方程式の解を実際に求めなくても、解の和や積がわかる──
この強力な道具は、方程式の問題を劇的に効率化します。
$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}$$
特に $x^2 + px + q = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について $\alpha + \beta = -p$、$\alpha\beta = q$
$ax^2 + bx + c = 0$ の2解が $\alpha, \beta$ なら、$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できます。右辺を展開すると
$$a(x - \alpha)(x - \beta) = a\{x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\}$$
$ax^2 + bx + c$ と係数を比較すれば、$b = -a(\alpha+\beta)$、$c = a\alpha\beta$ が得られます。これが解と係数の関係の正体です。
$x^2 + px + q = 0$ の形に注目すれば、和 = $-p$（$x$ の係数の符号反転）、積 = $q$（定数項そのまま）です。分数を避けたいなら、$x^2$ の係数を $1$ にしてから考えましょう。
✗ $x^2 - 5x + 6 = 0$ の解の和は $-5$
✓ $x^2 - 5x + 6 = 0$ の解の和は $-(-5) = 5$
$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$ なので、$x$ の係数にマイナスをつけます。$b = -5$ のとき $\alpha+\beta = -(-5) = 5$ です。実際に $2 + 3 = 5$ と一致します。
$\alpha = \dfrac{-b + \sqrt{D}}{2a}$、$\beta = \dfrac{-b - \sqrt{D}}{2a}$（$D = b^2 - 4ac$）とすると
$$\alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{D} + (-b) - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$$
$$\alpha\beta = \frac{(-b + \sqrt{D})(-b - \sqrt{D})}{(2a)^2} = \frac{b^2 - D}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$$
$\alpha, \beta$ が $ax^2 + bx + c = 0$ の解なので
$$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = ax^2 - a(\alpha+\beta)x + a\alpha\beta$$
係数を比較して $b = -a(\alpha+\beta)$、$c = a\alpha\beta$
$\therefore \alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$、$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ ■
解の公式からの導出は計算で確認する方法です。一方、因数分解からの導出は解と係数の関係の意味を直接示しています。「$n$ 次方程式は $n$ 個の1次因数に分解できる」という視点は、3次以上の解と係数の関係を理解する際にも役立ちます。
解と係数の関係の最大の威力は、解の個々の値を求めなくても $\alpha, \beta$ の式の値が計算できることです。
$s = \alpha + \beta$、$p = \alpha\beta$ とおくと
$\alpha^2 + \beta^2 = s^2 - 2p$
$(\alpha - \beta)^2 = s^2 - 4p$
$\alpha^3 + \beta^3 = s^3 - 3sp$
$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} = \dfrac{s}{p}$（$p \neq 0$）
$\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha} = \dfrac{s^2 - 2p}{p}$（$p \neq 0$）
例：$2x^2 - 3x + 4 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求めよ。
$s = \alpha + \beta = \dfrac{3}{2}$、$p = \alpha\beta = 2$
$\alpha^2 + \beta^2 = s^2 - 2p = \dfrac{9}{4} - 4 = -\dfrac{7}{4}$
$\alpha^3 + \beta^3 = s^3 - 3sp = \dfrac{27}{8} - 3 \cdot \dfrac{3}{2} \cdot 2 = \dfrac{27}{8} - 9 = -\dfrac{45}{8}$
$\alpha, \beta$ を入れ替えても値が変わらない式を対称式と呼びます。対称式の基本定理により、$\alpha, \beta$ のすべての対称式は $s = \alpha + \beta$ と $p = \alpha\beta$ の多項式として表されます。つまり、解と係数の関係さえ分かれば、あらゆる対称式の値が計算できるのです。
✗ $\alpha^2 + \beta^2 = -\dfrac{7}{4}$ は負だからおかしい！
✓ $\alpha, \beta$ が虚数（複素数）なら $\alpha^2 + \beta^2$ は負になり得る
$\alpha, \beta$ が実数なら $\alpha^2 + \beta^2 \geq 0$ ですが、虚数の場合はこの限りではありません。上の例では $D = 9 - 32 < 0$ なので $\alpha, \beta$ は虚数であり、$\alpha^2 + \beta^2 < 0$ は正しい結果です。
解と係数の関係を使うと、方程式を解かずに解の符号や大きさを判定できます。
$ax^2 + bx + c = 0$（$a > 0$）の2つの実数解 $\alpha, \beta$ について
ともに正：$D \geq 0$、$\alpha+\beta > 0$、$\alpha\beta > 0$
ともに負：$D \geq 0$、$\alpha+\beta < 0$、$\alpha\beta > 0$
異符号：$\alpha\beta < 0$（$D > 0$ は自動的に成立）
例：$x^2 - (a+1)x + a + 4 = 0$ が異なる2つの正の実数解をもつ条件を求めよ。
$D = (a+1)^2 - 4(a+4) = a^2 - 2a - 15 = (a-5)(a+3) > 0$ …①
$\alpha + \beta = a+1 > 0$ …②
$\alpha\beta = a+4 > 0$ …③
① より $a < -3$ または $a > 5$
② より $a > -1$
③ より $a > -4$
①②③の共通範囲：$a > 5$
「$\alpha, \beta$ を解にもつ2次方程式を作れ」という逆方向の問題もよく出ます。
$\alpha, \beta$ を解にもつ $x^2$ の係数が $1$ の2次方程式は
$$x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$$
例：$3 + 2i$ と $3 - 2i$ を解にもつ実数係数の2次方程式を求めよ。
$\alpha + \beta = 6$、$\alpha\beta = (3+2i)(3-2i) = 9 + 4 = 13$
$x^2 - 6x + 13 = 0$
解と係数の関係は、2次式の因数分解と表裏一体の関係にあります。
$ax^2 + bx + c = 0$ の2解が $\alpha, \beta$ のとき
$$ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$$
この「解 → 因数分解」の流れは、整数の因数分解が困難な場合に解の公式と組み合わせて使います。
例：$2x^2 - 3x - 1$ を因数分解せよ。
$x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \dfrac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$
$$2x^2 - 3x - 1 = 2\left(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4}\right)\left(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4}\right)$$
解と係数の関係は $n$ 次方程式にも一般化されます。$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$ の解を $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ とすると
$\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n = -\dfrac{a_{n-1}}{a_n}$
$\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n = (-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}$
さらに、$k$ 個ずつの積の和（第 $k$ 基本対称式 $e_k$）が係数と結びつきます。これはフランスの数学者ヴィエタ（Vieta）にちなんでヴィエタの公式と呼ばれています。
Q1. $x^2 - 7x + 12 = 0$ の2解の和と積を求めよ。
Q2. $3x^2 + 5x - 2 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta}$ を求めよ。
Q3. 2数 $1+\sqrt{2}, 1-\sqrt{2}$ を解にもつ $x^2$ の係数が $1$ の2次方程式を求めよ。
Q4. $x^2 - 5x + 3 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2$ を求めよ。
Q5. $x^2 + ax + a + 3 = 0$ の2解がともに正であるような $a$ の範囲を求めよ。
$x^2 - 4x + 7 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\alpha^2 + \beta^2$
(2) $\alpha^3 + \beta^3$
(3) $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2}$
$\alpha + \beta = 4$、$\alpha\beta = 7$
(1) $\alpha^2 + \beta^2 = 4^2 - 2 \cdot 7 = 2$
(2) $\alpha^3 + \beta^3 = 4^3 - 3 \cdot 4 \cdot 7 = 64 - 84 = -20$
(3) $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} = \dfrac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \dfrac{2}{49}$
$x^2 - 3x + 1 = 0$ の2解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha^5 + \beta^5$ の値を求めよ。
$s = 3, p = 1$ とおく。$S_n = \alpha^n + \beta^n$ の漸化式 $S_n = sS_{n-1} - pS_{n-2}$ を用いる。
$S_1 = 3$
$S_2 = 9 - 2 = 7$
$S_3 = 3 \cdot 7 - 3 = 18$
$S_4 = 3 \cdot 18 - 7 = 47$
$S_5 = 3 \cdot 47 - 18 = 123$
$\alpha^2 = 3\alpha - 1$ より $\alpha^n = 3\alpha^{n-1} - \alpha^{n-2}$。$\beta$ も同様。両式を足して $S_n = 3S_{n-1} - S_{n-2}$。
2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $\alpha, \alpha^2$（$\alpha$ は実数）であるとき、実数 $a, b$ の組をすべて求めよ。
解と係数の関係より $\alpha + \alpha^2 = -a$ …①、$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = b$ …②
$\alpha$ は $x^2 + ax + b = 0$ の解なので $\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ …③
$\alpha^2$ も解なので $\alpha^4 + a\alpha^2 + b = 0$ …④
④−③：$\alpha^4 - \alpha^2 + a(\alpha^2 - \alpha) = 0$
$(\alpha^2 - \alpha)(\alpha^2 + \alpha + a) = 0$、すなわち $\alpha(\alpha-1)(\alpha^2+\alpha+a) = 0$
$\alpha = 0$：①より $a = 0$、②より $b = 0$。方程式は $x^2 = 0$（重解 $0$）。$\alpha^2 = 0 = \alpha$ ✓
$\alpha = 1$：①より $a = -2$、②より $b = 1$。方程式は $x^2 - 2x + 1 = 0$（重解 $1$）。$\alpha^2 = 1 = \alpha$ ✓
$\alpha^2 + \alpha + a = 0$：①より $a = -\alpha - \alpha^2$ を代入して $\alpha^2 + \alpha - \alpha - \alpha^2 = 0$（恒等的に成立）。
したがって任意の $\alpha$ に対して $a = -\alpha-\alpha^2$, $b = \alpha^3$。ここで $\alpha \neq 0, 1$（上と重複）として $a = -\alpha(1+\alpha)$, $b = \alpha^3$ が解。
例：$\alpha = -1$ のとき $a = 0, b = -1$。方程式 $x^2 - 1 = 0$ の解は $\pm 1$、$\alpha = -1, \alpha^2 = 1$ ✓
$(a, b) = (0, 0), (-2, 1)$、および $a = -\alpha(1+\alpha), b = \alpha^3$（$\alpha \neq 0, 1$）
実数係数の2次方程式 $x^2 + px + q = 0$ の一つの解が $\alpha = 2 + i$ であるとき、$p, q$ の値を求め、$\alpha^4 + \beta^4$ の値を求めよ。
実数係数の方程式なので、$\alpha = 2+i$ が解なら $\beta = \bar{\alpha} = 2-i$ も解。
$\alpha + \beta = 4 = -p$ より $p = -4$
$\alpha\beta = (2+i)(2-i) = 5 = q$ より $q = 5$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 16 - 10 = 6$
$\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2 = 36 - 50 = -14$