$x^3 = 1$ の解は $x = 1$ だけではありません。複素数の範囲に目を向けると、3つの解が正三角形を描く美しい世界が見えてきます。
$\omega$ の性質を使いこなすことは、高次方程式や因数分解の強力な武器になります。
$x^3 = 1$ を満たす数、すなわち1の3乗根を求めましょう。実数の範囲では $x = 1$ しかありませんが、複素数の範囲では3つの解が存在します。
$$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$$
$x - 1 = 0$ より $x = 1$
$x^2 + x + 1 = 0$ より $x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2}$
$x^3 - 1$ は $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式で因数分解します。
こうして得られた3つの解のうち、虚数解の一方を $\omega$ とおきます。
$$\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$$
$x^3 = 1$ の3つの解は $1,\; \omega,\; \omega^2$ である。
$\omega$ はギリシャ文字で「オメガ」と読みます。
$\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ のとき、$\omega^2$ を計算してみましょう。
$$\omega^2 = \left(\frac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\sqrt{3}\,i + 3i^2}{4} = \frac{1 - 2\sqrt{3}\,i - 3}{4} = \frac{-2 - 2\sqrt{3}\,i}{4} = \frac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$$
確かに $\omega^2 = \dfrac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$ となり、もう一方の虚数解と一致します。
$\omega$ として $\dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ と $\dfrac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$ のどちらを選んでも構いません。どちらを $\omega$ としても、もう一方は $\omega^2$ となり、以下で述べる性質はすべて同じように成り立ちます。
慣例として $\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$（虚部が正の方）を選ぶことが多いです。
代数学の基本定理により、$n$ 次方程式は複素数の範囲で $n$ 個の解をもちます。$x^3 = 1$ は3次方程式ですから、3つの解をもつのは必然です。
複素平面上で見ると、$1, \omega, \omega^2$ は単位円上に等間隔（$120°$ ずつ）に並び、正三角形の頂点をなします。この幾何学的な美しさが $\omega$ の本質です。
$\omega$ は非常に多くの美しい性質をもちます。これらを整理しておきましょう。
性質1：$\omega^3 = 1$
性質2：$1 + \omega + \omega^2 = 0$
性質3：$\omega^2 = \bar{\omega}$（$\omega^2$ は $\omega$ の共役複素数）
性質4：$\omega \bar{\omega} = |\omega|^2 = 1$
性質2は最も重要な等式です。変形すると $\omega + \omega^2 = -1$、$\omega^2 = -1 - \omega$ なども得られます。
$\omega$ は $x^3 = 1$ の解として定義されたので、$\omega^3 = 1$ は定義そのものです。■
$x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0$ において、$\omega$ は $x^2 + x + 1 = 0$ の解であるから
$$\omega^2 + \omega + 1 = 0$$
すなわち $1 + \omega + \omega^2 = 0$ が成り立つ。■
$\omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$ より $\bar{\omega} = \dfrac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$
セクション1で計算したとおり $\omega^2 = \dfrac{-1 - \sqrt{3}\,i}{2}$ であるから、$\omega^2 = \bar{\omega}$ が成り立つ。■
$\omega \bar{\omega} = \omega \cdot \omega^2 = \omega^3 = 1$ より $|\omega|^2 = \omega \bar{\omega} = 1$。■
直接計算でも確認できます：$|\omega|^2 = \left(\dfrac{-1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1$
この等式は「1の3乗根の和が $0$」であることを表しています。複素平面上で $1, \omega, \omega^2$ は正三角形の頂点であり、その重心（位置ベクトルの平均）が原点になることと対応しています。
対称性のある方程式の解の和が $0$ になるという美しい事実は、1の$n$乗根にも一般化されます。
計算で頻出するのは以下の変形です。状況に応じて使い分けましょう。
$\omega^2 = -1 - \omega$（$\omega^2$ を消去したいとき）
$\omega = -1 - \omega^2$（$\omega$ を消去したいとき）
$\omega + \omega^2 = -1$（$\omega + \omega^2$ をまとめたいとき）
$\omega \cdot \omega^2 = \omega^3 = 1$（積を簡単にしたいとき）
$\omega^3 = 1$ であることから、$\omega$ の累乗は周期3で循環します。この性質が計算を大幅に簡単にします。
任意の整数 $n$ に対して
$$\omega^n = \omega^{n \bmod 3}$$
すなわち、指数を3で割った余りだけを見ればよい。
| $n$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\omega^n$ | $1$ | $\omega$ | $\omega^2$ | $1$ | $\omega$ | $\omega^2$ | $1$ | $\omega$ |
| $n \bmod 3$ | $0$ | $1$ | $2$ | $0$ | $1$ | $2$ | $0$ | $1$ |
例1：$\omega^{100}$ の値を求める。
$100 = 3 \times 33 + 1$ より $\omega^{100} = \omega^1 = \omega = \dfrac{-1 + \sqrt{3}\,i}{2}$
例2：$\omega^{-1}$ の値を求める。
$\omega^3 = 1$ の両辺を $\omega$ で割って $\omega^2 = \dfrac{1}{\omega}$ すなわち $\omega^{-1} = \omega^2$
例3：$(1 + \omega)^3$ の値を求める。
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ より $1 + \omega = -\omega^2$ であるから
$$(1 + \omega)^3 = (-\omega^2)^3 = -\omega^6 = -({\omega^3})^2 = -1^2 = -1$$
例4：$\omega^2 + \omega^4 + \omega^6 + \cdots + \omega^{60}$ の値を求める。
$\omega^{2k}$ の値は $k \bmod 3$ によって $1, \omega^2, \omega$ を繰り返します。$k = 1, 2, \ldots, 30$ で、各値が10回ずつ現れるので
$$= 10(1 + \omega^2 + \omega) = 10 \times 0 = 0$$
✗ $\omega^4 = \omega \cdot \omega^3 = \omega \cdot 1 = \omega$ を毎回直接計算する
✓ $4 \bmod 3 = 1$ だから $\omega^4 = \omega^1 = \omega$（余りで即座に判定）
$i$ の累乗が周期4であったのと同様に、$\omega$ の累乗は周期3です。指数を3で割った余りに着目する習慣をつけましょう。
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ を使うと、$\omega$ の累乗の総和を簡単に計算できます。$\omega^n$ の項が3の倍数個あれば、3つずつグループ化して和を $0$ にする、というのが基本テクニックです。
$\omega$ を用いると、実数の範囲では因数分解できない式を複素数の範囲で因数分解できます。これは方程式論における強力なツールです。
公式1：$x^2 + x + 1 = (x - \omega)(x - \omega^2)$
公式2：$x^2 + xy + y^2 = (x - \omega y)(x - \omega^2 y)$
公式3：$x^3 - 1 = (x - 1)(x - \omega)(x - \omega^2)$
公式4：$x^3 - y^3 = (x - y)(x - \omega y)(x - \omega^2 y)$
公式1は $x^2 + x + 1 = 0$ の解が $\omega, \omega^2$ であることから直ちに従います。公式2は $x^2 + xy + y^2$ を $y^2\left[\left(\dfrac{x}{y}\right)^2 + \dfrac{x}{y} + 1\right]$ と見ることで公式1に帰着します。
$(x - \omega y)(x - \omega^2 y)$ を展開して確認しましょう。
$$(x - \omega y)(x - \omega^2 y) = x^2 - \omega^2 xy - \omega xy + \omega^3 y^2$$
$$= x^2 - (\omega + \omega^2)xy + \omega^3 y^2$$
$$= x^2 - (-1)xy + 1 \cdot y^2 = x^2 + xy + y^2$$
$\omega + \omega^2 = -1$ と $\omega^3 = 1$ を使って見事に整理されます。
$x^3 + y^3 = x^3 - (-y)^3$ と見れば
$$x^3 + y^3 = (x + y)(x + \omega y)(x + \omega^2 y)$$
ここで $-(-y) = y$、$-\omega(-y) = \omega y$、$-\omega^2(-y) = \omega^2 y$ としました（$-y$ を $y$ に置き換え）。
$x^2 + xy + y^2 = \left(x + \dfrac{y}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}y^2 \geq 0$ であり、$x = y = 0$ 以外では常に正です。実数の範囲で1次式の積に因数分解できるならば値が $0$ になる点が直線上に存在するはずですが、原点以外に $0$ となる点がないので、実数の範囲では因数分解できません。
複素数 $\omega$ を導入することで初めて、$(x - \omega y)(x - \omega^2 y)$ という因数分解が可能になるのです。
有名な等式 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ も $\omega$ を使うとさらに分解できます。
$$a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a + \omega b + \omega^2 c)(a + \omega^2 b + \omega c)$$
これは $\omega$ の対称性が生み出す美しい結果です。
1の3乗根の理論は、$x^n = 1$ の解（1の$n$乗根）へと自然に一般化されます。
$x^n = 1$ の $n$ 個の解は次で与えられる。
$$x = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n-1)$$
$\zeta = \cos\dfrac{2\pi}{n} + i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ とおくと、$n$ 個の解は $1, \zeta, \zeta^2, \ldots, \zeta^{n-1}$ と表される。
$n = 3$ のとき、$\zeta = \cos\dfrac{2\pi}{3} + i\sin\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i = \omega$ となり、確かに $\omega$ と一致します。
1の$n$乗根は複素平面上で単位円に内接する正$n$角形の頂点に対応します。
$$1 + \zeta + \zeta^2 + \cdots + \zeta^{n-1} = 0 \quad (n \geq 2)$$
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ の一般化です。等比数列の和の公式 $\dfrac{\zeta^n - 1}{\zeta - 1} = \dfrac{1 - 1}{\zeta - 1} = 0$ からも示せます（$\zeta \neq 1$）。
1の$n$乗根はド・モアブルの定理 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ を使って系統的に求められます。$\cos\theta + i\sin\theta$ の形は複素数の極形式と呼ばれ、数学IIIで詳しく学びます。
$\omega$ の議論は、極形式・ド・モアブルの定理・オイラーの公式へと続く壮大な理論の入口です。
1の$n$乗根が作る群は巡回群 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ と同型であり、群論の基本的な例です。また、$n$ 次の円分多項式（cyclotomic polynomial）は整数論や代数的整数論において中心的な役割を果たします。ガウスが正17角形の作図可能性を証明した有名な結果も、1の$n$乗根の理論に基づいています。
Q1. $\omega^{2026}$ の値を求めよ。
Q2. $1 + \omega + \omega^2$ の値を答えよ。
Q3. $(1 + \omega^2)^6$ の値を求めよ。
Q4. $\omega^{-1}$ を $\omega$ を用いて表せ。
Q5. $x^2 + xy + y^2$ を $\omega$ を用いて因数分解せよ。
$\omega$ を1の虚数3乗根とするとき、次の値を求めよ。
(1) $\omega^{50} + \omega^{100}$
(2) $(1 - \omega)(1 - \omega^2)$
(3) $\dfrac{1}{1+\omega} + \dfrac{1}{1+\omega^2}$
(1) $50 = 3 \times 16 + 2$ より $\omega^{50} = \omega^2$
$100 = 3 \times 33 + 1$ より $\omega^{100} = \omega$
$\omega^{50} + \omega^{100} = \omega^2 + \omega = -1$
(2) $1 + \omega + \omega^2 = 0$ より $1 + \omega = -\omega^2$、$1 + \omega^2 = -\omega$ であるから
$(1-\omega)(1-\omega^2) = 1 - \omega^2 - \omega + \omega^3 = 1 - (\omega + \omega^2) + 1 = 1 - (-1) + 1 = 3$
(3) $\dfrac{1}{1+\omega} = \dfrac{1}{-\omega^2} = -\omega^{-2} = -\omega$（$\omega^{-2} = \omega^{3-2} = \omega$）
$\dfrac{1}{1+\omega^2} = \dfrac{1}{-\omega} = -\omega^{-1} = -\omega^2$
$-\omega + (-\omega^2) = -(\omega + \omega^2) = -(-1) = 1$
$\omega$ を1の虚数3乗根とするとき、$(1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2)$ の値を求めよ。
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ を用いて各因子を変形する。
$1 - \omega + \omega^2 = (1 + \omega + \omega^2) - 2\omega = 0 - 2\omega = -2\omega$
$1 + \omega - \omega^2 = (1 + \omega + \omega^2) - 2\omega^2 = 0 - 2\omega^2 = -2\omega^2$
よって
$(-2\omega)(-2\omega^2) = 4\omega^3 = 4 \times 1 = 4$
$\omega = \dfrac{-1+\sqrt{3}\,i}{2}$ とする。整数 $n$ に対して $1^n + \omega^n + \omega^{2n}$ の値を求めよ。
$n$ を3で割った余りで場合分けする。
(i) $n$ が3の倍数のとき（$n = 3m$）：
$\omega^n = \omega^{3m} = (\omega^3)^m = 1$、$\omega^{2n} = \omega^{6m} = (\omega^3)^{2m} = 1$
$1 + 1 + 1 = 3$
(ii) $n$ が3の倍数でないとき：
$\alpha = \omega^n$ とおくと、$\alpha^3 = \omega^{3n} = (\omega^3)^n = 1$ かつ $\alpha \neq 1$（$n$ が3の倍数でないので $\omega^n \neq 1$）
よって $\alpha$ は1の虚数3乗根であり、$1 + \alpha + \alpha^2 = 0$
$1 + \omega^n + \omega^{2n} = 1 + \alpha + \alpha^2 = 0$
以上より
$$1^n + \omega^n + \omega^{2n} = \begin{cases} 3 & (n \text{ が3の倍数のとき}) \\ 0 & (n \text{ が3の倍数でないとき}) \end{cases}$$
この結果は「1の3乗根によるフィルター」と呼ばれ、数列の3つ飛ばしの和を求める際に威力を発揮します。例えば $(1+x)^n$ の展開において $x^0 + x^3 + x^6 + \cdots$ の係数の和を求めるのに使えます。
$\omega$ を1の虚数3乗根とするとき、次の値を求めよ。
$$(1 + \omega)(1 + \omega^2)(1 + \omega^4)(1 + \omega^8)$$
まず各因子の $\omega$ の指数を3で割った余りに変換する。
$\omega^4 = \omega^{3+1} = \omega$、$\omega^8 = \omega^{6+2} = \omega^2$
よって
$(1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega^4)(1+\omega^8) = (1+\omega)(1+\omega^2)(1+\omega)(1+\omega^2)$
$= \{(1+\omega)(1+\omega^2)\}^2$
$(1+\omega)(1+\omega^2)$ を計算する。$1+\omega+\omega^2 = 0$ より $1+\omega = -\omega^2$、$1+\omega^2 = -\omega$ であるから
$(1+\omega)(1+\omega^2) = (-\omega^2)(-\omega) = \omega^3 = 1$
したがって
$$\{(1+\omega)(1+\omega^2)\}^2 = 1^2 = 1$$
$(1+\omega)(1+\omega^2) = 1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 = 0 + 1 = 1$ と直接展開して計算しても同じ結果が得られます。$\omega$ の累乗の周期性を活かして指数を簡約化するのが第一歩です。