$ の座標を求めよ。
(1) 辺 $\mathrm{AB}$ を底辺にします。$\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(6,0)$ を通る直線は $y = 0$ です。
底辺の長さ：$\mathrm{AB} = 6$
高さ（$\mathrm{C}$ から $y = 0$ までの距離）：$h = |4| = 4$
$$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12$$
(2) 各辺の長さを求めます。
$\mathrm{AB} = 6$、$\mathrm{BC} = \sqrt{(6-2)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$
$\mathrm{CA} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
内接円の半径は $S = \dfrac{1}{2}r(a + b + c)$ より
$$12 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot (6 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5})$$
$$r = \frac{24}{6 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5}} = \frac{12}{3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{5}}$$
(3) 内接円の中心 $\mathrm{I}(p, q)$ は、3辺すべてからの距離が $r$ に等しい点です。
直線 $\mathrm{AB}$ ：$y = 0$ からの距離 → $|q| = r$ → $q = r$（$q > 0$）
直線 $\mathrm{AC}$ ：$\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{C}(2,4)$ を通るので $y = 2x$、すなわち $2x - y = 0$
$\dfrac{|2p - q|}{\sqrt{5}} = r$ → $|2p - q| = r\sqrt{5}$
直線 $\mathrm{BC}$ ：$\mathrm{B}(6,0)$、$\mathrm{C}(2,4)$ を通るので傾き $= \dfrac{4-0}{2-6} = -1$、$y = -(x-6) = -x+6$、すなわち $x + y - 6 = 0$
$\dfrac{|p + q - 6|}{\sqrt{2}} = r$ → $|p + q - 6| = r\sqrt{2}$
$\mathrm{I}$ は三角形の内部にあるので $q > 0$、$2p - q < 0$（直線 $\mathrm{AC}$ の上側）、$p + q - 6 < 0$（直線 $\mathrm{BC}$ の下側）より
$q = r$、$q - 2p = r\sqrt{5}$、$6 - p - q = r\sqrt{2}$
第1式を第2式に代入：$r - 2p = r\sqrt{5}$ → $p = \dfrac{r(1 - \sqrt{5})}{2}$
第1式を第3式に代入：$6 - p - r = r\sqrt{2}$ → $p = 6 - r(1 + \sqrt{2})$
等置して $r$ を求め、$p$、$q$ を算出すると
$$\mathrm{I} = \!\left(\frac{r(1-\sqrt{5})}{2},\, r\right) \quad \text{（$r = \dfrac{12}{3 + 2\sqrt{2} + \sqrt{5}}$）}$$
(1)は点と直線の距離の直接的な応用です。(2)は三角形の面積と内接円の半径の関係 $S = \frac{1}{2}r \cdot (\text{周の長さ})$ を使います。(3)は「内接円の中心は3辺からの距離が等しい」という条件を点と直線の距離で表し、連立方程式を解きます。