2つの2次方程式が共通の解をもつ条件を調べるには、「連立方程式として扱う」という視点が鍵になります。
辺々引いて次数を下げるテクニックを中心に、終結式による判定や入試頻出のパラメータ問題まで体系的に学びましょう。
2つの方程式 $f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ がともに $x = \alpha$ を解にもつとき、$\alpha$ を2つの方程式の共通解といいます。
2つの方程式 $f(x) = 0$、$g(x) = 0$ について、
$$f(\alpha) = 0 \quad \text{かつ} \quad g(\alpha) = 0$$
を満たす $\alpha$ が存在するとき、$\alpha$ を共通解という。
共通解とは、2つの方程式を「連立方程式」とみなしたときの解のことです。
共通解 $\alpha$ の存在条件や具体的な値を求めるための基本戦略は、辺々引いて次数を下げる消去法です。
2つの2次方程式
$$f(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0 \quad \cdots (1)$$
$$g(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0 \quad \cdots (2)$$
が共通解 $\alpha$ をもつとき、$f(\alpha) = 0$ かつ $g(\alpha) = 0$ なので、
$$f(\alpha) - g(\alpha) = 0$$
が成り立ちます。この差をとることで $\alpha^2$ の項が消える（または係数が小さくなる）ため、1次方程式に帰着させることができます。
連立1次方程式でも、2つの式を引いて変数を消去しますね。それと同じ発想です。$f(\alpha) = 0$ と $g(\alpha) = 0$ は「$\alpha$ についての連立方程式」なので、辺々引くことで未知数 $\alpha$ について次数の低い方程式を導き、解きやすくするのです。
これは多項式の世界でのユークリッドの互除法と同じ原理であり、代数学の基本的な手法です。
✗ 共通解があるならば、2つの方程式は同じである
✓ 共通解が1つあっても、もう1つの解は異なる場合がある
例えば $x^2 - 3x + 2 = 0$（解：$1, 2$）と $x^2 - 4x + 3 = 0$（解：$1, 3$）は共通解 $x = 1$ をもちますが、方程式としてはまったく別のものです。
具体的な手順を、例題を通して確認しましょう。
Step 1：$f(\alpha) = 0$ と $g(\alpha) = 0$ を書き下す
Step 2：辺々引いて $\alpha^2$ を消去し、$\alpha$ の1次式を得る
Step 3：得られた $\alpha$ の値をどちらかの式に代入して検証する
$x^2$ の係数が異なるときは、係数を揃えてから引きます。
例題：$x^2 - 3x + 2 = 0 \cdots (1)$ と $x^2 - 5x + 6 = 0 \cdots (2)$ の共通解を求めよ。
解法：共通解を $\alpha$ とすると
$$\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0 \quad \cdots (1)'$$
$$\alpha^2 - 5\alpha + 6 = 0 \quad \cdots (2)'$$
$(1)' - (2)'$ より
$$2\alpha - 4 = 0 \quad \therefore \alpha = 2$$
検証：$(1)$ に $\alpha = 2$ を代入すると $4 - 6 + 2 = 0$ で成立。$(2)$ に代入すると $4 - 10 + 6 = 0$ で成立。
よって、共通解は $x = 2$。
例題：$x^2 + x - 6 = 0 \cdots (1)$ と $2x^2 + 3x - 9 = 0 \cdots (2)$ の共通解を求めよ。
解法：共通解を $\alpha$ とする。$(1) \times 2 - (2)$ より
$$(2\alpha^2 + 2\alpha - 12) - (2\alpha^2 + 3\alpha - 9) = 0$$
$$-\alpha - 3 = 0 \quad \therefore \alpha = -3$$
検証：$(1)$ に $\alpha = -3$ を代入すると $9 - 3 - 6 = 0$ で成立。$(2)$ に代入すると $18 - 9 - 9 = 0$ で成立。
よって、共通解は $x = -3$。
✗ 辺々引いて $\alpha$ の値を出したら終わり
✓ 求めた $\alpha$ が元の2つの方程式をともに満たすことを必ず確認する
辺々引く操作は同値変形ではないため、得られた値が実際に共通解であるとは限りません。特にパラメータを含む問題では、検証を省略すると誤答になります。
例：$x^2 - 4x + 3 = 0$（解：$1, 3$）と $x^2 - 6x + 8 = 0$（解：$2, 4$）を考えます。
辺々引くと $2x - 5 = 0$ より $x = \dfrac{5}{2}$。しかし $(1)$ に代入すると $\dfrac{25}{4} - 10 + 3 = -\dfrac{3}{4} \neq 0$。
したがって共通解は存在しません。検証が重要であることがわかります。
それぞれの方程式が簡単に因数分解できる場合は、先に解の集合を求めてから共通部分をとる方法も有効です。例えば $x^2 - 3x + 2 = 0$ の解は $\{1, 2\}$、$x^2 - 5x + 6 = 0$ の解は $\{2, 3\}$ なので、共通解は $x = 2$ とすぐにわかります。
2つの方程式が共通解をもつかどうかを、方程式を直接解かずに判定する方法があります。それが終結式（Resultant）です。
2つの方程式
$$x^2 + bx + c = 0 \quad \cdots (1)$$
$$x^2 + px + q = 0 \quad \cdots (2)$$
が共通解 $\alpha$ をもつとします。$(1) - (2)$ より
$$(b - p)\alpha + (c - q) = 0$$
$b \neq p$ のとき、$\alpha = \dfrac{q - c}{b - p}$ です。これを $(1)$ に代入すると
$$\left(\frac{q - c}{b - p}\right)^2 + b \cdot \frac{q - c}{b - p} + c = 0$$
$(b - p)^2$ を掛けて整理すると
$$(q - c)^2 + b(q - c)(b - p) + c(b - p)^2 = 0$$
$x^2 + bx + c = 0$ と $x^2 + px + q = 0$ が共通解をもつための条件は
$b = p$ のとき：$c = q$（2つの方程式が一致）
$b \neq p$ のとき：$(q - c)^2 + b(q - c)(b - p) + c(b - p)^2 = 0$
この条件式が終結式（を定数倍したもの）に相当します。
一般の $f(x) = a_1 x^2 + b_1 x + c_1$、$g(x) = a_2 x^2 + b_2 x + c_2$ に対し、終結式は次の行列式で定義されます。
$$\text{Res}(f, g) = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & 0 \\ 0 & a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & 0 \\ 0 & a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix}$$
$\text{Res}(f, g) = 0 \iff f(x) = 0$ と $g(x) = 0$ が共通解をもつ
高校範囲を超えますが、「辺々引いて代入する」プロセスを行列式でまとめたものと理解しましょう。
終結式は「辺々引いて $\alpha$ を求め、元の式に代入し、$\alpha$ が実際に解であるための条件」を一つの式にまとめたものです。つまり、共通解の存在判定を1つの等式に帰着させるための道具です。
入試では終結式を直接使うことは稀ですが、辺々引いて代入するプロセスそのものは頻出です。終結式はその計算を体系化したものと考えましょう。
$f(x) = x^2 - 3x + 2$、$g(x) = x^2 - 5x + 6$ について終結式を計算してみましょう。
$b = -3,\; c = 2,\; p = -5,\; q = 6$ として
$$(q-c)^2 + b(q-c)(b-p) + c(b-p)^2$$
$$= 4^2 + (-3)(4)(2) + 2 \cdot 2^2 = 16 - 24 + 8 = 0$$
終結式 $= 0$ なので共通解が存在します（実際、$x = 2$ が共通解です）。
終結式は代数幾何学や計算機代数で重要な概念です。2つの多項式の最大公約多項式（GCD）が定数でないことと、終結式が $0$ になることは同値です。これは多項式の世界での「互いに素」の判定に対応します。
2つの2次方程式がともに同じ2つの解をもつ場合を考えます。
2つの2次方程式 $a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0$ と $a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0$（$a_1, a_2 \neq 0$）が同じ2つの解をもつための必要十分条件は
$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$$
すなわち、一方が他方の定数倍であること。
2次方程式の解は（重解を含めて）ちょうど2つです。$a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = 0$ の2つの解 $\alpha, \beta$ がともに $a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = 0$ の解でもあるとします。
このとき
$$a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = a_1(x - \alpha)(x - \beta)$$
$$a_2 x^2 + b_2 x + c_2 = a_2(x - \alpha)(x - \beta)$$
よって
$$a_1 x^2 + b_1 x + c_1 = \frac{a_1}{a_2}(a_2 x^2 + b_2 x + c_2)$$
すなわち一方は他方の定数倍です。逆に定数倍の関係にあれば明らかに同じ解をもちます。
✗ $x^2 - 3x + 2 = 0$ と $2x^2 - 6x + 4 = 0$ は係数が違うから、共通解は1つだけ
✓ $2x^2 - 6x + 4 = 2(x^2 - 3x + 2)$ なので定数倍の関係にあり、解 $x = 1, 2$ はすべて共通
見た目の係数が異なっていても、定数倍の関係にある方程式は本質的に同じです。
2つの2次方程式が同じ2つの解をもつとき、$x^2$ の係数を揃えてから辺々引くと $0 = 0$（恒等的に成立）となります。この場合は辺々引く方法では情報が得られないため、別の方法（解と係数の関係など）を用いる必要があります。
入試では「2つの方程式が少なくとも1つの共通解をもつ条件」を求める問題が圧倒的に多く、「2つの共通解をもつ条件」は比率条件 $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$ を使えば即座に処理できます。
入試で最も頻出なのは、パラメータ（定数 $a$ や $k$ など）を含む2つの方程式が共通解をもつ条件を求める問題です。
Step 1：共通解を $\alpha$ とおき、$f(\alpha) = 0$、$g(\alpha) = 0$ を書く
Step 2：辺々引いて $\alpha$ について解く（$\alpha$ をパラメータで表す）
Step 3：得られた $\alpha$ を元の式に代入してパラメータの条件を求める
Step 4：求めた条件下で実際に共通解が存在するか検証する
例題：2つの方程式 $x^2 + ax + 2 = 0 \cdots (1)$ と $x^2 + 2x + a = 0 \cdots (2)$ が共通解をもつとき、定数 $a$ の値と共通解を求めよ。
解法：共通解を $\alpha$ とおくと
$$\alpha^2 + a\alpha + 2 = 0 \quad \cdots (1)'$$
$$\alpha^2 + 2\alpha + a = 0 \quad \cdots (2)'$$
$(1)' - (2)'$ より
$$(a - 2)\alpha + (2 - a) = 0$$
$$(a - 2)(\alpha - 1) = 0$$
よって $a = 2$ または $\alpha = 1$。
場合1：$a = 2$ のとき
$(1), (2)$ はともに $x^2 + 2x + 2 = 0$ となり、解は $x = -1 \pm i$。
2つの方程式は一致するので、共通解は $x = -1 + i,\; -1 - i$。
場合2：$\alpha = 1$ のとき
$(1)'$ に $\alpha = 1$ を代入：$1 + a + 2 = 0$ より $a = -3$。
検証：$a = -3$ のとき $(1)$ は $x^2 - 3x + 2 = 0$ で解は $x = 1, 2$。$(2)$ は $x^2 + 2x - 3 = 0$ で解は $x = 1, -3$。確かに $x = 1$ が共通解。
よって、$a = 2$（共通解 $x = -1 \pm i$）または $a = -3$（共通解 $x = 1$）。
共通解問題の本質は、$f(\alpha) = 0$ と $g(\alpha) = 0$ を$\alpha$ とパラメータ $a$ の連立方程式として捉えることです。未知数が $\alpha$ と $a$ の2つ、方程式が2つなので、原理的に解くことができます。
「辺々引く」とは、この連立方程式から $\alpha^2$ を消去する操作に他なりません。
✗ $(a - 2)(\alpha - 1) = 0$ から $\alpha = 1$ だけを採用する
✓ $a = 2$ の場合と $\alpha = 1$ の場合の両方を検討する
$(a - 2)(\alpha - 1) = 0$ は「$a = 2$ または $\alpha = 1$」を意味します。$a = 2$ のケースを見落とすと減点されます。
問題文に「実数の範囲で」と指定がなければ、複素数の範囲での共通解も含みます。上の例で $a = 2$ の場合、共通解は虚数 $-1 \pm i$ ですが、これも立派な共通解です。問題の指定をよく読みましょう。
Q1. $x^2 - 5x + 6 = 0$ と $x^2 - 7x + 12 = 0$ の共通解を求めよ。
Q2. $x^2 + 3x + 1 = 0$ と $2x^2 + 5x + 1 = 0$ について共通解が存在するか調べよ。
Q3. $x^2 + bx + c = 0$ と $x^2 + px + q = 0$ が共通解をもつとき（$b \neq p$）、その共通解を $b, c, p, q$ で表せ。
Q4. $3x^2 - 6x + 3 = 0$ と $x^2 - 2x + 1 = 0$ の共通解の個数を答えよ。
Q5. $x^2 + ax + 2 = 0$ と $x^2 + 2x + a = 0$ が共通解をもつための $a$ の値をすべて求めよ。
次の2組の2次方程式について、共通解があればそれを求めよ。なければ「なし」と答えよ。
(1) $x^2 + x - 6 = 0$ と $x^2 - x - 2 = 0$
(2) $x^2 - 4x + 3 = 0$ と $x^2 - 6x + 8 = 0$
(1) 辺々引くと $2x - 4 = 0$ より $x = 2$。
検証：$(1)$ に $x = 2$：$4 + 2 - 6 = 0$ で成立。$(2)$ に $x = 2$：$4 - 2 - 2 = 0$ で成立。
よって、共通解は $x = 2$。
(2) 辺々引くと $2x - 5 = 0$ より $x = \dfrac{5}{2}$。
検証：$(1)$ に $x = \dfrac{5}{2}$：$\dfrac{25}{4} - 10 + 3 = -\dfrac{3}{4} \neq 0$。
よって、共通解はなし。
2つの方程式 $x^2 + ax + b = 0 \cdots (1)$ と $x^2 + bx + a = 0 \cdots (2)$ が共通解をもつとき、次の問いに答えよ。ただし $a, b$ は実数とする。
(1) $a \neq b$ のとき、共通解と $a + b$ の値を求めよ。
(2) $a, b$ が満たすべき条件をすべて求めよ。
(1) 共通解を $\alpha$ とおく。$(1) - (2)$ より
$(a - b)\alpha + (b - a) = 0$ すなわち $(a - b)(\alpha - 1) = 0$
$a \neq b$ より $\alpha - 1 = 0$ ゆえに $\alpha = 1$。よって共通解は $x = 1$。
$\alpha = 1$ を $(1)$ に代入して $1 + a + b = 0$ より $a + b = -1$。
(2)
$a \neq b$ のとき：上より $a + b = -1$ かつ $a \neq b$。
$a = b$ のとき：$(1)$ と $(2)$ は同じ方程式 $x^2 + ax + a = 0$ となる。実数解をもつには判別式 $\geq 0$ が必要なので
$a^2 - 4a \geq 0$ すなわち $a(a - 4) \geq 0$ より $a \leq 0$ または $a \geq 4$。
（複素数の範囲の共通解も認めるなら、$a = b$ であれば常に共通解が存在する。）
よって、$a + b = -1$（$a \neq b$）、または $a = b \leq 0$、または $a = b \geq 4$。
$k$ を実数の定数とする。2つの方程式
$$x^2 - kx + k + 1 = 0 \quad \cdots (1)$$
$$x^2 + (k-4)x + (5-k) = 0 \quad \cdots (2)$$
が共通の実数解をもつように、$k$ の値を定めよ。また、そのときの共通解を求めよ。
共通解を $\alpha$ とおく。$(1) - (2)$ より
$(-k - k + 4)\alpha + (k + 1 - 5 + k) = 0$
$(-2k + 4)\alpha + (2k - 4) = 0$
$-2(k - 2)\alpha + 2(k - 2) = 0$
$(k - 2)(1 - \alpha) = 0 \quad \cdots (*)$
ゆえに $k = 2$ または $\alpha = 1$。
場合1：$k = 2$ のとき
$(1)$：$x^2 - 2x + 3 = 0$。判別式 $= 4 - 12 = -8 < 0$ より実数解なし。不適。
場合2：$\alpha = 1$ のとき
$(1)$ に $\alpha = 1$ を代入：$1 - k + k + 1 = 2 \neq 0$。
$\alpha = 1$ は $(1)$ を満たさないので不適。
以上より、共通の実数解をもつような $k$ の値は存在しない。
この問題のように「共通解が存在しない」という結論になる場合もあります。辺々引いた結果を鵜呑みにせず、必ず検証することの重要性がわかります。$\alpha = 1$ が$(1)$を満たさないことを確認するのが決定的です。
$a$ を実数の定数とする。2つの方程式
$$x^2 + 2x + a = 0 \quad \cdots (1)$$
$$x^2 + ax + 2 = 0 \quad \cdots (2)$$
について、次の問いに答えよ。
(1) 2つの方程式が共通解をもつとき、$a$ の値と共通解をすべて求めよ。
(2) 2つの方程式がともに実数解をもち、かつ共通の実数解をもつとき、$a$ の値を求めよ。
(3) (2) のとき、4つの解（重複を含む）をすべて求めよ。
(1) 共通解を $\alpha$ とおく。$(1) - (2)$ より
$(2 - a)\alpha + (a - 2) = 0$ すなわち $(2 - a)(\alpha - 1) = 0$
ゆえに $a = 2$ または $\alpha = 1$。
[ i ] $a = 2$ のとき：$(1), (2)$ はともに $x^2 + 2x + 2 = 0$。解は $x = -1 \pm i$。
共通解は $x = -1 + i,\; -1 - i$。
[ ii ] $\alpha = 1$ のとき：$(1)$ に代入して $1 + 2 + a = 0$ より $a = -3$。
検証：$a = -3$ のとき $(1)$：$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1) = 0$ で解 $x = -3, 1$。$(2)$：$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$ で解 $x = 1, 2$。共通解は $x = 1$。
よって $a = 2$（共通解 $-1 \pm i$）、$a = -3$（共通解 $1$）。
(2) (1) の結果から
$a = 2$ のとき：$(1)$ の判別式 $= 4 - 8 = -4 < 0$ より実数解をもたない。不適。
$a = -3$ のとき：$(1)$ の解 $x = 1, -3$（実数）、$(2)$ の解 $x = 1, 2$（実数）。ともに実数解をもつ。
よって $a = -3$。
(3) $a = -3$ のとき
$(1)$ の解：$x = 1,\; -3$
$(2)$ の解：$x = 1,\; 2$
4つの解は $x = -3,\; 1,\; 1,\; 2$（$x = 1$ が共通解として重複）。
この問題は Section 5 の典型例題と同じ方程式ですが、小問に分かれていることで段階的に考えやすくなっています。(1) で場合分けの全体像を把握し、(2) で実数条件による絞り込み、(3) で具体的な解の列挙という流れは、入試でも頻出の構成です。