実数係数の方程式では、虚数解は必ず共役なペアで現れます。
この強力な性質を武器に、高次方程式の因数分解や解の構造を完全に見抜く方法を身につけましょう。
実数係数の多項式方程式において、虚数解が一つ見つかれば、その共役複素数も必ず解になります。この「共役解定理」は、高次方程式を分析するうえで最も基本的な道具です。
$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$（$a_0, a_1, \ldots, a_n$ はすべて実数）とする。
虚数 $\alpha$ が $P(\alpha) = 0$ を満たすならば、共役複素数 $\bar{\alpha}$ も $P(\bar{\alpha}) = 0$ を満たす。
つまり、実数係数の方程式の虚数解は、必ず共役なペアで現れる。
この定理の証明は、共役複素数の演算に関する基本性質に基づきます。
共役複素数について、次の性質が成り立つ（既習）。
$$\overline{z + w} = \bar{z} + \bar{w}, \quad \overline{z \cdot w} = \bar{z} \cdot \bar{w}, \quad \overline{c} = c \;(\text{$c$ が実数のとき})$$
これらを繰り返し適用する。$a_k$ が実数であることから $\overline{a_k} = a_k$ に注意すると
$$\overline{a_k \alpha^k} = \overline{a_k} \cdot \overline{\alpha^k} = a_k \cdot \bar{\alpha}^k$$
したがって
$$\overline{P(\alpha)} = \overline{a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_0}$$
$$= a_n \bar{\alpha}^n + a_{n-1} \bar{\alpha}^{n-1} + \cdots + a_0 = P(\bar{\alpha})$$
$P(\alpha) = 0$ のとき $\overline{P(\alpha)} = \bar{0} = 0$ であるから
$$P(\bar{\alpha}) = \overline{P(\alpha)} = 0$$
よって $\bar{\alpha}$ も $P(x) = 0$ の解である。■
証明の要は $\overline{a_k} = a_k$ という部分です。これは係数 $a_k$ が実数のときにのみ成り立ちます。もし係数に虚数が含まれると、$\overline{a_k \alpha^k} = a_k \bar{\alpha}^k$ が成り立たなくなり、定理は崩れます。
例えば、$x - i = 0$ は $x = i$ を解にもちますが、$x = \bar{i} = -i$ は解ではありません。これは係数に $i$（虚数）が含まれているためです。
✗ $x^2 - ix - 1 = 0$ の解の一つが $\alpha$ なら $\bar{\alpha}$ も解（係数が虚数なので不可）
✓ 共役解定理は「すべての係数が実数」のときにのみ成立する
問題文に「実数係数」と明記されているか、係数がすべて実数であることを必ず確認してください。
一つの虚数解が分かれば、共役解定理から共役な解も分かります。この2解から2次式の因数を作り、方程式全体を復元することができます。
$\alpha = p + qi$（$p, q$ は実数、$q \neq 0$）が実数係数方程式の解のとき、$\bar{\alpha} = p - qi$ も解であり
$$(x - \alpha)(x - \bar{\alpha}) = x^2 - (\alpha + \bar{\alpha})x + \alpha \bar{\alpha} = x^2 - 2px + (p^2 + q^2)$$
$\alpha + \bar{\alpha} = 2\,\text{Re}(\alpha) = 2p$、$\alpha \bar{\alpha} = |\alpha|^2 = p^2 + q^2$ を使っています。この2次式は実数係数です。
例題：実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ が $x = 1 + 2i$ を解にもつとき、もう一つの実数解が $x = -3$ であるとして、$a, b, c$ の値を求めよ。
解法：実数係数なので $x = 1 - 2i$ も解。この2解から2次因数を作ると
$$(x - (1+2i))(x - (1-2i)) = x^2 - 2x + 5$$
残りの実数解が $x = -3$ なので
$$x^3 + ax^2 + bx + c = (x^2 - 2x + 5)(x + 3)$$
右辺を展開すると
$$= x^3 + 3x^2 - 2x^2 - 6x + 5x + 15 = x^3 + x^2 - x + 15$$
よって $a = 1$、$b = -1$、$c = 15$。
実数係数の方程式の虚数解が与えられたときの標準的な手順：
① 共役解定理から共役な解を出す → ② 2解から2次因数 $x^2 - 2px + (p^2+q^2)$ を作る → ③ 元の方程式をその2次式で割り、残りの因数を求める → ④ 残りの因数から他の解を求める
例題：実数係数の4次方程式が $x = 1 + i$ と $x = 2 - i$ を解にもつとき、方程式を求めよ（最高次の係数は1とする）。
解法：共役解定理より $x = 1 - i$ と $x = 2 + i$ も解。4次方程式で解が4つ見つかったので
$$(x - (1+i))(x - (1-i))(x - (2-i))(x - (2+i))$$
$$= (x^2 - 2x + 2)(x^2 - 4x + 5)$$
$$= x^4 - 6x^3 + 15x^2 - 18x + 10$$
実数係数の多項式は、実数の範囲では1次式と判別式が負の2次式の積に分解されます。虚数解の共役ペアは、この「2次式パッケージ」の中に隠れていると考えることができます。虚数解を1つ見つけることは、この2次パッケージを丸ごと発見することと同じです。
整数係数の方程式では、有理根定理と共役解定理という2つの道具を組み合わせて、解の構造を完全に決定できることが多いです。
整数係数の方程式 $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0$ が既約分数 $\dfrac{p}{q}$（$\gcd(p, q) = 1$）を解にもつならば
$$p \text{ は } a_0 \text{ の約数、} \quad q \text{ は } a_n \text{ の約数}$$
特に最高次の係数が1のとき、有理数解は整数解に限られ、定数項の約数の中から探せばよい。
例題：方程式 $x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = 0$ を解け。
解法：最高次の係数が1なので、有理数解は整数で、定数項 $-5$ の約数 $\pm 1, \pm 5$ から探す。
$x = 1$ を代入：$1 - 3 + 7 - 5 = 0$ ✓
$x = 1$ が解なので $(x - 1)$ で割る。
$$x^3 - 3x^2 + 7x - 5 = (x - 1)(x^2 - 2x + 5)$$
$x^2 - 2x + 5 = 0$ を解くと、判別式 $D = 4 - 20 = -16 < 0$ より
$$x = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$$
よって解は $x = 1, \; 1 + 2i, \; 1 - 2i$。
✗ 有理数解が見つからないので解なし
✓ 代数学の基本定理より $n$ 次方程式は複素数の範囲で必ず $n$ 個の解をもつ（重解を含む）
有理根定理で解が見つからない場合でも、無理数解や虚数解が存在する可能性があります。2次の因数で因数分解を試みましょう。
$n$ 次方程式（実数係数）について、解の個数には次の制約があります。
実数係数の $n$ 次方程式の解は、複素数の範囲で重解を込めて $n$ 個。そのうち：
例えば $2x^3 - x^2 + 5x - 3 = 0$ の場合、有理数解の候補は $\dfrac{p}{q}$（$p$ は $3$ の約数、$q$ は $2$ の約数）より $\pm 1, \pm 3, \pm \dfrac{1}{2}, \pm \dfrac{3}{2}$ となります。候補が増えますが、地道に代入して確認するのが基本です。
実数係数の $n$ 次方程式の解の構成について、虚数解が偶数個であるという性質を使った問題は入試で頻出です。
実数係数の $n$ 次方程式について（重解も個数に含める）
| 次数 $n$ | 実数解の個数 | 虚数解のペア数 |
|---|---|---|
| $3$ | $3$ または $1$ | $0$ または $1$ |
| $4$ | $4$, $2$, または $0$ | $0$, $1$, または $2$ |
| $5$ | $5$, $3$, または $1$ | $0$, $1$, または $2$ |
| $n$（一般） | $n$ と同じ偶奇 | $(n - \text{実数解の個数})/2$ |
奇数次の方程式は実数解を少なくとも1つもつ。偶数次の方程式は実数解が0個のこともある。
奇数次方程式が必ず実数解をもつ理由は、次の2つの観点から理解できます。
観点1（代数的）：虚数解が偶数個なので、$n$ が奇数なら実数解は奇数個（つまり少なくとも1個）。
観点2（解析的）：最高次の係数が正のとき、$x \to +\infty$ で $f(x) \to +\infty$、$x \to -\infty$ で $f(x) \to -\infty$ となるため、中間値の定理から $f(x) = 0$ となる実数 $x$ が存在する。
虚数解は共役ペアで現れるため、解の「枠」を2つずつ使います。$n$ 次方程式には $n$ 個分の枠があるので、虚数解のペア数は最大 $\lfloor n/2 \rfloor$ 個です。$n$ が奇数のとき、すべてを虚数ペアで埋め尽くすことはできず、少なくとも1枠は実数解に割り当てられます。
例題：方程式 $x^3 + ax + 2 = 0$ が虚数解をもつような実数 $a$ の条件を求めよ。
解法：3次方程式なので、実数解の個数は3個（虚数解なし）または1個（虚数解2個）。「虚数解をもつ」とは実数解がちょうど1個の場合。
$f(x) = x^3 + ax + 2$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 + a$ である。
$a \geq 0$ の場合：$f'(x) = 3x^2 + a \geq 0$ より $f(x)$ は単調増加。よって実数解はちょうど1個で、虚数解をもつ。
$a < 0$ の場合：$f'(x) = 0$ の解は $x = \pm\sqrt{-a/3}$。$f(x)$ は $x = -\sqrt{-a/3}$ で極大、$x = \sqrt{-a/3}$ で極小をとる。
実数解が1個（虚数解あり）になる条件は、極大値と極小値が同符号になること。3次方程式 $x^3 + px + q = 0$ の判別式は $\Delta = -4p^3 - 27q^2$ で、$\Delta < 0$ のとき実数解1個。
本問では $p = a$、$q = 2$ より
$$\Delta = -4a^3 - 27 \cdot 4 = -4a^3 - 108 < 0$$
$$4a^3 > -108 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a^3 > -27 \;\;\Longleftrightarrow\;\; a > -3$$
$a \geq 0$ はこれを満たすので、求める条件は $a > -3$。
✗ $a = -3$ のとき虚数解をもつ
✓ $a = -3$ のとき $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0$ で、すべて実数解
境界値 $a = -3$ では重解が生じ、3つの実数解（うち2つが重解）になります。虚数解をもたないので条件に含めません。
方程式の解が実数か虚数かを判定するには、関数のグラフ（中間値の定理）と代数的な議論を組み合わせるのが有効です。
多項式 $P(x)$ について、$P(a)$ と $P(b)$ が異符号ならば、$a$ と $b$ の間に少なくとも1つの実数解が存在する。
$$P(a) \cdot P(b) < 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \exists\, c \in (a, b) \;\text{ s.t. }\; P(c) = 0$$
多項式は連続関数なので、中間値の定理が適用できる。
$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸の交点が実数解に対応します。交点の個数から実数解の個数が分かり、残りは虚数解です。
例題：$f(x) = x^4 - 4x^3 + 8x - 3$ の実数解と虚数解の個数を求めよ。
解法：$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 8$。$f'(1) = 4 - 12 + 8 = 0$ なので $(x-1)$ が因数。
$$f'(x) = 4(x^3 - 3x^2 + 2) = 4(x - 1)(x^2 - 2x - 2)$$
$x^2 - 2x - 2 = 0$ より $x = 1 \pm \sqrt{3}$。よって $f'(x) = 0$ の解は $x = 1 - \sqrt{3},\; 1,\; 1 + \sqrt{3}$。
増減を調べると
| $x$ | $\cdots$ | $1-\sqrt{3}$ | $\cdots$ | $1$ | $\cdots$ | $1+\sqrt{3}$ | $\cdots$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ | 極小 | $\nearrow$ |
各極値を計算します。
$f(x) \to +\infty$（$x \to \pm\infty$）であり、2つの極小値がともに負（$-7$）、極大値が正（$2$）なので、$x$ 軸との交点は4個。
よって実数解4個、虚数解0個。
$n$ 次方程式の実数解は $y = f(x)$ と $x$ 軸の交点です。$n$ 次多項式のグラフの概形を増減表で描くことで、実数解の個数を「目で見て」判定できます。そして「$n$ $-$ 実数解の個数」が虚数解の個数です。この「グラフの読み解き」は、パラメータを含む方程式の解の個数問題に特に威力を発揮します。
直接虚数解を求めなくても、虚数解の存在を示す方法があります。
方法1：判別式が負 ─ 2次因数の判別式 $D < 0$ なら虚数解をもつ
方法2：グラフの利用 ─ $x$ 軸との交点の個数が $n$ 未満なら虚数解が存在
方法3：解の個数の偶奇 ─ 実数解の個数と $n$ が合わなければ虚数解が存在
例：$x^4 + 1 = 0$ は実数解をもたない（$x^4 \geq 0$ なので $x^4 + 1 \geq 1 > 0$）。4次方程式なので4個の虚数解（2組の共役ペア）をもつ。
代数学の基本定理は「$n$ 次多項式は複素数の範囲で必ず $n$ 個の根をもつ」と主張しますが、その証明には複素解析やトポロジーの知識が必要です。高校数学の範囲では、2次方程式の解の公式と因数定理を帰納的に使うことで、この定理の内容を実感できます。
Q1. 実数係数の4次方程式が $x = 3 - i$ を解にもつとき、もう一つ確定する解を答えよ。
Q2. $x = 2 + i$ が実数係数方程式の解のとき、$x = 2 + i$ と $x = 2 - i$ から作られる2次因数を求めよ。
Q3. 実数係数の5次方程式が虚数解をもつとき、実数解の個数としてありうる値をすべて答えよ。
Q4. $x^3 + 2x^2 + 5x + 10 = 0$ を解け。
Q5. 実数係数の3次方程式が3個の虚数解をもつことはあるか。理由とともに答えよ。
実数係数の3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 10 = 0$ が $x = 1 - 3i$ を解にもつとき、実数 $a, b$ の値と残りの解をすべて求めよ。
実数係数なので $x = 1 + 3i$ も解。2解から2次因数を作ると
$(x - (1-3i))(x - (1+3i)) = x^2 - 2x + 10$
3次方程式なので残りの解を $r$ とおくと
$x^3 + ax^2 + bx + 10 = (x^2 - 2x + 10)(x - r)$
定数項を比較：$-10r = 10$ より $r = -1$
$(x^2 - 2x + 10)(x + 1) = x^3 - x^2 + 8x + 10$
よって $a = -1$、$b = 8$。残りの解は $x = 1 + 3i$ と $x = -1$。
方程式 $x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x - 2 = 0$ を解け。
有理根定理より、有理数解の候補は $\pm 1, \pm 2$。
$x = 1$：$1 - 2 + 1 + 2 - 2 = 0$ ✓
$(x - 1)$ で割ると
$x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x - 2 = (x - 1)(x^3 - x^2 + 2)$
$x^3 - x^2 + 2$ について有理数解を調べる。$x = -1$：$-1 - 1 + 2 = 0$ ✓
$(x + 1)$ で割ると
$x^3 - x^2 + 2 = (x + 1)(x^2 - 2x + 2)$
$x^2 - 2x + 2 = 0$ の判別式 $D = 4 - 8 = -4 < 0$ より
$x = \dfrac{2 \pm 2i}{2} = 1 \pm i$
よって解は $x = 1, \; -1, \; 1 + i, \; 1 - i$
実数係数の3次方程式 $x^3 - 5x^2 + ax - b = 0$ の一つの解が $x = 2 + i$ であるとき、実数 $a, b$ の値と他の解をすべて求めよ。
実数係数なので $x = 2 - i$ も解。2解から2次因数を作ると
$(x - (2+i))(x - (2-i)) = x^2 - 4x + 5$
残りの解を $r$ とおくと
$x^3 - 5x^2 + ax - b = (x^2 - 4x + 5)(x - r)$
右辺を展開すると
$= x^3 - (r+4)x^2 + (4r+5)x - 5r$
$x^2$ の係数を比較：$-(r+4) = -5$ より $r = 1$
$x$ の係数：$a = 4 \cdot 1 + 5 = 9$
定数項：$b = 5 \cdot 1 = 5$
検算：$(x^2 - 4x + 5)(x - 1) = x^3 - 5x^2 + 9x - 5$ ✓
よって $a = 9$、$b = 5$。他の解は $x = 2 - i$ と $x = 1$。
$a$ を実数の定数とする。方程式 $x^4 + ax^2 + a + 3 = 0$ が虚数解のみをもつ（実数解をもたない）ための $a$ の条件を求めよ。
$t = x^2$ とおくと $t^2 + at + (a + 3) = 0$ ・・・ ①
元の方程式が実数解をもたないとは、$x^2 = t \geq 0$ を満たす $t$ が存在しないこと。すなわち「①が $t \geq 0$ の範囲に解をもたない」ことが条件。
$g(t) = t^2 + at + (a + 3)$ とおく。
場合1：①が実数解をもたない場合
判別式 $D = a^2 - 4(a+3) = a^2 - 4a - 12 = (a-6)(a+2) < 0$
$-2 < a < 6$ ・・・ ②
このとき①は実数解をもたないので、当然 $t \geq 0$ に解はない。条件を満たす。
場合2：①が実数解をもち、すべて負の場合
$D \geq 0$（すなわち $a \leq -2$ または $a \geq 6$）のもとで、2解 $t_1, t_2$ がともに負。
解と係数の関係より
$t_1 + t_2 = -a$、$t_1 t_2 = a + 3$
$t_1 < 0$ かつ $t_2 < 0$ の条件は
$D \geq 0$ かつ $a > 0$ を満たすのは $a \geq 6$。
検算：$a = 6$ のとき $t^2 + 6t + 9 = (t+3)^2 = 0$、$t = -3 < 0$ ✓
$a = 7$ のとき $t^2 + 7t + 10 = (t+2)(t+5) = 0$、$t = -2, -5 < 0$ ✓
場合1と場合2を合わせると
$$\boxed{a > -2}$$
$a = -2$ のとき：$t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2 = 0$、$t = 1 \geq 0$ より $x = \pm 1$ が実数解。不適。
$a = 0$（②の範囲）：$x^4 + 3 = 0$ → $x^4 = -3 < 0$ で実数解なし ✓
$a = -3$（$a \leq -2$ の範囲）：$t^2 - 3t = t(t-3) = 0$ → $t = 0, 3$ → $x = 0, \pm\sqrt{3}$ で実数解あり ✗