係数が左右対称に並ぶ方程式には、美しい構造が隠れています。
$t = x + \dfrac{1}{x}$ という置換一つで、次数を半分に下げる技法をマスターしましょう。
高次方程式は一般に解くのが困難ですが、係数に特別な対称性がある場合、その構造を利用して次数を下げることができます。相反方程式はその代表例です。
$n$ 次方程式
$$a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0$$
のように、係数が左右対称（$a_k = a_{n-k}$）である方程式を相反方程式（reciprocal equation）という。
「係数を逆順に読んでも同じ」という性質です。別名「回文方程式」（palindromic equation）とも呼ばれます。
4次の相反方程式：$2x^4 + 3x^3 - 5x^2 + 3x + 2 = 0$
係数を並べると $2, 3, -5, 3, 2$ で左右対称です。
5次の相反方程式：$x^5 - 3x^4 + 5x^3 + 5x^2 - 3x + 1 = 0$
係数を並べると $1, -3, 5, 5, -3, 1$ で左右対称です（中央の2つが同じ値）。
$x \neq 0$ のとき、$x$ を $\dfrac{1}{x}$ で置き換えてみましょう。相反方程式の両辺を $x^n$ で割ると
$$a_0 + a_1 \cdot \frac{1}{x} + \cdots + a_1 \cdot \frac{1}{x^{n-1}} + a_0 \cdot \frac{1}{x^n} = 0$$
これは $x$ を $\dfrac{1}{x}$ に置き換えた式と同じです。つまり、$x$ が解なら $\dfrac{1}{x}$ も解──解が「互いに逆数」（reciprocal）の対をなすのが名前の由来です。
相反方程式は次数が偶数か奇数かで扱いが異なります。
| 次数 | 係数の個数 | 中央の係数 | 特徴 |
|---|---|---|---|
| 偶数 $2m$ | $2m + 1$ 個（奇数） | $a_m$（1つ） | 直接置換法が使える |
| 奇数 $2m + 1$ | $2m + 2$ 個（偶数） | $a_m, a_{m+1}$（同じ値2つ） | $x = -1$ が必ず解 |
相反方程式では最高次と定数項の係数がともに $a_0 \neq 0$ です。$x = 0$ を代入すると $a_0 = 0$ となり矛盾するので、$x = 0$ は解になりません。したがって、両辺を $x$ の適当な累乗で割る操作が常に正当化されます。
奇数次の相反方程式には、常に利用できる性質があります。
奇数次の相反方程式には $x = -1$ が必ず解である。
したがって、$(x + 1)$ で割ることで偶数次の相反方程式に帰着できる。
$2m + 1$ 次の相反方程式に $x = -1$ を代入する。
$$f(-1) = a_0(-1)^{2m+1} + a_1(-1)^{2m} + a_2(-1)^{2m-1} + \cdots + a_2(-1)^2 + a_1(-1) + a_0$$
各項を両端から対にすると、$k$ 番目と $(2m+1-k)$ 番目の項は
$$a_k(-1)^{2m+1-k} + a_k(-1)^{k} = a_k\bigl[(-1)^{2m+1-k} + (-1)^k\bigr]$$
$(2m+1-k) + k = 2m+1$（奇数）より、$(-1)^{2m+1-k}$ と $(-1)^k$ は異符号（一方の指数が偶数なら他方は奇数）。
したがって $(-1)^{2m+1-k} + (-1)^k = 0$ となり、すべての対が打ち消し合う。
よって $f(-1) = 0$。■
$x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = 0$ を解く。
$x = -1$ が解なので $(x + 1)$ で割る。
$$x^3 + 2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^2 + x + 1) = 0$$
$x^2 + x + 1 = 0$ より $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$
よって $x = -1,\;\dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2},\;\dfrac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$
$x^5 + 2x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1 = 0$ を解く。
$x = -1$ が解なので $(x + 1)$ で割る。
$$x^5 + 2x^4 - x^3 - x^2 + 2x + 1 = (x + 1)(x^4 + x^3 - 2x^2 + x + 1) = 0$$
商 $x^4 + x^3 - 2x^2 + x + 1 = 0$ は4次の相反方程式であり、次のセクションの方法で解けます。
✗ 商が相反方程式であることを確認しない
✓ 割り算後の商の係数が左右対称であることを必ず確認する
奇数次の相反方程式を $(x+1)$ で割った商は、必ず偶数次の相反方程式になります。これは定理から保証されますが、計算ミスを防ぐために係数の対称性を確認する習慣をつけましょう。
偶数次の相反方程式こそ、相反方程式の解法の核心です。$x^2$ で割り、$t = x + \dfrac{1}{x}$ と置換することで、次数を半分に下げることができます。
手順1：$x \neq 0$ なので、方程式の両辺を $x^m$ で割る。
手順2：$x^k + \dfrac{1}{x^k}$ の形にまとめる。
手順3：$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおき、$t$ の $m$ 次方程式に変換する。
$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと、次の関係が成り立ちます。
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$$
$$x^3 + \frac{1}{x^3} = t^3 - 3t$$
$$x^4 + \frac{1}{x^4} = t^4 - 4t^2 + 2$$
導出：$\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \dfrac{1}{x^2}$ より $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$。$x^3 + \dfrac{1}{x^3}$ は $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) = x^3 + x + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3}$ を利用。
$t = x + \dfrac{1}{x}$ の両辺を2乗すると
$$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$$
よって $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$。■
$t^3 = \left(x + \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 + 3x + \dfrac{3}{x} + \dfrac{1}{x^3} = \left(x^3 + \dfrac{1}{x^3}\right) + 3\left(x + \dfrac{1}{x}\right)$
よって $x^3 + \dfrac{1}{x^3} = t^3 - 3t$。■
$x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$ を解く。
$x \neq 0$ なので両辺を $x^2$ で割る。
$$x^2 + 3x + 4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$
$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0$$
$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと、$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ より
$$(t^2 - 2) + 3t + 4 = 0$$
$$t^2 + 3t + 2 = 0$$
$$(t + 1)(t + 2) = 0$$
$$t = -1 \quad \text{または} \quad t = -2$$
相反方程式の係数の対称性により、$x^k$ と $x^{n-k}$ の項を「ペア」にまとめることができます。$x^m$ で割ると、各ペアは $x^j + \dfrac{1}{x^j}$ の形になり、これはすべて $t = x + \dfrac{1}{x}$ の多項式で表せます。$2m$ 次方程式の $m+1$ 個の項ペアが $t$ の $m$ 次方程式になるのです。
最も頻出の4次の場合を、具体例を通して最初から最後まで解きます。
Step 1：$x^2$ で割る
$x \neq 0$ なので、両辺を $x^2$ で割る。
$$2x^2 - 5x + 6 - \frac{5}{x} + \frac{2}{x^2} = 0$$
Step 2：ペアにまとめる
$$2\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 5\left(x + \frac{1}{x}\right) + 6 = 0$$
Step 3：$t = x + \dfrac{1}{x}$ で置換する
$x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ を代入して
$$2(t^2 - 2) - 5t + 6 = 0$$
$$2t^2 - 5t + 2 = 0$$
$$(2t - 1)(t - 2) = 0$$
$$t = \frac{1}{2} \quad \text{または} \quad t = 2$$
Step 4：$t$ の各値から $x$ を求める
$t = \dfrac{1}{2}$ のとき：
$$x + \frac{1}{x} = \frac{1}{2} \implies 2x^2 - x + 2 = 0$$
$$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{15}\,i}{4}$$
$t = 2$ のとき：
$$x + \frac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x - 1)^2 = 0$$
$$x = 1 \;(\text{重解})$$
最終解答：
$$x = 1\;(\text{重解}),\quad x = \frac{1 \pm \sqrt{15}\,i}{4}$$
$a x^4 + b x^3 + c x^2 + b x + a = 0$（$a \neq 0$）の解法：
1. $x^2$ で割り、$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおく
2. $a(t^2 - 2) + bt + c = 0$、すなわち $at^2 + bt + (c - 2a) = 0$ を解く
3. 各 $t = \alpha$ に対し $x + \dfrac{1}{x} = \alpha$、すなわち $x^2 - \alpha x + 1 = 0$ を解く
4次方程式が「$t$ の2次方程式 → $x$ の2次方程式 $\times$ 2」に分解されます。
✗ $x + \dfrac{1}{x} = t$ から「$x = t - \dfrac{1}{x}$」として手が止まる
✓ 両辺に $x$ を掛けて $x^2 - tx + 1 = 0$ として解の公式を使う
$x + \dfrac{1}{x} = t$ は $x^2 - tx + 1 = 0$ と同値（$x \neq 0$）です。判別式は $t^2 - 4$ なので、$|t| < 2$ のとき虚数解、$|t| \geq 2$ のとき実数解です。
$x^2 - tx + 1 = 0$ の2解の積は（解と係数の関係から）$1$ です。したがって2解は互いに逆数の関係にあります。これは相反方程式の「$x$ が解なら $1/x$ も解」という性質と整合しています。
係数が $a_k = -a_{n-k}$ を満たす方程式を反対称型（anti-palindromic）の方程式といいます。
$$a_0 x^n - a_1 x^{n-1} + \cdots + a_1 x - a_0 = 0$$
反対称型 $a_k = -a_{n-k}$ の方程式には $x = 1$ が必ず解である。
$(x - 1)$ で割った商は相反方程式になり、同様の手法で解ける。
$f(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1} x + a_n$ とおく。$a_k = -a_{n-k}$ より
$$f(1) = a_0 + a_1 + \cdots + a_{n-1} + a_n$$
両端から対にすると $a_k + a_{n-k} = a_k + (-a_k) = 0$ なので、すべての対の和が $0$。
$n$ が偶数のとき中央の項は $a_{n/2}$ だが、$a_{n/2} = -a_{n/2}$ より $a_{n/2} = 0$。
よって $f(1) = 0$。■
例：$x^4 - 3x^3 + 3x - 1 = 0$
係数は $1, -3, 0, 3, -1$ で反対称型（$a_k = -a_{4-k}$）。$x = 1$ が解。
$$x^4 - 3x^3 + 3x - 1 = (x - 1)(x^3 - 2x^2 - 2x + 1) = 0$$
$x^3 - 2x^2 - 2x + 1 = 0$ は係数 $1, -2, -2, 1$ の相反方程式。$x = -1$ が解なので
$$= (x + 1)(x^2 - 3x + 1) = 0$$
$x^2 - 3x + 1 = 0$ より $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$
最終解：$x = 1,\;-1,\;\dfrac{3 + \sqrt{5}}{2},\;\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2}$
$x^n = 1$ の解（1の $n$ 乗根）を求める方程式 $x^n - 1 = 0$ を因数分解すると円分多項式が現れます。例えば
$$x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$$
の第2因子 $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ は相反方程式です。$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと $t^2 + t - 1 = 0$ に帰着し、正五角形の頂点座標と関連する $\cos\dfrac{2\pi}{5} = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{4}$ が導かれます。
このように、相反方程式は正多角形の作図問題や代数的整数論と深くつながっています。
相反方程式の解法の本質は「対称性の利用」です。係数の対称性 $\to$ 解の逆数対称性 $\to$ $t = x + 1/x$ による次数半減──この流れは、数学全般に通じる重要な原理です。対称式を基本対称式で表す（ニュートンの恒等式）、群の対称性を利用する（ガロア理論）など、対称性の活用は代数学の中心テーマです。
Q1. 方程式 $3x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 5x + 3 = 0$ は相反方程式か。理由とともに答えよ。
Q2. 5次の相反方程式に必ず存在する解は何か。
Q3. $t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくとき、$x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ を $t$ で表せ。
Q4. $x + \dfrac{1}{x} = 3$ のとき、$x$ の値を求めよ。
Q5. 反対称型（$a_k = -a_{n-k}$）の方程式に必ず存在する解は何か。
方程式 $x^4 + 3x^3 + 4x^2 + 3x + 1 = 0$ を解け。
係数 $1, 3, 4, 3, 1$ は左右対称なので相反方程式。$x \neq 0$ より両辺を $x^2$ で割る。
$$x^2 + 3x + 4 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$
$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + 3\left(x + \frac{1}{x}\right) + 4 = 0$$
$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ より
$$(t^2 - 2) + 3t + 4 = 0 \implies t^2 + 3t + 2 = 0 \implies (t+1)(t+2) = 0$$
$t = -1$ のとき：$x + \dfrac{1}{x} = -1 \implies x^2 + x + 1 = 0 \implies x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$
$t = -2$ のとき：$x + \dfrac{1}{x} = -2 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x+1)^2 = 0 \implies x = -1$（重解）
よって $x = -1\;(\text{重解}),\;\dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2},\;\dfrac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$
方程式 $6x^4 - 25x^3 + 38x^2 - 25x + 6 = 0$ を解け。
係数 $6, -25, 38, -25, 6$ は左右対称なので相反方程式。$x \neq 0$ より両辺を $x^2$ で割る。
$$6x^2 - 25x + 38 - \frac{25}{x} + \frac{6}{x^2} = 0$$
$$6\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) - 25\left(x + \frac{1}{x}\right) + 38 = 0$$
$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと
$$6(t^2 - 2) - 25t + 38 = 0 \implies 6t^2 - 25t + 26 = 0$$
$$t = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 624}}{12} = \frac{25 \pm 1}{12}$$
$$t = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} \quad \text{または} \quad t = \frac{24}{12} = 2$$
$t = \dfrac{13}{6}$ のとき：$x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{13}{6} \implies 6x^2 - 13x + 6 = 0 \implies (2x - 3)(3x - 2) = 0$
$x = \dfrac{3}{2}$ または $x = \dfrac{2}{3}$
$t = 2$ のとき：$x + \dfrac{1}{x} = 2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies x = 1$（重解）
よって $x = 1\;(\text{重解}),\;\dfrac{3}{2},\;\dfrac{2}{3}$
$\dfrac{3}{2}$ と $\dfrac{2}{3}$ は互いに逆数、$1$ の逆数は $1$。相反方程式の「解が逆数対をなす」性質と整合しています。
方程式 $x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1 = 0$ を解け。
係数 $1, 1, -2, -2, 1, 1$ は左右対称なので5次の相反方程式。
奇数次なので $x = -1$ が解。$(x + 1)$ で割る。
$$x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1 = (x + 1)(x^4 - 2x^2 + 1)$$
商 $x^4 - 2x^2 + 1$ を因数分解する。
$$x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 = (x - 1)^2(x + 1)^2$$
よって
$$x^5 + x^4 - 2x^3 - 2x^2 + x + 1 = (x + 1)^3(x - 1)^2 = 0$$
$x = -1$（3重解）、$x = 1$（2重解）
$(x+1)$ で割った商 $x^4 - 2x^2 + 1$ は係数 $1, 0, -2, 0, 1$ の相反方程式でもある。$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと $t^2 - 4 = 0$、$t = \pm 2$ となり、同じ結果が得られます。
$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ の4つの解をすべて求めよ。また、$\cos\dfrac{2\pi}{5}$ の値を求めよ。
係数 $1, 1, 1, 1, 1$ は左右対称なので4次の相反方程式。
$x \neq 0$ より両辺を $x^2$ で割る。
$$x^2 + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0$$
$$\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + \left(x + \frac{1}{x}\right) + 1 = 0$$
$t = x + \dfrac{1}{x}$ とおくと
$$(t^2 - 2) + t + 1 = 0 \implies t^2 + t - 1 = 0$$
$$t = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$$
$t = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$ のとき：
$$x^2 - \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}x + 1 = 0 \implies 2x^2 - (-1+\sqrt{5})x + 2 = 0$$
判別式：$(-1+\sqrt{5})^2 - 16 = 1 - 2\sqrt{5} + 5 - 16 = -10 - 2\sqrt{5} < 0$
$$x = \frac{(-1+\sqrt{5}) \pm \sqrt{-10 - 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{-1 + \sqrt{5}}{4} \pm \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}\,i$$
$t = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ のとき：
$$x^2 - \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}x + 1 = 0 \implies 2x^2 + (1+\sqrt{5})x + 2 = 0$$
判別式：$(1+\sqrt{5})^2 - 16 = 1 + 2\sqrt{5} + 5 - 16 = -10 + 2\sqrt{5} < 0$
$$x = \frac{-(1+\sqrt{5}) \pm \sqrt{-10 + 2\sqrt{5}}}{4} = \frac{-1 - \sqrt{5}}{4} \pm \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}\,i$$
$\cos\dfrac{2\pi}{5}$ の導出：
$x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ の解は $x = e^{2\pi i k/5}$（$k = 1, 2, 3, 4$）、すなわち $1$ でない $1$ の5乗根。
$x = e^{2\pi i/5} = \cos\dfrac{2\pi}{5} + i\sin\dfrac{2\pi}{5}$ のとき
$$x + \frac{1}{x} = 2\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$$
$$\therefore\;\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{-1+\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$$
$x^5 - 1 = (x-1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) = 0$ の第2因子が本問の方程式です。$1$ の原始5乗根 $\zeta = e^{2\pi i/5}$ に関して $\zeta + \zeta^{-1} = 2\cos\dfrac{2\pi}{5}$ となることから、正五角形の作図可能性が相反方程式の可解性に帰着されます。ガウスはこの方法で正十七角形の作図可能性を証明しました。