実数の範囲では「これ以上分解できない」とされた式も、複素数の範囲なら必ず1次式の積に分解できます。
判別式と解の公式を武器に、因数分解の「完全版」をマスターしましょう。
これまでの因数分解では、$x^2 + 1$ のような式は「これ以上因数分解できない」と扱ってきました。実際、$x^2 + 1 = 0$ を満たす実数 $x$ は存在しないため、実数の範囲では1次式の積に分解できません。
しかし複素数を使えば話は変わります。$x^2 + 1 = 0$ の解は $x = \pm i$ ですから、
$$x^2 + 1 = (x + i)(x - i)$$
と因数分解できるのです。
実数の範囲での因数分解は「途中まで」の分解に過ぎません。複素数の範囲では、任意の2次式が必ず1次式の積に分解できます。これは代数学の基本定理の帰結であり、$n$ 次多項式が複素数の範囲で $n$ 個の1次式の積に分解できることの最も基本的なケースです。
因数分解の「完全版」を手に入れることで、方程式・不等式・式の変形の見通しが格段に良くなります。
| 2次式 | 実数範囲 | 複素数範囲 |
|---|---|---|
| $x^2 - 4$ | $(x+2)(x-2)$ | $(x+2)(x-2)$ |
| $x^2 - 3$ | $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$ | $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$ |
| $x^2 + 1$ | 因数分解できない | $(x+i)(x-i)$ |
| $x^2 + x + 1$ | 因数分解できない | $\left(x - \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}\right)\left(x - \dfrac{-1-\sqrt{3}\,i}{2}\right)$ |
「因数分解できない」という表現は常に「どの範囲で」という条件付きです。有理数の範囲では $x^2 - 3$ は因数分解できませんが、実数の範囲では $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$ と分解できます。同様に、実数の範囲で因数分解できない式も複素数の範囲なら分解可能です。問題文で「因数分解せよ」とあるとき、特に断りがなければ有理数の範囲を指すことが多いですが、「複素数の範囲で因数分解せよ」という指定には注意しましょう。
複素数範囲での因数分解は、解の公式で解を求め、それを使って因数分解するという手順で行います。
$ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると
$$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$$
この公式は判別式 $D$ の符号によらず、常に成り立ちます。$D \geq 0$ のときは $\alpha, \beta$ が実数、$D < 0$ のときは $\alpha, \beta$ が複素数（共役な虚数）になるだけです。
例：$x^2 + 2x + 5$ を複素数の範囲で因数分解する。
Step 1：解の公式で解を求める。
$$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$
Step 2：解 $\alpha = -1 + 2i$, $\beta = -1 - 2i$ を代入する。
$$x^2 + 2x + 5 = \{x - (-1+2i)\}\{x - (-1-2i)\} = (x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i)$$
$(x + 1 - 2i)(x + 1 + 2i)$
$= \{(x+1) - 2i\}\{(x+1) + 2i\}$
$= (x+1)^2 - (2i)^2$（和と差の積の公式）
$= x^2 + 2x + 1 - 4i^2$
$= x^2 + 2x + 1 + 4 = x^2 + 2x + 5$ ■
✗ $2x^2 + 2x + 1 = (x - \alpha)(x - \beta)$
✓ $2x^2 + 2x + 1 = 2(x - \alpha)(x - \beta)$
$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ の先頭の $a$ を忘れないこと。$x^2$ の係数が $1$ でないときは特に注意が必要です。
例：$2x^2 - 4x + 6$ を複素数の範囲で因数分解する。
まず共通因数をくくり出す：$2x^2 - 4x + 6 = 2(x^2 - 2x + 3)$
$x^2 - 2x + 3 = 0$ を解く：
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}\,i}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\,i$$
よって
$$2x^2 - 4x + 6 = 2(x - 1 - \sqrt{2}\,i)(x - 1 + \sqrt{2}\,i)$$
いくつかの重要な2次式には、覚えておくべき因数分解の公式があります。
$$x^2 + a^2 = (x + ai)(x - ai)$$
実数の範囲での「和と差の積」$x^2 - a^2 = (x+a)(x-a)$ の類似形です。$-a^2$ を $(ai)^2$ と見ることで、差の形に帰着しています。
この公式は $x^2 + a^2 = x^2 - (ai)^2 = (x + ai)(x - ai)$ と、$(ai)^2 = a^2 i^2 = -a^2$ を利用して導かれます。
$$x^2 + x + 1 = \left(x - \frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}\right)\left(x - \frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}\right)$$
$\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ とおくと
$$x^2 + x + 1 = (x - \omega)(x - \bar{\omega})$$
この $\omega$ は $\omega^3 = 1$ を満たす数（1の3乗根）であり、今後繰り返し登場する重要な複素数です。
$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解である。$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$ より、$x^2 + x + 1 = 0$ の解は $x^3 = 1$ を満たす。
実際に計算すると、$\omega^2 + \omega + 1 = 0$ つまり $\omega^2 = -\omega - 1$ であるから
$\omega^3 = \omega \cdot \omega^2 = \omega(-\omega - 1) = -\omega^2 - \omega = -(-\omega - 1) - \omega = \omega + 1 - \omega = 1$ ■
$\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ は以下の重要な性質をもちます。
（1）$\omega^3 = 1$（1の原始3乗根）
（2）$1 + \omega + \omega^2 = 0$（3乗根の和は $0$）
（3）$\bar{\omega} = \omega^2$（共役複素数が $\omega^2$）
これらの性質は高次方程式や整数問題で強力な道具となります。
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ を使えば、$\omega$ を含む式の計算が大幅に簡略化されます。例えば $(1 + \omega)(1 + \omega^2)$ は
$= 1 + \omega^2 + \omega + \omega^3 = (1 + \omega + \omega^2) + \omega^3 = 0 + 1 = 1$
のように、展開後に $1 + \omega + \omega^2 = 0$ でまとめると即座に答えが出ます。
$ax^2 + bx + c$（$a, b, c$ は有理数、$a \neq 0$）の因数分解が「どの範囲でできるか」は、判別式 $D = b^2 - 4ac$ の値で完全に分類できます。
$D > 0$ かつ $D$ が完全平方数：有理数の範囲で因数分解可能
$D > 0$ かつ $D$ が完全平方数でない：実数の範囲で因数分解可能（有理数の範囲では不可能）
$D = 0$：完全平方式 $a(x - \alpha)^2$（重解）
$D < 0$：複素数の範囲でのみ因数分解可能
$a, b, c$ が有理数のとき、解 $\alpha, \beta$ が有理数なら有理数の範囲で因数分解でき、無理数なら実数範囲、虚数なら複素数範囲での因数分解になります。
| 2次式 | $D$ | 解 | 因数分解 |
|---|---|---|---|
| $x^2 - 5x + 6$ | $1 > 0$（完全平方） | $2, 3$ | $(x-2)(x-3)$（有理数範囲） |
| $x^2 - 3$ | $12 > 0$ | $\pm\sqrt{3}$ | $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$（実数範囲） |
| $x^2 - 6x + 9$ | $0$ | $3$（重解） | $(x-3)^2$（完全平方式） |
| $x^2 + 2x + 5$ | $-16 < 0$ | $-1 \pm 2i$ | $(x+1-2i)(x+1+2i)$（複素数範囲） |
✗ $D > 0$ ならば整数係数で因数分解できる
✓ $D > 0$ かつ $D$ が完全平方数のとき、有理数係数で因数分解できる
例えば $x^2 - 2$ は $D = 8 > 0$ ですが、解は $\pm\sqrt{2}$ なので有理数の範囲では因数分解できません。「$D > 0$」と「有理数で因数分解可能」は別の条件です。
実数の範囲でこれ以上因数分解できない多項式を既約多項式といいます。実数係数の2次式 $ax^2 + bx + c$ が実数範囲で既約であるための必要十分条件は $D < 0$ です。
しかし複素数の範囲まで広げれば、2次以上の既約多項式は存在しません。すべての多項式は1次式の積に分解できます。これが代数学の基本定理の意味するところです。
$D = b^2 - 4ac$ の符号判定では、$b^2$ と $4ac$ の大小を比べます。$ac > 0$（$a$ と $c$ が同符号）のとき $4ac > 0$ なので、$b^2$ が小さければ $D < 0$ になりやすいです。特に $b = 0$ で $ac > 0$ なら $D = -4ac < 0$ が確定します。
2次式の因数分解は、高次式を分解するための基本的な道具です。高次多項式を因数分解する際にも、最終的には2次式の因数分解に帰着させることが多くなります。
例：$x^4 + x^2 + 1$ を因数分解する。
$t = x^2$ とおくと $t^2 + t + 1$ となり、これは複素数範囲で $(t - \omega)(t - \omega^2)$ と分解できます。ここで実数の範囲での分解を考えると、
$$x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2$$
$$= (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$$
$x^2 + x + 1$ と $x^2 - x + 1$ はいずれも $D < 0$ なので実数範囲で既約です。複素数範囲でさらに分解すると
$$x^4 + x^2 + 1 = (x - \omega)(x - \bar{\omega})(x + \omega)(x + \bar{\omega})$$
のように4つの1次式の積になります。
実数係数の多項式は、実数の範囲で
$$\text{（1次式の積）} \times \text{（$D < 0$ の2次式の積）}$$
の形に因数分解される。複素数の範囲ではすべてが1次式の積になる。
実数係数の多項式の虚数解は共役なペアで現れるため、2つの共役虚数解に対応する1次式のペアを掛け合わせると実数係数の2次式になります。
$\alpha = p + qi$, $\bar{\alpha} = p - qi$（$p, q$ は実数）が方程式の解のとき
$(x - \alpha)(x - \bar{\alpha}) = \{x - (p+qi)\}\{x - (p-qi)\}$
$= (x - p)^2 - (qi)^2 = (x-p)^2 + q^2$
$= x^2 - 2px + p^2 + q^2$
これは実数係数の2次式です。■
複素数の範囲では、$n$ 次多項式は（重複を込めて）ちょうど $n$ 個の解をもち、$n$ 個の1次式の積に分解できます。これを代数学の基本定理といい、ガウスによって証明されました。
$$a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 = a_n(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \cdots (x - \alpha_n)$$
複素数体は「代数的に閉じている」とも表現されます。これは、複素数をさらに拡張する必要がないという、数学における非常に美しい完結性を意味します。
有理数の範囲での既約多項式は無限に存在します（例：$x^2 + 1$, $x^2 - 2$, $x^3 - 2$, $x^4 + 1$ など）。実数の範囲では1次式と $D < 0$ の2次式のみが既約です。そして複素数の範囲では1次式のみが既約です。「どの数の範囲で考えるか」によって既約多項式の姿は大きく変わります。この視点は大学の代数学（環論・体論）の中心的テーマとなります。
Q1. $x^2 + 9$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
Q2. $x^2 - 4x + 13$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
Q3. $x^2 + x + 1 = 0$ の2つの解を $\omega, \bar{\omega}$ とするとき、$\omega^2 + \bar{\omega}^2$ の値を求めよ。
Q4. $2x^2 + 6x + 5$ を複素数の範囲で因数分解せよ。
Q5. $x^2 - 2x + k$ が複素数の範囲でのみ因数分解可能（実数範囲では既約）となる $k$ の範囲を求めよ。
次の2次式を複素数の範囲で因数分解せよ。
(1) $x^2 + 16$
(2) $x^2 + 6x + 13$
(3) $3x^2 - 6x + 12$
(1) $x^2 + 16 = x^2 - (4i)^2 = (x + 4i)(x - 4i)$
(2) $D = 36 - 52 = -16$ より $x = \dfrac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i$
$x^2 + 6x + 13 = (x + 3 - 2i)(x + 3 + 2i)$
(3) $3x^2 - 6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)$
$D = 4 - 16 = -12$ より $x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{3}\,i}{2} = 1 \pm \sqrt{3}\,i$
$3x^2 - 6x + 12 = 3(x - 1 - \sqrt{3}\,i)(x - 1 + \sqrt{3}\,i)$
$\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ とする。次の値を求めよ。
(1) $\omega^3$
(2) $\omega^4 + \omega^2 + 1$
(3) $(1 - \omega)(1 - \omega^2)$
$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解であるから $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ かつ $\omega^3 = 1$。
(1) $\omega^3 = 1$
(2) $\omega^4 + \omega^2 + 1 = \omega^3 \cdot \omega + \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$
(3) $(1 - \omega)(1 - \omega^2) = 1 - \omega^2 - \omega + \omega^3 = 1 - (\omega^2 + \omega) + 1$
$\omega^2 + \omega = -1$ より $= 1 - (-1) + 1 = 3$
$x^4 + 4$ を次のそれぞれの範囲で因数分解せよ。
(1) 整数の範囲
(2) 複素数の範囲
(1) $x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2$
$= (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$
各因子の判別式はともに $D = 4 - 8 = -4 < 0$ なので、整数（有理数）の範囲でこれ以上分解できない。
(2) $x^2 + 2x + 2 = 0$ より $x = -1 \pm i$
$x^2 - 2x + 2 = 0$ より $x = 1 \pm i$
$$x^4 + 4 = (x + 1 + i)(x + 1 - i)(x - 1 + i)(x - 1 - i)$$
(1) で用いた変形 $a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 + 2ab)(a^2 + 2b^2 - 2ab)$ はソフィー・ジェルマン恒等式と呼ばれ、整数論でも活用される重要な公式です（ここでは $a = x$, $b = 1$）。
$a$ を実数の定数とする。$x$ についての2次式 $f(x) = x^2 + ax + a + 3$ について、以下の問いに答えよ。
(1) $f(x)$ が完全平方式となる $a$ の値を求めよ。
(2) $f(x)$ が有理数の範囲で（$x$ の1次式の積に）因数分解できる整数 $a$ をすべて求めよ。
(3) $f(x)$ が実数の範囲で因数分解できない（既約となる）$a$ の値の範囲を求めよ。
$f(x) = x^2 + ax + a + 3$ の判別式は
$$D = a^2 - 4(a + 3) = a^2 - 4a - 12 = (a-6)(a+2)$$
(1) 完全平方式となるのは $D = 0$ のときであるから
$(a - 6)(a + 2) = 0$ より $a = 6$ または $a = -2$
$a = 6$ のとき $f(x) = x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
$a = -2$ のとき $f(x) = x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
(2) 有理数の範囲で因数分解できるには $D \geq 0$ かつ $D$ が完全平方数であることが必要十分。
$D = (a-6)(a+2) = a^2 - 4a - 12$ とおく。$D \geq 0$ より $a \leq -2$ または $a \geq 6$。
$D = a^2 - 4a - 12 = (a-2)^2 - 16$ とおくと、$a - 2 = m$ とすれば $D = m^2 - 16$。
$D = k^2$（$k \geq 0$, 整数）とおくと $m^2 - k^2 = 16$ より $(m+k)(m-k) = 16$。
$m + k$ と $m - k$ は同じ偶奇であり、積が偶数なのでともに偶数。$m + k = 2s$, $m - k = 2t$ とおくと $4st = 16$ より $st = 4$。
$(s, t)$ の組は $(s > 0, t > 0, s \geq t)$ のもとで $(4, 1), (2, 2)$ および $s, t$ がともに負の場合 $(-1, -4), (-2, -2)$。
$m = s + t$, $a = m + 2$ より
$(s, t) = (4,1)$: $m = 5$, $a = 7$, $D = 9$, $f(x) = (x+1)(x+7)$ ✓
$(s, t) = (2,2)$: $m = 4$, $a = 6$, $D = 0$, $f(x) = (x+3)^2$ ✓
$(s, t) = (-1,-4)$: $m = -5$, $a = -3$, $D = 9$, $f(x) = (x+3)(x-3) \cdots$ 検算：$x^2 - 3x + 0$。$f(x) = x^2 - 3x + 0$ ではなく $f(x) = x^2 - 3x + 0$。
実際に確認する。$a = -3$: $f(x) = x^2 - 3x + 0 = x(x - 3)$ ✓
$(s, t) = (-2,-2)$: $m = -4$, $a = -2$, $D = 0$, $f(x) = (x-1)^2$ ✓
また $(s, t) = (1, 4)$: $m = 5$ で上と同じ。$(s, t) = (-4, -1)$: $m = -5$ で上と同じ。
さらに $s$ と $t$ が異符号の場合を確認。$st = 4 > 0$ なので $s, t$ は同符号。
よって $a = -3, -2, 6, 7$
(3) 実数範囲で因数分解できない（既約）のは $D < 0$ のとき。
$(a - 6)(a + 2) < 0$ より $-2 < a < 6$