2次方程式の解と係数の関係を3次に拡張すると、3つの解の「和」「2つずつの積の和」「3つの積」が係数だけで決まります。
対称式の計算力を磨き、方程式の構造を深く理解しましょう。
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解 $\alpha, \beta$ について $\alpha+\beta = -\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$ が成り立ちました。この関係を3次方程式に拡張します。
3次方程式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$（$a \neq 0$）の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると
$$\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$$
$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$$
$$\alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}$$
符号は $-,+,-$ と交互になることに注目。$n$ 次への一般化では $(-1)^k$ が付きます。
$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の3解が $\alpha, \beta, \gamma$ であるから
$$ax^3 + bx^2 + cx + d = a(x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$$
右辺を展開すると
$$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = a\bigl[x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma\bigr]$$
両辺の各次数の係数を比較して
$$b = -a(\alpha+\beta+\gamma), \quad c = a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha), \quad d = -a \cdot \alpha\beta\gamma$$
これを整理すれば公式が得られる。 ■
$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ を展開するとき、各項は解の中から $k$ 個を選んで $(-1)^k$ 倍した積です。1個選ぶ（和）で $(-1)^1$、2個選ぶ（2つずつの積の和）で $(-1)^2$、3個選ぶ（全体の積）で $(-1)^3$ が付くため、$-b/a$, $+c/a$, $-d/a$ と符号が交互になります。
$a = 1$、すなわち $x^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の場合、公式は特にシンプルになります。
$x^3 + px^2 + qx + r = 0$ の3解を $\alpha, \beta, \gamma$ とすると
$$\alpha + \beta + \gamma = -p, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q, \quad \alpha\beta\gamma = -r$$
実際の計算では $a$ で割ってこの形に帰着させるとミスが減ります。
✗ $\alpha\beta\gamma = \dfrac{d}{a}$（符号を忘れる）
✓ $\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$（3つの積には $-$ が付く）
符号の覚え方：$a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ の展開で $(-\alpha)(-\beta)(-\gamma) = -\alpha\beta\gamma$ が定数項に対応することを思い出しましょう。
3つの変数 $\alpha, \beta, \gamma$ の基本対称式とは、変数を入れ替えても値が変わらない基本的な式のことです。
第1基本対称式：$s_1 = \alpha + \beta + \gamma$
第2基本対称式：$s_2 = \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$
第3基本対称式：$s_3 = \alpha\beta\gamma$
$\alpha, \beta, \gamma$ の任意の対称式は $s_1, s_2, s_3$ の多項式で表せます（対称式の基本定理）。
入試で頻出する対称式を基本対称式で表す公式をまとめます。
2乗の和：
$$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = s_1^2 - 2s_2$$
3乗の和：
$$\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3 = s_1^3 - 3s_1 s_2 + 3s_3$$
2つずつの積の2乗の和：
$$\alpha^2\beta^2 + \beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2 = s_2^2 - 2s_1 s_3$$
$(\alpha+\beta+\gamma)^2 = \alpha^2+\beta^2+\gamma^2 + 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$ より
$$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = s_1^2 - 2s_2 \quad \blacksquare$$
恒等式 $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 - 3\alpha\beta\gamma = (\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)$ を用いる。
右辺 $= s_1(s_1^2 - 2s_2 - s_2) = s_1(s_1^2 - 3s_2) = s_1^3 - 3s_1 s_2$
よって $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = s_1^3 - 3s_1 s_2 + 3s_3$ $\quad \blacksquare$
2変数では $\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$ でした。3変数の公式は同じ構造で「$+2\alpha\beta\gamma$」の項が加わる形です。2変数の公式を覚えていれば、3変数への拡張は自然に理解できます。
例：$x^3 - 3x^2 + 5x - 4 = 0$ の3解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ を求めよ。
解と係数の関係より $s_1 = \alpha+\beta+\gamma = 3$, $s_2 = \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 5$, $s_3 = \alpha\beta\gamma = 4$。
$$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = s_1^2 - 2s_2 = 9 - 10 = -1$$
✗ 「2乗の和が $-1$ はおかしい」と思い込み、計算ミスを疑う
✓ 解が複素数のとき、$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ は負や虚数にもなりうる
解がすべて実数なら2乗の和は非負ですが、虚数解を含む場合は負の値をとることがあります。
与えられた3つの数を解にもつ3次方程式を作る問題は、解と係数の関係の逆向きの利用です。
$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ $x$ の3次方程式（最高次の係数1）は
$$x^3 - s_1 x^2 + s_2 x - s_3 = 0$$
すなわち
$$x^3 - (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x - \alpha\beta\gamma = 0$$
$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma) = 0$ を展開したものです。
例：$1, 2, -3$ を解にもつ3次方程式を求めよ。
$s_1 = 1 + 2 + (-3) = 0$, $s_2 = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-3) + (-3) \cdot 1 = 2 - 6 - 3 = -7$, $s_3 = 1 \cdot 2 \cdot (-3) = -6$
$$x^3 - 0 \cdot x^2 + (-7)x - (-6) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x^3 - 7x + 6 = 0$$
例：$x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$ の3解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$\alpha+1, \beta+1, \gamma+1$ を解にもつ3次方程式を求めよ。
$y = x + 1$、すなわち $x = y - 1$ を元の方程式に代入すると
$$(y-1)^3 - 2(y-1)^2 + 3(y-1) - 1 = 0$$
展開して整理すると
$$y^3 - 3y^2 + 3y - 1 - 2y^2 + 4y - 2 + 3y - 3 - 1 = 0$$
$$y^3 - 5y^2 + 10y - 7 = 0$$
「$\alpha, \beta, \gamma$ を解にもつ方程式」から「$f(\alpha), f(\beta), f(\gamma)$ を解にもつ方程式」を作るには、$y = f(x)$ を逆に解いて $x = f^{-1}(y)$ を元の方程式に代入するのが定石です。直接 $s_1, s_2, s_3$ を計算するよりも効率的なことが多いです。
問題で「整数係数の方程式を求めよ」と指定されている場合、最後に分母を払って整数係数にします。最高次の係数を1にするか整数にするかは問題文の指示に従いましょう。
入試では、3次方程式の解と係数の関係を利用して様々な対称式の値を求める問題が出題されます。典型的なパターンを確認しましょう。
$\alpha\beta\gamma \neq 0$ のとき
$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta\gamma + \gamma\alpha + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma} = \frac{s_2}{s_3}$$
例：$x^3 - 3x^2 + 5x - 2 = 0$ の3解 $\alpha, \beta, \gamma$ について $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma}$ を求めよ。
$s_1 = 3$, $s_2 = 5$, $s_3 = 2$ より
$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{s_2}{s_3} = \frac{5}{2}$$
$$\alpha^2\beta + \alpha\beta^2 + \beta^2\gamma + \beta\gamma^2 + \gamma^2\alpha + \gamma\alpha^2 = \alpha\beta(\alpha+\beta) + \beta\gamma(\beta+\gamma) + \gamma\alpha(\gamma+\alpha)$$
各括弧内で $\alpha+\beta = s_1 - \gamma$ などを使うと
$$= \alpha\beta(s_1 - \gamma) + \beta\gamma(s_1 - \alpha) + \gamma\alpha(s_1 - \gamma)$$
$$= s_1(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) - 3\alpha\beta\gamma = s_1 s_2 - 3s_3$$
$\alpha\beta\gamma \neq 0$ のとき
$$\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2} = \frac{(\beta\gamma)^2 + (\gamma\alpha)^2 + (\alpha\beta)^2}{(\alpha\beta\gamma)^2} = \frac{s_2^2 - 2s_1 s_3}{s_3^2}$$
例：$x^3 + 2x^2 - x + 3 = 0$ の3解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、次の値を求めよ。
解と係数の関係より $s_1 = -2$, $s_2 = -1$, $s_3 = -3$。
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = s_1^2 - 2s_2 = 4 - 2(-1) = 6$
(2) $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{s_2}{s_3} = \dfrac{-1}{-3} = \dfrac{1}{3}$
(3) $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = s_1^3 - 3s_1 s_2 + 3s_3 = -8 - 3(-2)(-1) + 3(-3) = -8 - 6 - 9 = -23$
✗ $x^3 + 2x^2 - x + 3 = 0$ から $s_1 = 2$（符号を逆にし忘れ）
✓ $\alpha+\beta+\gamma = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{2}{1} = -2$
$s_1 = -b/a$ の「$-$」を忘れないようにしましょう。公式を暗記するだけでなく、$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ の展開から毎回導出する習慣をつけると安全です。
$k$ 乗の和 $p_k = \alpha^k + \beta^k + \gamma^k$ を効率的に求める漸化式をニュートンの恒等式（Newton's identity）といいます。
$\alpha, \beta, \gamma$ を $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ の3解、$p_k = \alpha^k + \beta^k + \gamma^k$ とすると
$$p_1 = -p$$
$$p_2 = -p \cdot p_1 - 2q$$
$$p_k = -p \cdot p_{k-1} - q \cdot p_{k-2} - r \cdot p_{k-3} \quad (k \geq 3)$$
ここで $p = -s_1$, $q = s_2$, $r = -s_3$ です。基本対称式で書くと $p_k = s_1 p_{k-1} - s_2 p_{k-2} + s_3 p_{k-3}$。
$\alpha$ は方程式 $x^3 + px^2 + qx + r = 0$ の解だから $\alpha^3 + p\alpha^2 + q\alpha + r = 0$。
よって $\alpha^k = \alpha^{k-3} \cdot \alpha^3 = \alpha^{k-3}(-p\alpha^2 - q\alpha - r)$、すなわち
$$\alpha^k = -p\alpha^{k-1} - q\alpha^{k-2} - r\alpha^{k-3}$$
$\beta, \gamma$ についても同様の式が成り立つので、3式を辺々加えると
$$p_k = -p \cdot p_{k-1} - q \cdot p_{k-2} - r \cdot p_{k-3} \quad \blacksquare$$
例：$x^3 - 2x^2 + 3x - 1 = 0$ の3解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、$p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$ を求めよ。
$p = -2, q = 3, r = -1$（方程式の係数をそのまま読む）。$s_1 = 2, s_2 = 3, s_3 = 1$。
$p_0 = 3$（3変数なので $\alpha^0+\beta^0+\gamma^0 = 3$）
$p_1 = s_1 = 2$
$p_2 = s_1 p_1 - 2s_2 = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$
$k \geq 3$ では $p_k = s_1 p_{k-1} - s_2 p_{k-2} + s_3 p_{k-3}$ を用いて
$p_3 = 2 \cdot (-2) - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = -4 - 6 + 3 = -7$
$p_4 = 2 \cdot (-7) - 3 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = -14 + 6 + 2 = -6$
$p_5 = 2 \cdot (-6) - 3 \cdot (-7) + 1 \cdot (-2) = -12 + 21 - 2 = 7$
各解 $\alpha$ が方程式 $\alpha^3 + p\alpha^2 + q\alpha + r = 0$ を満たすことから、$\alpha^3$ を低次の式で表現できます。これを繰り返し使うことで、任意の $\alpha^k$ を $\alpha^2, \alpha, 1$ の線形結合に「引き下げ」られます。ニュートンの恒等式はこの構造をべき和に適用したものです。
$p_2 = s_1^2 - 2s_2$ は $k = 2$ の特別な公式ですが、漸化式 $p_k = s_1 p_{k-1} - s_2 p_{k-2} + s_3 p_{k-3}$ を $k = 2$ に適用するには $p_{-1}$ が必要になり不便です。$k = 1, 2$ は初期値として個別に計算し、$k \geq 3$ から漸化式を使うのが実用的です。
ニュートンの恒等式は $n$ 変数でも成立し、線形代数ではこれが行列の固有値のべき和（トレースのべき）と特性多項式の係数の関係として現れます。ケイリー・ハミルトンの定理とも深く関わる重要な恒等式です。
Q1. $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ の3解を $\alpha,\beta,\gamma$ とするとき、$\alpha+\beta+\gamma$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$, $\alpha\beta\gamma$ の値を求めよ。
Q2. $x^3 + 3x^2 - 4x + 2 = 0$ の3解 $\alpha,\beta,\gamma$ について $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ を求めよ。
Q3. $1, -2, 4$ を解にもつ3次方程式（最高次の係数1）を求めよ。
Q4. $x^3 - 4x^2 + 2x - 5 = 0$ の3解 $\alpha,\beta,\gamma$ について $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$ を求めよ。
Q5. $x^3 - x^2 + 2x - 1 = 0$ の3解を $\alpha,\beta,\gamma$ とするとき、$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$ を求めよ。
$x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。次の値を求めよ。
(1) $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$
(2) $\dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} + \dfrac{1}{\gamma}$
(3) $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)$
解と係数の関係より $s_1 = 5, s_2 = 8, s_3 = 4$。
(1) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = s_1^2 - 2s_2 = 25 - 16 = 9$
(2) $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma} = \dfrac{s_2}{s_3} = \dfrac{8}{4} = 2$
(3) 元の方程式に $x = 1$ を代入すると $1 - 5 + 8 - 4 = 0$ なので $x = 1$ は解。
実は $x^3 - 5x^2 + 8x - 4 = (x-1)(x-2)^2$ と因数分解できるので $\alpha = 1, \beta = \gamma = 2$ とすると $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) = 0 \cdot 1 \cdot 1 = 0$。
別解：直接展開すると $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) = \alpha\beta\gamma - (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) + (\alpha+\beta+\gamma) - 1 = 4 - 8 + 5 - 1 = 0$
$x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。$\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ を解にもつ $t$ の3次方程式を求めよ。
$t = x^2$ すなわち $x = \pm\sqrt{t}$ を元の方程式に代入する。
$x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0$ を変形して
$$x^3 - 2x = -3x^2 - 1, \quad x(x^2 - 2) = -(3x^2 + 1)$$
両辺を2乗すると
$$x^2(x^2-2)^2 = (3x^2+1)^2$$
$t = x^2$ を代入して
$$t(t-2)^2 = (3t+1)^2$$
$$t(t^2 - 4t + 4) = 9t^2 + 6t + 1$$
$$t^3 - 4t^2 + 4t = 9t^2 + 6t + 1$$
$$t^3 - 13t^2 - 2t - 1 = 0$$
新しい方程式の解と係数の関係：$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = 13$。元の方程式の $s_1 = -3, s_2 = -2$ より $s_1^2 - 2s_2 = 9 + 4 = 13$。一致するので正しい。
$x^3 - 3x + 1 = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\alpha^3 + \beta^3 + \gamma^3$
(2) $\alpha^4 + \beta^4 + \gamma^4$
(3) $\alpha^5 + \beta^5 + \gamma^5$
$s_1 = 0, s_2 = -3, s_3 = -1$ である（$x^2$ の係数が $0$）。
ニュートンの恒等式 $p_k = s_1 p_{k-1} - s_2 p_{k-2} + s_3 p_{k-3}$ を用いる。$s_1 = 0$ なので $p_k = 3p_{k-2} - p_{k-3}$。
初期値：$p_0 = 3, \; p_1 = s_1 = 0, \; p_2 = s_1^2 - 2s_2 = 0 + 6 = 6$
(1) $p_3 = 3p_1 - p_0 = 3 \cdot 0 - 3 = -3$
検算：$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = s_1^3 - 3s_1 s_2 + 3s_3 = 0 - 0 + 3(-1) = -3$ ✓
(2) $p_4 = 3p_2 - p_1 = 3 \cdot 6 - 0 = 18$
(3) $p_5 = 3p_3 - p_2 = 3 \cdot (-3) - 6 = -15$
各解は $\alpha^3 = 3\alpha - 1$ を満たすので $\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 = 3(\alpha+\beta+\gamma) - 3 = 3 \cdot 0 - 3 = -3$。
$x^3 - 3x + 1 = 0$ の3つの実数解を $\alpha, \beta, \gamma$（$\alpha > \beta > \gamma$）とする。
(1) $\dfrac{1}{\alpha^2} + \dfrac{1}{\beta^2} + \dfrac{1}{\gamma^2}$ の値を求めよ。
(2) $\dfrac{\alpha}{\beta} + \dfrac{\beta}{\gamma} + \dfrac{\gamma}{\alpha}$ と $\dfrac{\alpha}{\gamma} + \dfrac{\gamma}{\beta} + \dfrac{\beta}{\alpha}$ の値をそれぞれ求めよ。
$s_1 = 0, s_2 = -3, s_3 = -1$ を用いる。
(1) $\dfrac{1}{\alpha^2}+\dfrac{1}{\beta^2}+\dfrac{1}{\gamma^2} = \dfrac{(\beta\gamma)^2+(\gamma\alpha)^2+(\alpha\beta)^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$
分子 $= s_2^2 - 2s_1 s_3 = 9 - 0 = 9$、分母 $= s_3^2 = 1$
$$\frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2} = 9$$
(2) $A = \dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\gamma}+\dfrac{\gamma}{\alpha}$, $B = \dfrac{\alpha}{\gamma}+\dfrac{\gamma}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}$ とおく。
$A + B = \dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\beta}{\gamma}+\dfrac{\gamma}{\beta}+\dfrac{\gamma}{\alpha}+\dfrac{\alpha}{\gamma}$
$= \dfrac{\alpha^2\gamma+\beta^2\alpha+\gamma^2\beta+\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha}{\alpha\beta\gamma}$
分子 $= s_1 s_2 - 3s_3 = 0 \cdot (-3) - 3(-1) = 3$ より $A + B = \dfrac{3}{-1} = -3$
$A \cdot B = \dfrac{\alpha^2\beta^2\gamma+\alpha\beta\gamma^2\alpha+\alpha\gamma\beta^2\alpha+\cdots}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}$
通分して $AB = \dfrac{\alpha^3(\beta^3+\gamma^3)+\beta^3(\gamma^3+\alpha^3)+\gamma^3(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}$ は複雑なので、直接計算する。
$AB = \dfrac{\alpha^2\beta}{\gamma} \cdot \dfrac{\alpha}{\gamma} + \cdots$ ではなく、次のように計算する。
$AB = \dfrac{(\alpha\beta)(\beta\gamma)(\gamma\alpha) \cdot \left(\dfrac{\alpha^2}{\alpha\beta \cdot \gamma\alpha} + \cdots\right)}{1}$ と整理しにくいので、別のアプローチをとる。
$\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\beta}{\gamma} \cdot \dfrac{\gamma}{\alpha} = 1$ より、$A$ の3項の積は $1$ である。同様に $B$ の3項の積も $1$。
$A$ は $\dfrac{\alpha}{\beta}, \dfrac{\beta}{\gamma}, \dfrac{\gamma}{\alpha}$ の和であり、これら3つの積は $1$。
2つずつの積の和：$\dfrac{\alpha}{\beta} \cdot \dfrac{\beta}{\gamma} + \dfrac{\beta}{\gamma} \cdot \dfrac{\gamma}{\alpha} + \dfrac{\gamma}{\alpha} \cdot \dfrac{\alpha}{\beta} = \dfrac{\alpha}{\gamma}+\dfrac{\beta}{\alpha}+\dfrac{\gamma}{\beta} = B$
したがって $\dfrac{\alpha}{\beta}, \dfrac{\beta}{\gamma}, \dfrac{\gamma}{\alpha}$ は $t^3 - At^2 + Bt - 1 = 0$ の3解。
同様に $\dfrac{\alpha}{\gamma}, \dfrac{\gamma}{\beta}, \dfrac{\beta}{\alpha}$ は $t^3 - Bt^2 + At - 1 = 0$ の3解。
元の方程式の解 $\alpha, \beta, \gamma$ について $\alpha = 2\cos\dfrac{2\pi}{9}$, $\beta = 2\cos\dfrac{8\pi}{9}$, $\gamma = 2\cos\dfrac{14\pi}{9}$ と表せることが知られている（$x = 2\cos\theta$ の置換による）。
$A + B = -3$ と $AB$ を求める。
$AB = \dfrac{\alpha^3\beta^3 + \beta^3\gamma^3 + \gamma^3\alpha^3 + \alpha^3\gamma^3 + \gamma^3\beta^3 + \beta^3\alpha^3 + 3\alpha^2\beta^2\gamma^2}{(\alpha\beta\gamma)^2}$
これは煩雑なので、ニュートンの恒等式で計算した $p_3 = -3$ を利用する。
$\alpha$ は $\alpha^3 = 3\alpha - 1$ を満たすので、$\dfrac{\alpha}{\beta}$ の3乗は $\dfrac{\alpha^3}{\beta^3} = \dfrac{3\alpha-1}{3\beta-1}$ を満たす。
ここでは $A+B = -3$ を用い、$AB$ を直接計算する。
$AB = \dfrac{\alpha^2}{\beta\gamma} + \dfrac{\beta^2}{\gamma\alpha} + \dfrac{\gamma^2}{\alpha\beta} + \dfrac{\alpha^2}{\gamma\beta} + \dfrac{\gamma^2}{\beta\alpha} + \dfrac{\beta^2}{\alpha\gamma} + 3$
$= \dfrac{2(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)}{\alpha\beta\gamma} + 3 = \dfrac{2 \cdot (-3)}{-1} + 3 = 6 + 3 = 9$
よって $A, B$ は $u^2 + 3u + 9 = 0$ の2解である。
$$u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2} = \frac{-3 \pm 3\sqrt{3}\,i}{2}$$
$$A = \frac{-3 + 3\sqrt{3}\,i}{2}, \quad B = \frac{-3 - 3\sqrt{3}\,i}{2}$$
（$A, B$ の対応は $\alpha > \beta > \gamma$ の順序から定まる。）
$\dfrac{\alpha}{\beta}+\dfrac{\beta}{\gamma}+\dfrac{\gamma}{\alpha}$ のような式は「巡回的だが対称的ではない」式の典型です。$\alpha, \beta, \gamma$ を入れ替えると別の値になるため、実数にならず複素数値をとります。こうした問題は、和と積を求めて2次方程式に帰着させるのが定石です。