不等式の表す領域（直線）
─ 直線で分けられる平面の「こちら側」と「あちら側」

1領域とは

座標平面上で、ある不等式を満たす点 $(x, y)$ の全体がつくる部分を領域（region）といいます。

例えば、$y > 0$ を満たす点の集まりは $x$ 軸より上の部分全体です。$x < 3$ を満たす点の集まりは直線 $x = 3$ より左の部分全体です。

直線が平面を2つに分ける

直線 $ax + by + c = 0$ は座標平面を2つの半平面（half-plane）に分けます。一方の半平面では $ax + by + c > 0$、もう一方では $ax + by + c < 0$ が成り立ちます。

2直線による領域の判定

$y > f(x)$ 型の判定

直線 $y = f(x)$（例えば $y = 2x + 1$）について考えます。

$ax + by + c > 0$ 型の判定

一般形 $ax + by + c > 0$ の場合、まず $y$ について解いて $y > f(x)$ の形にするか、次の方法を使います。

例：$2x - y + 3 > 0$ の表す領域を求める。

原点 $(0, 0)$ を代入：$2 \cdot 0 - 0 + 3 = 3 > 0$ ✓

したがって、原点を含む側（直線 $2x - y + 3 = 0$ の下側）が求める領域です。

3境界線の扱い（等号の有無）

$\leq$ と $<$ の違い

不等式に等号が含まれるかどうかで、境界線の扱いが変わります。

4連立不等式の表す領域

複数の不等式の共通部分

連立不等式の表す領域は、各不等式の表す領域の共通部分（intersection）です。

例えば、$\begin{cases} y \geq 0 \\ x \geq 0 \\ y \leq -x + 3 \end{cases}$ の表す領域は、3つの領域の共通部分、すなわち三角形 $\mathrm{OAB}$（$\mathrm{O}(0,0)$、$\mathrm{A}(3,0)$、$\mathrm{B}(0,3)$）の内部と周です。

連立不等式の図示手順

1. 各不等式の境界線を描く
2. 各不等式の表す領域を判定する
3. すべての領域の共通部分を斜線等で示す

例：連立不等式 $\begin{cases} x + y \leq 4 \\ x - y \leq 2 \\ x \geq 0 \end{cases}$ の表す領域。

3本の直線 $x + y = 4$、$x - y = 2$、$x = 0$ で囲まれた三角形の内部と周です。

頂点を求めると：$x + y = 4$ と $x - y = 2$ の交点は $(3, 1)$、$x + y = 4$ と $x = 0$ の交点は $(0, 4)$、$x - y = 2$ と $x = 0$ の交点は $(0, -2)$。

5領域の図示の手順

完全な手順まとめ

1. 境界線を描く：等号にした方程式のグラフを描く。等号を含むなら実線、含まないなら破線
2. 領域を判定する：$y > f(x)$ 型なら上側、$y < f(x)$ 型なら下側。一般形ならテスト点を使う
3. 領域を示す：斜線を引くか、領域内に矢印で示す。入試では「斜線部分。ただし境界を含む（含まない）。」と明記

実践例

例：$|x| + |y| \leq 2$ の表す領域を図示せよ。

絶対値を場合分けして4つの不等式に分解します。

• $x \geq 0, y \geq 0$：$x + y \leq 2$
• $x < 0, y \geq 0$：$-x + y \leq 2$
• $x < 0, y < 0$：$-x - y \leq 2$
• $x \geq 0, y < 0$：$x - y \leq 2$

これは頂点 $(2, 0)$、$(0, 2)$、$(-2, 0)$、$(0, -2)$ の正方形（45°回転）の内部と周です。