複素数の基礎から高次方程式まで、第2章で学んだすべての知識を結びつける総合演習です。
個々の知識を「使える力」に昇華させ、入試レベルの融合問題に対応できる実力を養いましょう。
第2章「複素数と方程式」で学んだ内容は、次の5つの柱から構成されています。これらが互いに結びつくことで、方程式の理論が完成します。
I. 複素数の基礎：虚数単位 $i$、複素数 $a+bi$、共役複素数 $\bar{z}$、四則演算
II. 2次方程式の解法：解の公式、判別式 $D = b^2 - 4ac$、虚数解
III. 解と係数の関係：$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$、$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$、対称式の値
IV. 剰余の定理・因数定理：$P(a) = 0 \Leftrightarrow (x - a)$ が因数、組立除法
V. 高次方程式：因数分解による次数下げ、虚数解と共役解の関係
入試の総合問題では、これらの柱が次のように連携します。
| 組合せ | 典型的な問題パターン |
|---|---|
| I + II | 複素数の条件から2次方程式を立て、判別式で解の存在を判定 |
| II + III | 解と係数の関係を使って、解を直接求めずに対称式の値を計算 |
| III + IV | 1つの解から解と係数の関係で他の解を求め、因数分解を完成 |
| IV + V | 因数定理で1つの因数を発見し、高次方程式を次数下げして解く |
| I + V | 高次方程式の虚数解から共役解を利用して実数係数の因数を構成 |
総合問題が難しく感じる原因は「どの知識を使うか」の判断にあります。次の3ステップを意識しましょう。
(1) 条件の翻訳：問題文の条件を数式に変換する（「実数解をもつ」→「$D \geq 0$」など）。
(2) 道具の選択：翻訳された数式に対して、最も効率的な手法を選ぶ。
(3) 検算：得られた解が元の条件を満たすか確認する。特に虚数解の問題では共役解の確認を忘れずに。
複素数の性質（共役、絶対値など）と方程式の理論を組み合わせた問題を扱います。
実数係数の方程式が虚数解 $\alpha$ をもつとき、$\bar{\alpha}$ も解である。
このとき、$\alpha$ と $\bar{\alpha}$ を解にもつ2次方程式は
$$x^2 - (\alpha + \bar{\alpha})x + \alpha\bar{\alpha} = 0$$
$\alpha = p + qi$（$p, q$ は実数、$q \neq 0$）のとき、$\alpha + \bar{\alpha} = 2p$、$\alpha\bar{\alpha} = p^2 + q^2$ より
$$x^2 - 2px + (p^2 + q^2) = 0$$
解と係数の関係の逆：2つの解から方程式を復元できる。
例題1：$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = 0$ が $x = 1$ を解にもつことを利用して、すべての解を求めよ。
解法：$P(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2$ とすると $P(1) = 1 - 3 + 4 - 2 = 0$ より $(x - 1)$ が因数。
組立除法により
$$x^3 - 3x^2 + 4x - 2 = (x - 1)(x^2 - 2x + 2) = 0$$
$x^2 - 2x + 2 = 0$ の解は $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \dfrac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$
よって、解は $x = 1,\; 1 + i,\; 1 - i$。虚数解 $1 + i$ と $1 - i$ が共役のペアになっていることを確認できます。
例題2：複素数 $z$ が $z^2 = \bar{z}$ を満たすとき、$z$ をすべて求めよ。
解法：$z = x + yi$（$x, y$ は実数）とおくと、$\bar{z} = x - yi$ であり
$$z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = x - yi$$
実部と虚部をそれぞれ比較して
$$x^2 - y^2 = x \quad \cdots (1), \qquad 2xy = -y \quad \cdots (2)$$
(2) より $y(2x + 1) = 0$ なので $y = 0$ または $x = -\dfrac{1}{2}$。
場合1：$y = 0$ のとき、(1) より $x^2 = x$ なので $x = 0$ または $x = 1$。よって $z = 0,\; 1$。
場合2：$x = -\dfrac{1}{2}$ のとき、(1) より $\dfrac{1}{4} - y^2 = -\dfrac{1}{2}$ なので $y^2 = \dfrac{3}{4}$、$y = \pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。よって $z = -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$。
以上より $z = 0,\; 1,\; -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i,\; -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i$。
$z^2 = \bar{z}$ の両辺の絶対値をとると $|z|^2 = |\bar{z}| = |z|$ なので $|z|^2 - |z| = 0$、すなわち $|z|(|z| - 1) = 0$。よって $|z| = 0$ つまり $z = 0$、または $|z| = 1$ です。$|z| = 1$ のとき $z\bar{z} = 1$ より $\bar{z} = \dfrac{1}{z}$。元の式に代入すると $z^2 = \dfrac{1}{z}$、すなわち $z^3 = 1$。これは1の3乗根を求める問題に帰着されます。
実数パラメータを含む方程式では、判別式・解と係数の関係・解の配置の3つの道具を組み合わせて条件を絞り込みます。
判別式 $D = b^2 - 4ac$ として
「実数解をもつ」条件は $D \geq 0$、「虚数解をもつ」条件は $D < 0$。
例題3：2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ について、次の条件を満たす実数 $a$ の範囲を求めよ。
(1) 異なる2つの正の実数解をもつ。
(2) 1つの正の解と1つの負の解をもつ。
解法：2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より
$$\alpha + \beta = 2a, \qquad \alpha\beta = a + 6$$
(1) 異なる2つの正の実数解の条件：
これらすべてを満たすのは $a > 3$。
(2) 1つの正の解と1つの負の解の条件：$\alpha\beta < 0$ であればよい。
$a + 6 < 0$ より $a < -6$。
（$\alpha\beta < 0$ なら $D = (\alpha - \beta)^2 + 4\alpha\beta > 0$ は自動的に成り立つので判別式の条件は不要。）
✗ 「2つの正の解」の条件に $\alpha + \beta > 0$ だけで十分と考える
✓ $D > 0$（実数解の存在）、$\alpha + \beta > 0$（和が正）、$\alpha\beta > 0$（積が正）の3条件すべてが必要
例えば $\alpha + \beta > 0$ かつ $\alpha\beta > 0$ でも、$D < 0$ なら虚数解になります。3条件の共通範囲を求めましょう。
例題4：$x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ の2つの実数解がともに $1$ より大きくなる条件を求めよ。
解法：$f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ とおく。2つの解がともに $1$ より大きい条件は次の3つ：
これらの共通範囲は $3 \leq a < 7$。
2次方程式の解の配置問題は、すべて「2次関数のグラフを利用して、解（$x$ 軸との交点）がどこにあるか」という視点で統一的に扱えます。「解と係数の関係」と「グラフの利用」は同じ問題への異なるアプローチですが、複雑な配置条件ではグラフ法が見通しよく処理できます。
入試では「なぜそうなるのか」を論理的に示す証明問題が頻出します。第2章の範囲で重要な証明パターンを整理します。
証明：$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$（$a_k$ はすべて実数）とする。
$P(\alpha) = 0$ のとき、$\overline{P(\alpha)} = 0$ である。
共役の性質 $\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}$、$\overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$ を繰り返し用いると
$$\overline{P(\alpha)} = \overline{a_n \alpha^n + a_{n-1}\alpha^{n-1} + \cdots + a_0}$$
$$= \bar{a_n}\bar{\alpha}^n + \bar{a_{n-1}}\bar{\alpha}^{n-1} + \cdots + \bar{a_0}$$
$a_k$ は実数なので $\bar{a_k} = a_k$ であるから
$$= a_n \bar{\alpha}^n + a_{n-1}\bar{\alpha}^{n-1} + \cdots + a_0 = P(\bar{\alpha})$$
よって $P(\bar{\alpha}) = \overline{P(\alpha)} = \bar{0} = 0$。すなわち $\bar{\alpha}$ も $P(x) = 0$ の解である。 ■
2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha, \beta$ の対称式はすべて $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ で表せます。
$s = \alpha + \beta$、$p = \alpha\beta$ とおくと
$$\alpha^2 + \beta^2 = s^2 - 2p$$
$$\alpha^3 + \beta^3 = s^3 - 3sp$$
$$\alpha^4 + \beta^4 = (s^2 - 2p)^2 - 2p^2$$
$$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{s}{p} \qquad (p \neq 0)$$
$$(\alpha - \beta)^2 = s^2 - 4p$$
例題5：$\alpha, \beta$ が $x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解であるとき、$\alpha^4 + \beta^4$ の値を求めよ。
解法：解と係数の関係より $s = \alpha + \beta = 3$、$p = \alpha\beta = 1$。
$$\alpha^2 + \beta^2 = s^2 - 2p = 9 - 2 = 7$$
$$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = 7^2 - 2 \cdot 1^2 = 49 - 2 = 47$$
例題6：$\alpha, \beta, \gamma$ が $x^3 + px + q = 0$（$x^2$ の係数が $0$）の3解であるとき、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -2p$ を示せ。
3次方程式 $x^3 + 0 \cdot x^2 + px + q = 0$ の解と係数の関係より
$$\alpha + \beta + \gamma = 0, \qquad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = p, \qquad \alpha\beta\gamma = -q$$
$(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$ より
$$0 = (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) + 2p$$
よって $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = -2p$。 ■
証明で使う公式や定理は「解と係数の関係より」のように明示しましょう。また、途中式では「$= \cdots =$」と省略せず、各ステップで何をしているか（展開、代入、整理など）がわかるように書くことが減点を防ぐポイントです。
ここでは、複数の分野を横断する難関大入試レベルの問題を取り上げます。「知識の組み合わせ方」を意識しながら取り組みましょう。
例題7：$x^3 - 3x + a = 0$ が異なる3つの実数解をもつような定数 $a$ の範囲を求めよ。
解法：$f(x) = x^3 - 3x$ とおくと、方程式は $f(x) = -a$ と変形できる。
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)$ より、$x = -1$ で極大値 $f(-1) = 2$、$x = 1$ で極小値 $f(1) = -2$。
$y = f(x)$ と $y = -a$（水平線）が3点で交わる条件は $-2 < -a < 2$、すなわち $-2 < a < 2$。
$P(x) = a$ の実数解の個数は、$y = P(x)$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数に等しいです。3次方程式で実数解の個数を議論する場合、微分を使って極値を求め、グラフの概形から交点を数えるのが定石です。これは数学IIの微分法との融合問題です。
例題8：実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が $x = 2 + i$ を解にもつとき、$a, b, c$ の値を求めよ。ただし、もう1つの実数解は $x = -1$ とする。
解法：実数係数なので $x = 2 - i$ も解。3つの解は $2 + i,\; 2 - i,\; -1$。
解と係数の関係より
$$(2+i) + (2-i) + (-1) = -a \quad \Longrightarrow \quad 3 = -a \quad \Longrightarrow \quad a = -3$$
$$(2+i)(2-i) + (2-i)(-1) + (-1)(2+i) = b$$
$$= 5 + (-2+i) + (-2-i) = 5 - 4 = 1 \quad \Longrightarrow \quad b = 1$$
$$(2+i)(2-i)(-1) = -c \quad \Longrightarrow \quad 5 \cdot (-1) = -c \quad \Longrightarrow \quad c = 5$$
よって $a = -3,\; b = 1,\; c = 5$。
例題9：3次方程式 $x^3 - 6x^2 + ax - a = 0$ が整数解をもつとき、整数 $a$ の値をすべて求めよ。
解法：$x = k$（整数）が解であるとすると
$$k^3 - 6k^2 + ak - a = 0$$
$$k^3 - 6k^2 + a(k - 1) = 0$$
$k = 1$ のとき：$1 - 6 = -5 \neq 0$ なので、$k \neq 1$ のとき $a = \dfrac{-k^3 + 6k^2}{k - 1}$。
多項式の割り算を実行すると
$$\frac{-k^3 + 6k^2}{k - 1} = -k^2 + 5k + 5 + \frac{5}{k-1}$$
$a$ が整数となるには $\dfrac{5}{k-1}$ が整数、すなわち $k - 1$ が $5$ の約数。
$k - 1 \in \{-5, -1, 1, 5\}$ より $k \in \{-4, 0, 2, 6\}$。
各 $k$ に対して $a$ を計算すると
| $k$ | $-4$ | $0$ | $2$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|
| $a$ | $-\dfrac{-(-64)+6 \cdot 16}{-5} = \dfrac{64+96}{-5}$... | $0$ | $\dfrac{-8+24}{1} = 16$ | $\dfrac{-216+216}{5} = 0$ |
正確に計算すると、$k = -4$ のとき $a = \dfrac{64 + 96}{-5} = -32$、$k = 0$ のとき $a = 0$、$k = 2$ のとき $a = 16$、$k = 6$ のとき $a = 0$。
よって $a = -32,\; 0,\; 16$。
✗ $a$ の値を求めて終わり
✓ 求めた $a$ を元の方程式に代入し、整数解が確かに存在するか検算する
検算：$a = 16$ のとき $x^3 - 6x^2 + 16x - 16 = 0$。$x = 2$ を代入すると $8 - 24 + 32 - 16 = 0$ で確かに成立。
Q1. 実数係数の2次方程式が $3 + 2i$ を解にもつとき、もう1つの解は何か。
Q2. $x^2 - 5x + 7 = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ に対し、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。
Q3. $x^2 + ax + a + 3 = 0$ が異なる2つの実数解をもつための $a$ の条件を求めよ。
Q4. $x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0$ の解をすべて求めよ。（ヒント：$x = 1$ を試せ。）
Q5. 3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ の解が $1, 2, \gamma$ であるとき、$a, b, \gamma$ を求めよ。
実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が $x = 1 + 2i$ を解にもち、もう1つの実数解が $x = 3$ であるとき、定数 $a, b, c$ の値を求めよ。
実数係数なので $x = 1 - 2i$ も解。3つの解は $1+2i,\; 1-2i,\; 3$。
解と係数の関係より
$(1+2i)+(1-2i)+3 = -a$ より $5 = -a$ なので $a = -5$
$(1+2i)(1-2i)+(1-2i)\cdot 3 + 3(1+2i) = b$
$= 5 + (3-6i) + (3+6i) = 11$ なので $b = 11$
$(1+2i)(1-2i)\cdot 3 = -c$ より $5 \cdot 3 = -c$ なので $c = -15$
よって $a = -5,\; b = 11,\; c = -15$
$x^3 - 5x^2 + 11x - 15 = (x - 3)(x^2 - 2x + 5) = 0$
$x^2 - 2x + 5 = 0$ の解は $x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = 1 \pm 2i$ ✓
2次方程式 $x^2 - 2kx + k + 6 = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ がともに $2$ より大きくなるような実数 $k$ の範囲を求めよ。
$f(x) = x^2 - 2kx + k + 6$ とおく。2つの解がともに $2$ より大きい条件は：
(i) 判別式 $D \geq 0$：
$D/4 = k^2 - (k+6) = k^2 - k - 6 = (k-3)(k+2) \geq 0$
$k \leq -2$ または $k \geq 3$ ……①
(ii) 軸 $> 2$：
$k > 2$ ……②
(iii) $f(2) > 0$：
$4 - 4k + k + 6 > 0$ より $-3k + 10 > 0$、$k < \dfrac{10}{3}$ ……③
①②③の共通範囲は $3 \leq k < \dfrac{10}{3}$
$x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\alpha^3 + \beta^3$
(2) $\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}$
(3) $\alpha^5 + \beta^5$
解と係数の関係より $\alpha + \beta = 3$、$\alpha\beta = 1$。
$s_n = \alpha^n + \beta^n$ とおく。$s_1 = 3$。
$s_2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 9 - 2 = 7$
(1) $s_3 = \alpha^3 + \beta^3 = (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) = 27 - 9 = 18$
(2) $\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \dfrac{7}{1} = 7$
(3) $\alpha, \beta$ は $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解なので、$\alpha^2 = 3\alpha - 1$、$\beta^2 = 3\beta - 1$。
漸化式 $s_{n+2} = 3s_{n+1} - s_n$ を用いて
$s_3 = 3 \cdot 7 - 3 = 18$（確認）
$s_4 = 3 \cdot 18 - 7 = 47$
$s_5 = 3 \cdot 47 - 18 = 123$
よって $\alpha^5 + \beta^5 = 123$
$\alpha$ は $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解なので $\alpha^{n+2} = 3\alpha^{n+1} - \alpha^n$。$\beta$ についても同様。辺々加えると $s_{n+2} = 3s_{n+1} - s_n$。この漸化式により任意の $n$ 乗和が順次計算可能です。
実数係数の4次方程式 $x^4 + ax^3 + bx^2 + ax + 1 = 0$ について、次の問いに答えよ。
(1) $x \neq 0$ のとき、$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおいて $t$ の2次方程式に変換せよ。
(2) $a = -3, b = 5$ のとき、もとの方程式のすべての解を求めよ。
(3) もとの方程式が虚数解のみをもつ（実数解をもたない）ための $a, b$ の条件を求めよ。
(1) $x \neq 0$ で両辺を $x^2$ で割ると
$$x^2 + ax + b + \frac{a}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$
$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + a\left(x + \frac{1}{x}\right) + b = 0$$
$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと $t^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ より $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$。代入して
$$t^2 - 2 + at + b = 0 \quad \Longrightarrow \quad t^2 + at + (b - 2) = 0 \quad \cdots (\ast)$$
（なお $x = 0$ は元の方程式の解ではない：代入すると $1 \neq 0$。よってこの変換で解を失わない。）
(2) $a = -3, b = 5$ のとき $(\ast)$ は $t^2 - 3t + 3 = 0$。
判別式 $D = 9 - 12 = -3 < 0$ より $t = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$。
$t = \dfrac{3 + \sqrt{3}\,i}{2}$ のとき $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{3 + \sqrt{3}\,i}{2}$ すなわち
$2x^2 - (3 + \sqrt{3}\,i)x + 2 = 0$
$$x = \frac{(3 + \sqrt{3}\,i) \pm \sqrt{(3+\sqrt{3}\,i)^2 - 16}}{4}$$
$(3+\sqrt{3}\,i)^2 = 9 + 6\sqrt{3}\,i - 3 = 6 + 6\sqrt{3}\,i$ なので
$(3+\sqrt{3}\,i)^2 - 16 = -10 + 6\sqrt{3}\,i$
$t = \dfrac{3 - \sqrt{3}\,i}{2}$ からも同様に $\bar{t}$ の共役な解が得られる。
別解として、元の方程式 $x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 3x + 1 = 0$ を因数分解する。
$(\ast)$ の $t^2 - 3t + 3 = 0$ の2つの解 $t_1, t_2$ に対し $x + \dfrac{1}{x} = t_k$ より $x^2 - t_k x + 1 = 0$。
よって $x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 3x + 1 = (x^2 - t_1 x + 1)(x^2 - t_2 x + 1)$。
$t_1 + t_2 = 3$, $t_1 t_2 = 3$ より展開を確認すると
$= x^4 - (t_1+t_2)x^3 + (t_1 t_2 + 2)x^2 - (t_1+t_2)x + 1 = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ ✓
各2次方程式 $x^2 - t_k x + 1 = 0$ の判別式は $t_k^2 - 4$。$t_k = \dfrac{3 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$ はいずれも虚数なのですべての解は虚数。
実数係数に直すため $(x^2 - t_1 x + 1)(x^2 - t_2 x + 1)$ を実数係数の因数に書き直すと、4つの解はすべて虚数解である。
(3) 元の方程式が実数解をもたない条件を考える。
$t$ の方程式 $t^2 + at + (b-2) = 0$ の解 $t_1, t_2$ を求め、それぞれに対して $x^2 - t_k x + 1 = 0$ が実数解をもたない条件を課す。
$x^2 - tx + 1 = 0$ が実数解をもつ条件は $t$ が実数かつ $t^2 - 4 \geq 0$、すなわち $t \leq -2$ または $t \geq 2$。
したがって、元の方程式が実数解をもたない条件は「$t^2 + at + (b-2) = 0$ の実数解で $|t| \geq 2$ なるものが存在しない」こと。
場合分けすると：
Case A：$t$ の方程式が実数解をもたない場合：$a^2 - 4(b-2) < 0$、すなわち $a^2 - 4b + 8 < 0$。
Case B：$t$ の方程式が実数解 $t_1, t_2$ をもつが、いずれも $|t| < 2$ の場合：
$a^2 - 4b + 8 \geq 0$ かつ $g(2) > 0$ かつ $g(-2) > 0$ かつ $-2 < -\dfrac{a}{2} < 2$（$g(t) = t^2 + at + b - 2$）。
$g(2) = 4 + 2a + b - 2 = 2a + b + 2 > 0$
$g(-2) = 4 - 2a + b - 2 = -2a + b + 2 > 0$
$-2 < -\dfrac{a}{2} < 2$ より $-4 < a < 4$
よって、元の方程式が虚数解のみをもつ条件は
$$a^2 - 4b + 8 < 0 \quad \text{（Case A）}$$
または
$$a^2 - 4b + 8 \geq 0 \;\text{かつ}\; 2a + b + 2 > 0 \;\text{かつ}\; -2a + b + 2 > 0 \;\text{かつ}\; -4 < a < 4 \quad \text{（Case B）}$$