「2つの点を結ぶ線分を $m:n$ に分ける点の座標は？」── これが図形と方程式の第一歩です。
内分と外分の公式を丸暗記するのではなく、なぜその式になるのかを理解しましょう。
図形と方程式を学ぶ前に、まず数直線上の基本を確認しておきましょう。
数直線上の各点には実数が1つ対応しています。点 $\mathrm{P}$ に対応する実数 $x$ を点 $\mathrm{P}$ の座標といい、$\mathrm{P}(x)$ と表します。
数直線上の2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$ の間の距離 $\mathrm{AB}$ は、次の公式で求まります。
$$\mathrm{AB} = |b - a|$$
$|b - a| = |a - b|$ なので、どちらから引いても同じ結果になります。
距離は常に0以上の値です。$a < b$ なら $b - a > 0$ ですが、$a > b$ なら $b - a < 0$ になります。どちらの場合でも正の値を得るために絶対値をつけるのです。
例えば $\mathrm{A}(3)$、$\mathrm{B}(-2)$ のとき、$\mathrm{AB} = |-2 - 3| = |-5| = 5$ です。
特に、原点 $\mathrm{O}$ と点 $\mathrm{P}(a)$ の距離は $\mathrm{OP} = |a - 0| = |a|$ です。これが絶対値の幾何学的な意味であり、「原点からの距離」を表しています。
線分 $\mathrm{AB}$ 上に点 $\mathrm{P}$ があり、$\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n$（$m > 0$、$n > 0$）を満たすとき、点 $\mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に内分するといいます。
内分点は線分 $\mathrm{AB}$ の「内側」にある点です。$m = n$ のときは中点になります。
公式を丸暗記するのではなく、なぜその式になるのかを理解しましょう。
数直線上の2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$ について、線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に内分する点 $\mathrm{P}(x)$ の座標を求めます。
$a < b$ の場合を考えます。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間にあるので $a < x < b$ です。
$\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = m : n$ より、
$$\mathrm{AP} = x - a, \quad \mathrm{PB} = b - x$$
比の条件から $n(x - a) = m(b - x)$ が成り立ちます。
$$nx - na = mb - mx$$
$$nx + mx = na + mb$$
$$(m + n)x = na + mb$$
$$x = \frac{na + mb}{m + n}$$
$a > b$ の場合も同様にして同じ結果が得られます。
2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標は
$$x = \frac{na + mb}{m + n}$$
覚え方：「遠い方の比 × 座標」を足して、「比の合計」で割る。$\mathrm{A}$ からの比が $m$ なので、$\mathrm{A}$ の座標には反対側の比 $n$ がかかります。
内分点の公式 $x = \frac{na + mb}{m + n}$ は、$a$ と $b$ の加重平均（重み付き平均）です。
$m$ が大きい（$\mathrm{P}$ が $\mathrm{B}$ に近い）ほど、$b$ の重み $m$ が大きくなり、$x$ は $b$ に近づきます。
例えば $m : n = 3 : 1$ なら $\mathrm{P}$ は $\mathrm{B}$ に近い位置にあり、公式で計算すると確かに $x = \frac{a + 3b}{4}$ と $b$ の影響が大きくなります。
$m = n$（すなわち $1 : 1$ に内分）のとき、
$$x = \frac{a + b}{2}$$
これは $a$ と $b$ の（普通の）平均です。中点の座標は2点の座標の平均で求まります。
「$\mathrm{AB}$ を $m : n$ に内分」というとき、$\mathrm{A}$ 側の比が $m$、$\mathrm{B}$ 側の比が $n$ です。公式では $\mathrm{A}$ の座標 $a$ には反対側の比 $n$ がかかることに注意しましょう。
✗ 誤り：$x = \frac{ma + nb}{m + n}$
✓ 正しい：$x = \frac{na + mb}{m + n}$
「$\mathrm{A}$ から比 $m$ 離れる」→「$\mathrm{B}$ に近い」→「$\mathrm{B}$ の座標の重みが大きい」と考えるとミスを防げます。
例題：2点 $\mathrm{A}(-2)$、$\mathrm{B}(4)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $2 : 1$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標を求めよ。
解：$m = 2$、$n = 1$、$a = -2$、$b = 4$ を代入すると、
$$x = \frac{1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{2 + 1} = \frac{-2 + 8}{3} = \frac{6}{3} = 2$$
確認：$\mathrm{AP} = |2 - (-2)| = 4$、$\mathrm{PB} = |4 - 2| = 2$ なので $\mathrm{AP} : \mathrm{PB} = 4 : 2 = 2 : 1$ ✓
線分 $\mathrm{AB}$ の延長線上に点 $\mathrm{Q}$ があり、$\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n$（$m > 0$、$n > 0$、$m \neq n$）を満たすとき、点 $\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に外分するといいます。
外分点は線分 $\mathrm{AB}$ の「外側」にある点です。$m > n$ なら $\mathrm{B}$ の外側に、$m < n$ なら $\mathrm{A}$ の外側にあります。
外分点は「線分の延長上」にあります。イメージとしては、内分点が線分を内側から分けるのに対し、外分点は外側から分けます。
$m > n$ の場合：$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ の外側（$\mathrm{A}$ から遠い方）
$m < n$ の場合：$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{A}$ の外側（$\mathrm{B}$ から遠い方）
$m = n$ のとき、外分点は存在しません（分母が0になるため）。
$a < b$ で $m > n$ の場合を考えます。$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ の外側にあるので $x > b$ です。
$\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = m : n$ より、
$$\mathrm{AQ} = x - a, \quad \mathrm{QB} = x - b$$
比の条件から $n(x - a) = m(x - b)$ が成り立ちます。
$$nx - na = mx - mb$$
$$mb - na = mx - nx$$
$$(m - n)x = mb - na$$
$$x = \frac{-na + mb}{m - n}$$
他の場合も同様の結果が得られます。
2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標は
$$x = \frac{-na + mb}{m - n}$$
内分点の公式と比較すると、$n$ の符号が反転し、分母が $m + n$ → $m - n$ に変わっただけです。
外分点の公式で最も多いミスは、分子・分母の符号を取り違えることです。
✗ 誤り：$x = \frac{na - mb}{m - n}$（$a$ と $b$ の係数を逆にする）
✓ 正しい：$x = \frac{-na + mb}{m - n}$
内分と外分の公式を混同しないコツは、次のセクションの「統一公式」で理解することです。
例題：2点 $\mathrm{A}(-2)$、$\mathrm{B}(4)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $2 : 1$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めよ。
解：$m = 2$、$n = 1$、$a = -2$、$b = 4$ を代入すると、
$$x = \frac{-1 \cdot (-2) + 2 \cdot 4}{2 - 1} = \frac{2 + 8}{1} = 10$$
確認：$\mathrm{AQ} = |10 - (-2)| = 12$、$\mathrm{QB} = |10 - 4| = 6$ なので $\mathrm{AQ} : \mathrm{QB} = 12 : 6 = 2 : 1$ ✓
内分と外分の公式を別々に覚えるのは大変です。実は、外分は「比の一方を負にした内分」と見なせます。
$m : n$ に外分する点は、$m : (-n)$ に内分する点と同じです。
内分の公式 $x = \frac{na + mb}{m + n}$ で $n$ を $-n$ に置き換えると、
$$x = \frac{(-n)a + mb}{m + (-n)} = \frac{-na + mb}{m - n}$$
これは外分の公式そのものです。したがって、内分の公式1つだけを覚え、外分では $n$ を $-n$ に置き換えると覚えればよいのです。
点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ を $t : (1 - t)$ に分けると考えると、さらにすっきりします。
$$x = (1 - t)a + tb$$
ここで $0 < t < 1$ のとき内分、$t < 0$ または $t > 1$ のとき外分に対応します。
$x = (1 - t)a + tb$ はベクトルの一次結合 $\vec{OP} = (1 - t)\vec{OA} + t\vec{OB}$ に対応します。$0 \leq t \leq 1$ のとき、この結合を凸結合（convex combination）と呼びます。
大学の線形代数では、この考え方が直線のパラメータ表示や内分・外分の統一的な理解の基礎になります。
| 内分（$m : n$） | 外分（$m : n$） | |
|---|---|---|
| 点の位置 | $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間 | $\mathrm{AB}$ の延長上 |
| 公式 | $\dfrac{na + mb}{m + n}$ | $\dfrac{-na + mb}{m - n}$ |
| $m = n$ のとき | 中点 $\dfrac{a + b}{2}$ | 存在しない |
| 統一的理解 | $m : n$ に内分 | $m : (-n)$ に内分 |
$m : n$ に外分する点が存在するのは $m \neq n$ のときだけです。$m = n$ のとき、外分点の公式の分母が $m - n = 0$ となり、座標は定義できません。
幾何学的には、$\mathrm{AQ} = \mathrm{QB}$ となる線分の外側の点は無限遠にあると考えます。
数直線上に3点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$、$\mathrm{C}(c)$ があるとき、$\mathrm{C}$ が $\mathrm{AB}$ を内分するのか外分するのかは、$c$ の位置で決まります。
分ける比は $\mathrm{AC} : \mathrm{CB}$ で求められます。
与えられた3点から、内分・外分の比を逆算する問題もよく出題されます。
例題：3点 $\mathrm{A}(-3)$、$\mathrm{B}(5)$、$\mathrm{C}(2)$ について、$\mathrm{C}$ は線分 $\mathrm{AB}$ をどのような比に分けるか。
解：$a = -3$、$b = 5$ で、$c = 2$ は $-3 < 2 < 5$ なので $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ を内分します。
$$\mathrm{AC} : \mathrm{CB} = |2 - (-3)| : |5 - 2| = 5 : 3$$
したがって、$\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ を $5 : 3$ に内分します。
「線分 $\mathrm{AB}$ を $m : n$ に内分する点は $\mathrm{P}$」という条件は、方程式 $\frac{na + mb}{m + n} = x$ に翻訳できます。このように、図形の条件を方程式に翻訳することが「図形と方程式」の章全体を貫く中心テーマです。
この章のキーアイデアは、図形の性質を座標と方程式で表すことです。
「2点を結ぶ線分を $m : n$ に内分する」という幾何学的な条件が、座標を用いた計算式に翻訳されます。この「図形 → 方程式」の翻訳が、今後の直線の方程式、円の方程式、軌跡の問題すべてに共通する考え方です。
例題：数直線上に2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$ がある。線分 $\mathrm{AB}$ を $1 : 2$ に内分する点を $\mathrm{P}$、$2 : 1$ に内分する点を $\mathrm{Q}$ とすると、$\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を3等分する点である。このことを確かめよ。
解：
$$\mathrm{P} : \frac{2a + b}{3}, \quad \mathrm{Q} : \frac{a + 2b}{3}$$
$$\mathrm{AP} = \left|\frac{2a + b}{3} - a\right| = \frac{|b - a|}{3}, \quad \mathrm{PQ} = \left|\frac{a + 2b}{3} - \frac{2a + b}{3}\right| = \frac{|b - a|}{3}$$
$$\mathrm{QB} = \left|b - \frac{a + 2b}{3}\right| = \frac{|b - a|}{3}$$
$\mathrm{AP} = \mathrm{PQ} = \mathrm{QB}$ が確認でき、線分 $\mathrm{AB}$ は3等分されています。
線分 $\mathrm{AB}$ の $n$ 等分点は、$k : (n - k)$（$k = 1, 2, \ldots, n-1$）に内分する点として求められます。$k$ 番目の等分点の座標は
$$x_k = \frac{(n - k)a + kb}{n} = a + \frac{k}{n}(b - a)$$
これは $a$ から $b$ に向かって $\frac{k}{n}$ だけ進んだ点を意味します。
Q1. 数直線上の2点 $\mathrm{A}(-5)$、$\mathrm{B}(3)$ の距離 $\mathrm{AB}$ を求めよ。
Q2. 2点 $\mathrm{A}(1)$、$\mathrm{B}(7)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $2 : 1$ に内分する点の座標を求めよ。
Q3. 2点 $\mathrm{A}(-4)$、$\mathrm{B}(6)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ の中点の座標を求めよ。
Q4. 2点 $\mathrm{A}(2)$、$\mathrm{B}(8)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $3 : 1$ に外分する点の座標を求めよ。
Q5. 3点 $\mathrm{A}(-6)$、$\mathrm{B}(4)$、$\mathrm{C}(-1)$ について、$\mathrm{C}$ は線分 $\mathrm{AB}$ をどのような比に内分するか。
数直線上に3点 $\mathrm{A}(-2)$、$\mathrm{B}(1)$、$\mathrm{C}(5)$ がある。
(1) 線分 $\mathrm{AB}$ を $3 : 2$ に内分する点 $\mathrm{P}$ と、$3 : 2$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標をそれぞれ求めよ。
(2) 線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{M}$ の座標を求めよ。
(3) 点 $\mathrm{C}$ は線分 $\mathrm{AB}$ をどのような比に外分するか。
(1) 内分点 $\mathrm{P}$：$\dfrac{2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1}{3 + 2} = \dfrac{-4 + 3}{5} = -\dfrac{1}{5}$
外分点 $\mathrm{Q}$：$\dfrac{-2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1}{3 - 2} = \dfrac{4 + 3}{1} = 7$
(2) 中点 $\mathrm{M}$：$\dfrac{-2 + 1}{2} = -\dfrac{1}{2}$
(3) $c = 5$ は $b = 1$ の外側（$a < b < c$）なので外分。$\mathrm{AC} : \mathrm{CB} = |5 - (-2)| : |5 - 1| = 7 : 4$。よって $\mathrm{C}$ は $\mathrm{AB}$ を $7 : 4$ に外分する。
数直線上の2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$ について、線分 $\mathrm{AB}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\mathrm{P}$、$3 : 1$ に内分する点を $\mathrm{Q}$ とする。さらに、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点を $\mathrm{M}$ とするとき、$\mathrm{M}$ は線分 $\mathrm{AB}$ の中点と一致することを示せ。
$\mathrm{P}$ の座標：$\dfrac{3a + b}{4}$、$\mathrm{Q}$ の座標：$\dfrac{a + 3b}{4}$
$\mathrm{M}$ の座標：$\dfrac{\frac{3a + b}{4} + \frac{a + 3b}{4}}{2} = \dfrac{\frac{4a + 4b}{4}}{2} = \dfrac{a + b}{2}$
これは線分 $\mathrm{AB}$ の中点の座標に等しい。■
$1 : 3$ に内分する点と $3 : 1$ に内分する点は、中点に対して対称な位置にあります。したがって、それらの中点は線分の中点に一致します。
数直線上に2点 $\mathrm{A}(a)$、$\mathrm{B}(b)$（$a < b$）がある。線分 $\mathrm{AB}$ を $2 : 1$ に内分する点を $\mathrm{P}$、$2 : 1$ に外分する点を $\mathrm{Q}$ とする。
(1) $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$ の座標をそれぞれ $a$、$b$ で表せ。
(2) $\mathrm{B}$ は線分 $\mathrm{PQ}$ をどのような比に内分するか。
(1) $\mathrm{P}$：$\dfrac{1 \cdot a + 2 \cdot b}{2 + 1} = \dfrac{a + 2b}{3}$
$\mathrm{Q}$：$\dfrac{-1 \cdot a + 2 \cdot b}{2 - 1} = 2b - a$
(2) $a < b$ のとき $\mathrm{P} = \dfrac{a + 2b}{3}$ は $a$ と $b$ の間、$\mathrm{Q} = 2b - a$ は $b$ の外側にあるので、$\mathrm{B}$ は $\mathrm{P}$ と $\mathrm{Q}$ の間にあります。
$\mathrm{PB} = b - \dfrac{a + 2b}{3} = \dfrac{b - a}{3}$
$\mathrm{BQ} = (2b - a) - b = b - a$
$\mathrm{PB} : \mathrm{BQ} = \dfrac{b - a}{3} : (b - a) = 1 : 3$
よって、$\mathrm{B}$ は線分 $\mathrm{PQ}$ を $1 : 3$ に内分する。
数直線上に2点 $\mathrm{A}(a-1)$、$\mathrm{B}(a+2)$（$a$ は実数）がある。線分 $\mathrm{AB}$ を $t : (1-t)$（$0 < t < 1$）に内分する点を $\mathrm{P}(p)$ とする。
(1) $p$ を $a$ と $t$ で表せ。
(2) $a$ が実数全体を動くとき、$p$ のとりうる値の範囲を $t$ を用いて表せ。
(3) $a$ と $t$ がそれぞれ $0 \leq a \leq 2$、$0 < t < 1$ の範囲を動くとき、$p$ のとりうる値の範囲を求めよ。
(1) 内分点の公式より
$$p = (1-t)(a-1) + t(a+2) = a - 1 + t \cdot 3 = a + 3t - 1$$
(2) $a$ が実数全体を動くとき、$p = a + 3t - 1$ において $3t - 1$ は定数なので、$p$ も実数全体を動く。
$p$ のとりうる値の範囲は $-\infty < p < \infty$（実数全体）。
(3) $p = a + 3t - 1$ について、$0 \leq a \leq 2$、$0 < t < 1$ のとき
$$0 + 3 \cdot 0 - 1 < p < 2 + 3 \cdot 1 - 1$$
$a = 0$、$t \to 0$ のとき $p \to -1$、$a = 2$、$t \to 1$ のとき $p \to 4$
$p = a + 3t - 1$ は $a$ について連続で $0 \leq a \leq 2$ から $a$ の端点の値は取れるが、$t$ は開区間なので端点は取れない。
$a = 0, t \to 0^+$ のとき $p \to -1$（$-1$ は含まない）、$a = 2, t \to 1^-$ のとき $p \to 4$（$4$ は含まない）
しかし、例えば $p = -1$ は $a + 3t = 0$ が必要で、$a = 0$ なら $t = 0$ が必要だが $t > 0$ なので不可。ただし $a > 0$ で $t$ を十分小さくすれば $p = -1 + \varepsilon$ は可能。
一方 $p = -1$ 自体は $a = 0, t = 0$ でしか実現できず、$t > 0$ なので取れない。同様に $a \geq 0, t > 0$ から $p > -1$。
よって $p$ のとりうる値の範囲は $-1 < p < 4$。
内分点のパラメータ表示 $p = (1-t) \cdot (\text{A の座標}) + t \cdot (\text{B の座標})$ を用いて、$p$ を $a, t$ の1次式として表します。(3)では $a$ が閉区間、$t$ が開区間を動くことに注意が必要です。