「$x^2 + y^2 < 9$ を満たす点の集合はどんな図形？」── 円の方程式の不等号を変えるだけで、領域が内側にも外側にもなります。
円と直線の不等式を組み合わせた連立不等式の領域を正確に図示する力を身につけましょう。
前回の直線の不等式と同様に、円の方程式の等号を不等号に変えると、平面上の領域が定まります。円の場合は「内部」と「外部」に分かれます。
中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円の方程式は
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
この左辺 $(x - a)^2 + (y - b)^2$ は、点 $(x, y)$ と中心 $(a, b)$ の距離の2乗を表しています。
$(x - a)^2 + (y - b)^2$ は点 $(x, y)$ と中心 $(a, b)$ の距離の2乗です。したがって、
・$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$ ⇔ 中心からの距離が $r$ より小さい ⇔ 円の内部
・$(x - a)^2 + (y - b)^2 > r^2$ ⇔ 中心からの距離が $r$ より大きい ⇔ 円の外部
円の不等式の意味は「距離と半径の大小比較」に尽きます。
中心 $(a, b)$、半径 $r$ の円 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ について、
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2 \quad \Longrightarrow \quad \text{円の内部（境界を含まない）}$$
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 \leq r^2 \quad \Longrightarrow \quad \text{円の内部（境界を含む）}$$
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 > r^2 \quad \Longrightarrow \quad \text{円の外部（境界を含まない）}$$
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 \geq r^2 \quad \Longrightarrow \quad \text{円の外部（境界を含む）}$$
$\leq$、$\geq$ のとき境界線（円周）を含み、実線で描きます。$<$、$>$ のとき境界線を含まず、破線で描きます。
円の不等式で最も多いミスは、$<$ が内部なのか外部なのかを逆に覚えてしまうことです。
✗ 誤り：$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$ は円の外部
✓ 正しい：$(x - a)^2 + (y - b)^2 < r^2$ は円の内部
迷ったときは中心を代入してみるのが確実です。中心 $(a, b)$ を代入すると左辺 $= 0 < r^2$ なので、中心は $<$ 側の領域に入ります。中心は明らかに円の内部にあるので、$<$ は内部です。
不等式の表す領域を特定するには、テストポイント法が有効です。
例題：$x^2 + y^2 < 4$ の表す領域を図示せよ。
解：境界は原点中心、半径 $2$ の円。テストポイントとして原点 $(0, 0)$ を選ぶと、$0^2 + 0^2 = 0 < 4$（成り立つ）。よって原点を含む側、すなわち円の内部が求める領域。境界は含まないので破線で描く。
例題：$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 \geq 9$ の表す領域を図示せよ。
解：境界は中心 $(1, -2)$、半径 $3$ の円。テストポイントとして中心 $(1, -2)$ を代入すると $0 \geq 9$（成り立たない）。よって中心を含まない側、すなわち円の外部（境界を含む）が求める領域。
複数の不等式を同時に満たす点の集合を、連立不等式の表す領域といいます。これは各不等式の領域の共通部分（積集合）です。
円と直線の不等式を組み合わせることで、円の内部の一部分や、円と半平面が重なる領域など、さまざまな形状の領域が表されます。
例題：次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ y \geq x \end{cases}$$
解：
第1式：原点中心、半径 $2$ の円の内部（境界を含む）
第2式：直線 $y = x$ の上側（境界を含む）
求める領域は、円の内部のうち直線 $y = x$ の上側の部分。半円よりやや広い扇形状の領域で、境界はすべて実線。
連立不等式の領域を正しく図示するには、円と直線の交点を求めておくと便利です。
例題：次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 < 9 \\ x + y > 3 \end{cases}$$
解：
境界の交点を求める。$x^2 + y^2 = 9$ と $x + y = 3$ を連立すると、$y = 3 - x$ を代入して
$$x^2 + (3 - x)^2 = 9 \implies 2x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 3) = 0$$
よって交点は $(0, 3)$、$(3, 0)$。
第1式は原点中心、半径 $3$ の円の内部（破線）。第2式は直線 $x + y = 3$ の右上側（破線）。求める領域は、円の内部かつ直線の右上側にある「弓形」の部分。境界はいずれも含まない。
連立不等式 $\begin{cases} f(x,y) \leq 0 \\ g(x,y) \leq 0 \end{cases}$ の領域は、$f(x,y) \leq 0$ の領域と $g(x,y) \leq 0$ の領域の共通部分です。集合の記号で書くと $A \cap B$ です。
一方、「$f(x,y) \leq 0$ または $g(x,y) \leq 0$」は和集合 $A \cup B$ になります。入試では「または」の領域が問われることもあるので注意しましょう。
同心円（中心が同じ2つの円）の不等式を組み合わせると、環状領域（ドーナツ状の領域）が得られます。
例題：次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 1 \\ x^2 + y^2 \leq 9 \end{cases}$$
解：
第1式：原点中心、半径 $1$ の円の外部（境界を含む）
第2式：原点中心、半径 $3$ の円の内部（境界を含む）
求める領域は、半径 $1$ の円の外部かつ半径 $3$ の円の内部、すなわち2つの同心円に挟まれた環状領域。境界はすべて実線。
これは $1 \leq x^2 + y^2 \leq 9$ と書くこともでき、原点からの距離 $d$ が $1 \leq d \leq 3$ を満たす点の集合です。
中心が異なる2つの円の不等式を組み合わせると、より複雑な領域が現れます。
例題：次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ (x - 2)^2 + y^2 \leq 4 \end{cases}$$
解：
第1式：原点中心、半径 $2$ の円の内部（境界を含む）
第2式：中心 $(2, 0)$、半径 $2$ の円の内部（境界を含む）
2つの円の交点を求める。第2式を展開して第1式を引くと、
$$(x - 2)^2 + y^2 - (x^2 + y^2) = 0 \implies -4x + 4 = 0 \implies x = 1$$
$x = 1$ を第1式に代入すると $1 + y^2 = 4$ より $y = \pm\sqrt{3}$。交点は $(1, \sqrt{3})$、$(1, -\sqrt{3})$。
求める領域は2つの円の内部の共通部分で、レンズ形（そら豆形）の領域になる。
2つの円 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ と $x^2 + y^2 + D'x + E'y + F' = 0$ の交点は、
$$\text{（一方の式）} - \text{（他方の式）} = 0$$
として得られる直線の方程式（共通弦）と、元の円の方程式を連立して求める。
2つの円の式を引くと $x^2$、$y^2$ の項が消え、1次式（直線）が残ります。この直線は2つの円の交点を通る直線（共通弦）です。
直線の不等式と円の不等式を3つ以上組み合わせると、多角形と円弧で囲まれた複雑な領域が現れます。系統的なアプローチが必要です。
例題：次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$
解：
第1式：原点中心、半径 $2$ の円の内部（境界を含む）
第2式：$y$ 軸の右側（$y$ 軸を含む）
第3式：$x$ 軸の上側（$x$ 軸を含む）
求める領域は、原点中心半径 $2$ の円の内部のうち第1象限の部分。四分円（扇形）の領域で、境界はすべて実線。
例題：次の連立不等式の表す領域を図示せよ。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 9 \\ x + y \geq 0 \\ x - y \leq 0 \end{cases}$$
解：
第1式：原点中心、半径 $3$ の円の内部
第2式：直線 $x + y = 0$（すなわち $y = -x$）の上側
第3式：直線 $x - y = 0$（すなわち $y = x$）の上側
2直線 $y = -x$ と $y = x$ の上側の共通部分は、$y \geq |x|$ を満たす領域（$y$ 軸の両側に広がる扇形部分）。円の内部との共通部分は、原点中心半径 $3$ の円の内部で $y \geq |x|$ を満たす扇形。中心角は $90°$（$\frac{\pi}{2}$）で、$y$ 軸方向を向いた扇形の領域になる。
$(x^2 + y^2 - 4)(x + y - 1) \leq 0$ のような形の不等式は、2つの因数の符号の組み合わせを考えます。
積 $\leq 0$ なので、「一方が $\geq 0$ かつ他方が $\leq 0$」の2通りの場合分けが必要です。
$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \geq 0 \\ x + y - 1 \leq 0 \end{cases} \quad \text{または} \quad \begin{cases} x^2 + y^2 - 4 \leq 0 \\ x + y - 1 \geq 0 \end{cases}$$
各連立不等式の領域を求めて和集合をとります。
不等式で定まる領域の面積を求める問題は、入試で頻出です。面積計算では、領域を扇形、三角形、弓形などの基本図形に分解するのがポイントです。
半径 $r$、中心角 $\theta$（ラジアン）の扇形の面積：
$$S_{\text{扇形}} = \frac{1}{2}r^2\theta$$
弓形（扇形 − 三角形）の面積：
$$S_{\text{弓形}} = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)$$
弓形は、扇形から中心角に対応する二等辺三角形を引いた部分です。$\theta$ はラジアンで表します。
例題：連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq r^2 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ の表す領域の面積を求めよ。
解：求める領域は第1象限の四分円。中心角 $\dfrac{\pi}{2}$ の扇形なので、
$$S = \frac{1}{2}r^2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi r^2}{4}$$
例題：連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x + y \geq 2 \end{cases}$ の表す領域の面積を求めよ。
解：円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x + y = 2$ の交点は $(2, 0)$、$(0, 2)$。
中心 $(0, 0)$ から交点への方向は、$(2, 0)$ は $x$ 軸正方向（偏角 $0$）、$(0, 2)$ は $y$ 軸正方向（偏角 $\frac{\pi}{2}$）。
求める領域は弓形（扇形から三角形を引いた部分）。
扇形の面積：$\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi$
三角形 $\mathrm{O}(0,0)$-$(2,0)$-$(0,2)$ の面積：$\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
$$S = \pi - 2$$
例題：2つの円 $x^2 + y^2 \leq 4$ と $(x - 2)^2 + y^2 \leq 4$ の共通部分の面積を求めよ。
解：交点は $(1, \sqrt{3})$、$(1, -\sqrt{3})$（セクション3で計算済み）。
各円について、交点を結ぶ弦に対する弓形の面積を求めて合計する。
第1の円（中心 $O(0,0)$、半径 $2$）について：中心から2つの交点への方向は偏角 $\frac{\pi}{3}$ と $-\frac{\pi}{3}$。中心角は $\frac{2\pi}{3}$。
弓形の面積：$\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \left(\dfrac{2\pi}{3} - \sin\dfrac{2\pi}{3}\right) = 2\left(\dfrac{2\pi}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = \dfrac{4\pi}{3} - \sqrt{3}$
第2の円（中心 $(2,0)$、半径 $2$）も対称性から同じ面積の弓形。
$$S = 2\left(\frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}\right) = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$$
複雑な領域の面積は、直接求めるのが難しい場合、次の戦略が有効です。
分割法：領域を扇形・三角形・弓形に分割してそれぞれ面積を求める。
差分法：大きい図形の面積から、不要な部分の面積を引く。例えば「円の面積 − 弓形の面積」など。
対称性の利用：領域が対称な場合、半分の面積を求めて2倍する。
Q1. 不等式 $x^2 + y^2 < 16$ の表す領域を言葉で説明せよ。
Q2. 不等式 $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \geq 25$ の表す領域を言葉で説明せよ。
Q3. 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 9 \\ y \geq 0 \end{cases}$ の表す領域はどのような形か。
Q4. 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x^2 + y^2 \geq 1 \end{cases}$ の表す領域の面積を求めよ。
Q5. 連立不等式 $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ の表す領域の面積を求めよ。
次の不等式または連立不等式の表す領域を図示せよ。
(1) $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 < 9$
(2) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 16 \\ y \leq x \end{cases}$
(3) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 25 \\ x^2 + y^2 \geq 4 \end{cases}$
(1) 中心 $(-1, 2)$、半径 $3$ の円の内部。境界は含まないので破線。
(2) 原点中心、半径 $4$ の円の内部（境界を含む）のうち、直線 $y = x$ の下側（境界を含む）の領域。円と直線の交点は $(2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$、$(-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$。
(3) 原点中心の半径 $2$ と半径 $5$ の2つの同心円に挟まれた環状領域。両方の境界を含む。面積は $25\pi - 4\pi = 21\pi$。
連立不等式
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ x + y \geq 2 \end{cases}$$
の表す領域を $D$ とする。
(1) 領域 $D$ を図示せよ。
(2) 領域 $D$ の面積を求めよ。
(1) 円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $x + y = 2$ の交点を求める。$y = 2 - x$ を代入すると
$$x^2 + (2 - x)^2 = 4 \implies 2x^2 - 4x = 0 \implies x = 0, 2$$
交点は $(0, 2)$、$(2, 0)$。領域 $D$ は、円の内部かつ直線の上側にある弓形の領域。境界はすべて実線。
(2) 中心 $O(0,0)$ と交点 $(2,0)$、$(0,2)$ について、$\vec{OA} = (2, 0)$、$\vec{OB} = (0, 2)$ のなす角は $\dfrac{\pi}{2}$。
扇形 $OAB$ の面積：$\dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot \dfrac{\pi}{2} = \pi$
三角形 $OAB$ の面積：$\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
弓形の面積：$S = \pi - 2$
弓形の面積は「扇形 − 三角形」で求めます。中心角を正しく求めることがポイントです。交点の座標から偏角を計算すると、$A(2,0)$ の偏角は $0$、$B(0,2)$ の偏角は $\frac{\pi}{2}$ なので中心角は $\frac{\pi}{2}$ です。
連立不等式
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ (x - 1)^2 + y^2 \geq 1 \\ x \geq 0 \end{cases}$$
の表す領域を図示し、その面積を求めよ。
第1式：原点中心、半径 $2$ の円の内部（境界を含む）
第2式：中心 $(1, 0)$、半径 $1$ の円の外部（境界を含む）
第3式：$y$ 軸の右側（$y$ 軸を含む）
2つの円の交点を求める。$(x-1)^2 + y^2 = 1$ を展開すると $x^2 - 2x + 1 + y^2 = 1$、すなわち $x^2 + y^2 = 2x$。$x^2 + y^2 = 4$ と連立すると $2x = 4$ より $x = 2$。$x = 2$ を代入すると $y = 0$。2つの円の交点は $(2, 0)$ のみ（外接）。
求める領域は、大きい円（半径 $2$）の右半分から、小さい円（半径 $1$、中心 $(1,0)$）の内部を除いた領域。
面積：半円の面積から小さい円の面積を引く。
$$S = \frac{1}{2}\pi \cdot 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 2\pi - \pi = \pi$$
2つの円の位置関係を把握することが重要です。大きい円の中心 $(0,0)$ から小さい円の中心 $(1,0)$ までの距離は $1$ で、小さい円の半径と等しいので、小さい円は大きい円に内接します。小さい円は大きい円の右半分の内部にすっぽり収まっているため、面積は単純な引き算で求まります。
$a$ を正の実数とする。連立不等式
$$\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4a^2 \\ (x - a)^2 + y^2 \leq a^2 \\ (x + a)^2 + y^2 \leq a^2 \end{cases}$$
を考える。
(1) 第2式と第3式の表す2つの円の交点を求めよ。
(2) この連立不等式を満たす点 $(x, y)$ が存在するための $a$ の条件を求めよ。
(3) (2)の条件が成り立つとき、連立不等式の表す領域の面積を $a$ で表せ。
(1) 第2式と第3式を展開すると
第2式：$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = 2ax$
第3式：$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = -2ax$
辺々を引くと $0 = 4ax$。$a > 0$ より $x = 0$。$x = 0$ を第2式に代入すると $y^2 = 0$ より $y = 0$。
よって交点は原点 $(0, 0)$ のみ。（2つの円は原点で外接する。）
(2) 第2式の円は中心 $(a, 0)$、半径 $a$。第3式の円は中心 $(-a, 0)$、半径 $a$。2つの円の共通部分は原点 $(0, 0)$ のみ。
第1式の条件 $x^2 + y^2 \leq 4a^2$ は原点で $0 \leq 4a^2$（$a > 0$ で常に成立）。
第2式と第3式を同時に満たす点は原点のみなので、連立不等式を満たす点が存在するのは常に成り立つ。ただし面積が正の領域として存在するかを問うなら、2つの小円の共通部分が原点のみなので面積は $0$ となる。
したがって、点として存在するための条件は $a > 0$（すべての正の $a$）。
(3) 第2式と第3式の共通部分は原点のみ（1点集合）なので、面積は $0$。
中心が $(a, 0)$ と $(-a, 0)$ でともに半径 $a$ の2つの円は、中心間の距離が $2a$ で半径の和と等しいため外接します。共通部分が1点のみとなるため、3つの不等式すべてを満たす「面積のある領域」は存在しません。
この問題は、連立不等式の共通部分が空集合や1点になりうることを理解する発展問題です。複数の条件を組み合わせるときは、まず2つの円の位置関係（交わる・接する・離れている）を確認し、共通部分の有無を判定しましょう。