2次方程式の解 $\alpha, \beta$ が具体的にわからなくても、$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ さえ知っていれば、$\alpha^2 + \beta^2$ や $\alpha^3 + \beta^3$ など様々な式の値を計算できます。
この「解かずに求める」技法は、入試で極めて頻出のテーマです。
2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、解と係数の関係から
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$
が成り立ちます。この $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を使って、$\alpha, \beta$ を含む様々な式の値を求めるのがこの節のテーマです。
$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えても値が変わらない式を、$\alpha, \beta$ の対称式という。
すなわち、$f(\alpha, \beta) = f(\beta, \alpha)$ が成り立つ式 $f$ が対称式である。
例：$\alpha + \beta$, $\alpha\beta$, $\alpha^2 + \beta^2$, $\alpha^3 + \beta^3$ は対称式。$\alpha - \beta$, $\alpha^2 - \beta^2$ は対称式ではない。
$\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ を基本対称式という。
対称式の基本定理：$\alpha, \beta$ の任意の対称式は、基本対称式 $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の多項式として表すことができる。
つまり、どんなに複雑な対称式でも $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ だけで書けるということです。
$\alpha, \beta$ は $t^2 - (\alpha + \beta)t + \alpha\beta = 0$ の解です。つまり $\alpha$ と $\beta$ の情報は $\alpha + \beta$ と $\alpha\beta$ の2つの値に完全に凝縮されています。個々の解の値は不要で、この2つの量だけで $\alpha, \beta$ に関する対称的な量はすべて決まるのです。
与えられた式が対称式かどうかは、$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えてみればわかります。
| 式 | 入れ替え後 | 対称式？ |
|---|---|---|
| $\alpha^2 + \beta^2$ | $\beta^2 + \alpha^2$（同じ） | 対称式 |
| $\alpha^2\beta + \alpha\beta^2$ | $\beta^2\alpha + \beta\alpha^2$（同じ） | 対称式 |
| $\alpha - \beta$ | $\beta - \alpha$（符号が変わる） | 対称式ではない |
| $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ | $\dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\alpha}$（同じ） | 対称式 |
頻出の対称式を基本対称式 $s = \alpha + \beta$, $p = \alpha\beta$ で表す公式をまとめます。
2乗の和：$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = s^2 - 2p$
3乗の和：$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = s^3 - 3ps$
逆数の和：$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{s}{p}$
逆数の2乗の和：$\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \dfrac{s^2 - 2p}{p^2}$
差の2乗：$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = s^2 - 4p$
いずれも恒等式の変形だけで導けます。丸暗記ではなく、導出できるようにしましょう。
$(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2$ を変形すると
$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$$
左辺の $\alpha^2 + \beta^2$ は直接計算できないが、右辺の $(\alpha + \beta)^2$ と $\alpha\beta$ は解と係数の関係で既知。■
因数分解公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を使うと
$$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2)$$
$$= (\alpha + \beta)\{(\alpha^2 + \beta^2) - \alpha\beta\}$$
$$= (\alpha + \beta)\{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta - \alpha\beta\}$$
$$= (\alpha + \beta)\{(\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta\}$$
$$= (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$$
最後の式は展開しても確認できます。■
例題：$x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の値を求めよ。
解と係数の関係より $\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 3$ である。
(1) $\alpha^2 + \beta^2$
$$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19$$
(2) $\alpha^3 + \beta^3$
$$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = 5^3 - 3 \cdot 3 \cdot 5 = 125 - 45 = 80$$
(3) $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$
$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{5}{3}$$
(4) $\dfrac{\beta}{\alpha} + \dfrac{\alpha}{\beta}$
$$\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{19}{3}$$
対称式を基本対称式で表すときの基本方針は「和と積に分解する」です。分数の場合は通分して分子・分母をそれぞれ対称式に帰着させます。複雑な式でも、$\alpha^2 + \beta^2$ を経由して段階的に変換するのがコツです。
$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えると符号が変わる式を交代式といいます。$\alpha - \beta$ や $\alpha^2 - \beta^2$ が代表例です。
差の2乗：
$$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = s^2 - 4p$$
差の絶対値：
$$|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha - \beta)^2} = \sqrt{s^2 - 4p}$$
$(\alpha - \beta)^2$ は対称式であることに注意。$\alpha - \beta$ 自体は対称式ではないが、2乗すると対称式になります。
$(\alpha - \beta)^2 = \alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = (\alpha^2 + \beta^2) - 2\alpha\beta$
$= \{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta\} - 2\alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ ■
✗ $\alpha - \beta = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}$（符号が不定なのに正と決めている）
✓ $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta}$（絶対値をつける）
$\alpha$ と $\beta$ のどちらが大きいかは一般にはわからないので、$\alpha - \beta$ の値は確定しません。確定するのは $(\alpha - \beta)^2$ と $|\alpha - \beta|$ です。$\alpha > \beta$ などの条件が与えられている場合のみ $\alpha - \beta > 0$ とわかり、$\alpha - \beta = \sqrt{s^2 - 4p}$ と書けます。
任意の交代式は $(\alpha - \beta)$ と対称式の積で表されます。
例：$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta)$
例：$\alpha^3 - \beta^3 = (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) = (\alpha - \beta)\{(\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta\}$
例題：$x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$（$\alpha > \beta$）とするとき、$\alpha - \beta$ と $\alpha^2 - \beta^2$ を求めよ。
解と係数の関係より $\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = 1$。
$$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 9 - 4 = 5$$
$\alpha > \beta$ より $\alpha - \beta > 0$ なので
$$\alpha - \beta = \sqrt{5}$$
$$\alpha^2 - \beta^2 = (\alpha + \beta)(\alpha - \beta) = 3\sqrt{5}$$
$ax^2 + bx + c = 0$ の判別式 $D = b^2 - 4ac$ と $(\alpha - \beta)^2$ には
$$(\alpha - \beta)^2 = \frac{D}{a^2}$$
という関係があります。$D > 0$ のとき異なる2実数解をもち、$|\alpha - \beta| = \frac{\sqrt{D}}{|a|}$ です。
解と係数の関係を「逆向き」に使うと、2数 $\alpha, \beta$ を解にもつ2次方程式を作ることができます。
2数 $\alpha, \beta$ を解にもつ $x$ の2次方程式の1つは
$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$
すなわち
$$x^2 - (\text{2解の和})x + (\text{2解の積}) = 0$$
この式は $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$ を展開したものに他なりません。
$(x - \alpha)(x - \beta) = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
この方程式の解は明らかに $x = \alpha, \beta$ である。■
例1：$3 + \sqrt{2}$ と $3 - \sqrt{2}$ を2つの解にもつ2次方程式を作れ。
和：$(3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$
積：$(3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7$
$$x^2 - 6x + 7 = 0$$
例2：$x^2 - 5x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2, \beta^2$ を2つの解にもつ2次方程式を作れ。
$\alpha + \beta = 5$, $\alpha\beta = 3$ より
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 25 - 6 = 19$
$\alpha^2 \cdot \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 9$
よって求める方程式は
$$x^2 - 19x + 9 = 0$$
$\alpha^2, \beta^2$ を解にもつ方程式を作るとき、$\alpha, \beta$ を個別に求めてから2乗する必要はありません。必要なのは $\alpha^2 + \beta^2$（新しい解の和）と $\alpha^2\beta^2$（新しい解の積）だけです。この「個々の値を求めずに全体の性質を把握する」発想は、数学全般で重要です。
「和が $s$、積が $p$ である2数を求めよ」という問題は、$t^2 - st + p = 0$ を解くことに帰着します。
例：和が $7$、積が $10$ である2数を求めよ。
$t^2 - 7t + 10 = 0$ を解くと $(t - 2)(t - 5) = 0$ より $t = 2, 5$。
よって求める2数は $2$ と $5$。
✗ 和が $1$、積が $3$ の2つの実数が存在する
✓ $t^2 - t + 3 = 0$ の判別式 $D = 1 - 12 = -11 < 0$ なので、そのような2つの実数は存在しない
和と積から2数を求めるとき、対応する2次方程式の判別式が $D \geq 0$ でないと実数解は得られません。
$\alpha^n + \beta^n$ のように $n$ 乗の和を系統的に計算する方法を学びます。これは大学入試の頻出テーマでもあります。
$S_n = \alpha^n + \beta^n$ とおくと、次の漸化式が成り立つ。
$$S_n = (\alpha + \beta)\,S_{n-1} - \alpha\beta\,S_{n-2} \quad (n \geq 2)$$
初期値は $S_0 = 2$, $S_1 = \alpha + \beta$ である。
$s = \alpha + \beta$, $p = \alpha\beta$ とおくと $S_n = s \cdot S_{n-1} - p \cdot S_{n-2}$ です。
$\alpha, \beta$ は $t^2 - st + p = 0$（$s = \alpha + \beta$, $p = \alpha\beta$）の解なので
$$\alpha^2 = s\alpha - p, \quad \beta^2 = s\beta - p$$
$\alpha^n = \alpha^{n-2} \cdot \alpha^2 = \alpha^{n-2}(s\alpha - p) = s\alpha^{n-1} - p\alpha^{n-2}$
同様に $\beta^n = s\beta^{n-1} - p\beta^{n-2}$
辺々加えて
$$\alpha^n + \beta^n = s(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1}) - p(\alpha^{n-2} + \beta^{n-2})$$
$$S_n = s \cdot S_{n-1} - p \cdot S_{n-2} \quad \text{■}$$
例題：$x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$S_5 = \alpha^5 + \beta^5$ を求めよ。
$s = \alpha + \beta = 3$, $p = \alpha\beta = 1$ より、漸化式は $S_n = 3S_{n-1} - S_{n-2}$。
| $n$ | $S_n = \alpha^n + \beta^n$ | 計算 |
|---|---|---|
| $0$ | $2$ | $\alpha^0 + \beta^0 = 1 + 1$ |
| $1$ | $3$ | $\alpha + \beta = 3$ |
| $2$ | $7$ | $3 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 7$ |
| $3$ | $18$ | $3 \cdot 7 - 1 \cdot 3 = 18$ |
| $4$ | $47$ | $3 \cdot 18 - 1 \cdot 7 = 47$ |
| $5$ | $123$ | $3 \cdot 47 - 1 \cdot 18 = 123$ |
よって $\alpha^5 + \beta^5 = 123$。
漸化式 $S_n = s \cdot S_{n-1} - p \cdot S_{n-2}$ の特性方程式は $t^2 - st + p = 0$ であり、これは $\alpha, \beta$ を解にもつ元の2次方程式に他なりません。つまり、$S_n$ の漸化式は元の方程式から自然に導かれるものです。大学数学では線形代数の固有値問題として一般化されます。
$x^2 - 3x + 1 = 0$ の解は $\alpha = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$, $\beta = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ です。$\alpha \approx 2.618$, $\beta \approx 0.382$ なので $S_5 \approx 2.618^5 + 0.382^5 \approx 122.99 + 0.008 \approx 123$ と確認できます。
$T_n = \dfrac{1}{\alpha^n} + \dfrac{1}{\beta^n} = \dfrac{S_n}{(\alpha\beta)^n} = \dfrac{S_n}{p^n}$ なので、$S_n$ が求まれば $T_n$ も直ちに得られます。
上の例では $p = 1$ なので $T_n = S_n$ となり、$\dfrac{1}{\alpha^5} + \dfrac{1}{\beta^5} = 123$ です。
Q1. $x^2 - 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ の値を求めよ。
Q2. $x^2 + 3x - 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ の値を求めよ。
Q3. $x^2 - 6x + 7 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$|\alpha - \beta|$ の値を求めよ。
Q4. 和が $5$、積が $-3$ である2数を解にもつ2次方程式を $x$ の式で書け。
Q5. $x^2 - 2x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。
$x^2 - 7x + 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の式の値を求めよ。
(1) $\alpha^2 + \beta^2$
(2) $(\alpha - \beta)^2$
(3) $\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}$
解と係数の関係より $\alpha + \beta = 7$, $\alpha\beta = 5$
(1) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 49 - 10 = 39$
(2) $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 49 - 20 = 29$
(3) $\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \dfrac{39}{5}$
$x^2 + 2x - 5 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^3 + \beta^3$ および $\alpha^4 + \beta^4$ の値を求めよ。
解と係数の関係より $\alpha + \beta = -2$, $\alpha\beta = -5$
$\alpha^2 + \beta^2 = (-2)^2 - 2 \cdot (-5) = 4 + 10 = 14$
$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (-2)^3 - 3 \cdot (-5) \cdot (-2) = -8 - 30 = -38$
$\alpha^4 + \beta^4$ は $(\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2$ で求める。
$\alpha^4 + \beta^4 = 14^2 - 2 \cdot (-5)^2 = 196 - 50 = 146$
$S_n = \alpha^n + \beta^n$ とおくと $S_n = -2S_{n-1} + 5S_{n-2}$
$S_0 = 2$, $S_1 = -2$, $S_2 = 14$
$S_3 = -2 \cdot 14 + 5 \cdot (-2) = -28 - 10 = -38$
$S_4 = -2 \cdot (-38) + 5 \cdot 14 = 76 + 70 = 146$
$x^2 - 3x + 4 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とする。
(1) $\alpha^2, \beta^2$ を2つの解にもつ2次方程式を1つ作れ。
(2) $\dfrac{1}{\alpha}, \dfrac{1}{\beta}$ を2つの解にもつ2次方程式を1つ作れ。
解と係数の関係より $\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = 4$
(1) 新しい解の和と積を求める。
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 9 - 8 = 1$
$\alpha^2 \cdot \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 16$
よって $x^2 - x + 16 = 0$
(2) 新しい解の和と積を求める。
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \dfrac{3}{4}$
$\dfrac{1}{\alpha} \cdot \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{1}{\alpha\beta} = \dfrac{1}{4}$
よって $x^2 - \dfrac{3}{4}x + \dfrac{1}{4} = 0$ すなわち $4x^2 - 3x + 1 = 0$
(1) で判別式 $D = 1 - 64 = -63 < 0$ なので $\alpha^2, \beta^2$ は虚数です。元の方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ も $D = 9 - 16 = -7 < 0$ なので $\alpha, \beta$ が虚数であることと整合しています。
$x^2 - 3x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^6 + \beta^6$ の値を求めよ。
解と係数の関係より $\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = 1$
方法1：漸化式による逐次計算
$S_n = \alpha^n + \beta^n$ とおくと $S_n = 3S_{n-1} - S_{n-2}$
$S_0 = 2$, $S_1 = 3$
$S_2 = 3 \cdot 3 - 2 = 7$
$S_3 = 3 \cdot 7 - 3 = 18$
$S_4 = 3 \cdot 18 - 7 = 47$
$S_5 = 3 \cdot 47 - 18 = 123$
$S_6 = 3 \cdot 123 - 47 = 322$
よって $\alpha^6 + \beta^6 = 322$
$\alpha^3 + \beta^3 = 18$ を利用する。
$\alpha^6 + \beta^6 = (\alpha^3 + \beta^3)^2 - 2(\alpha\beta)^3 = 18^2 - 2 \cdot 1^3 = 324 - 2 = 322$
この方法では、$\alpha^2 + \beta^2$ の公式の「3乗版」として $\alpha^6 + \beta^6 = (\alpha^3 + \beta^3)^2 - 2(\alpha^3\beta^3)$ を利用しています。$\alpha^{2k} + \beta^{2k} = (\alpha^k + \beta^k)^2 - 2(\alpha\beta)^k$ は汎用性の高い公式です。