不等式の証明は、数学のあらゆる場面で登場する最重要テクニックです。
「$A \geq B$ を示すには $A - B \geq 0$ を示す」── この基本原理を徹底的にマスターしましょう。
$A \geq B$（または $A > B$）を証明するには、主に2つの方法があります。
方法1（差を作る）：$A - B \geq 0$ を示す ← 最重要！
方法2（同値変形）：$A \geq B \iff \cdots \iff$ （既知の不等式）
差 $A - B$ を計算し、それが $\geq 0$ であることを（実数）${}^2 \geq 0$ などを利用して示すのが基本戦略です。
実数 $x$ に対して、$x^2 \geq 0$（等号は $x = 0$）
この単純な事実が、不等式の証明のほとんどの出発点です。
$a^2 + b^2 \geq 2ab$ を証明せよ。
$a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \geq 0$
よって $a^2 + b^2 \geq 2ab$。等号は $a = b$ のとき成立。 ■
不等式の証明の核心は「差を完全平方式に変形する」ことです。差 $A - B$ を $(\text{何か})^2$ や $(\text{何か})^2 + (\text{何か})^2$ の形にできれば、$\geq 0$ が自動的に示せます。この「完全平方式への変形」こそが技術の見せ所です。
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ を証明せよ。
$$2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ca) = (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$$
よって $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$。等号は $a = b = c$。 ■
$a > 0$ のとき、$a + \dfrac{1}{a} \geq 2$ を証明せよ。
$a + \dfrac{1}{a} - 2 = \dfrac{a^2 + 1 - 2a}{a} = \dfrac{(a-1)^2}{a}$
$a > 0$ より $\dfrac{(a-1)^2}{a} \geq 0$。よって $a + \dfrac{1}{a} \geq 2$。
等号は $a = 1$。 ■
✗ $a + \dfrac{1}{a} \geq 2$ を $a$ の符号条件なしで使う
✓ $a > 0$ の条件が必須。$a < 0$ では $a + \dfrac{1}{a} \leq -2$
分母の符号に注意しましょう。不等式の両辺に負の数を掛けると不等号の向きが変わります。
$x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + yz$ を証明せよ。
左辺 $-$ 右辺 $= x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz$
$= x^2 - xy + \dfrac{y^2}{4} + \dfrac{3y^2}{4} - yz + \dfrac{z^2}{3} \cdot 3 + \cdots$
別の方法で：
$$2(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz) = 2x^2 - 2xy + y^2 + y^2 - 2yz + z^2 + z^2$$ $$= (x-y)^2 + x^2 + (y-z)^2 + z^2 \geq 0$$よって成立。等号は $x = y, x = 0, y = z, z = 0$ すなわち $x = y = z = 0$。 ■
2次式を完全平方の和に分解する際、「$2$ 倍して整理する」技法が有効です。$2(A - B)$ を計算すると、交差項が偶数になって $( )^2$ の形を作りやすくなります。
「$a > 0, b > 0$ のとき」「$a + b = 1$ のとき」のような条件がある場合の証明法です。
方法A：条件を使って文字を減らす（$b = 1 - a$ の代入など）
方法B：条件から導かれる符号情報を利用（$a > 0$ なら分母に使える）
方法C：条件式を不等式に「足す」（$a + b = 1 > 0$ を利用）
$a + b = 1$ のとき、$a^2 + b^2 \geq \dfrac{1}{2}$ を証明せよ。
方法A（文字消去）：$b = 1 - a$ を代入
$a^2 + (1-a)^2 = 2a^2 - 2a + 1 = 2\left(a - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{2} \geq \dfrac{1}{2}$
等号は $a = \dfrac{1}{2}$、すなわち $a = b = \dfrac{1}{2}$。 ■
方法B（$a^2 + b^2 \geq 2ab$ の利用）：
$a^2 + b^2 \geq 2ab$ かつ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 1$ より
$a^2 + b^2 = 1 - 2ab \geq 1 - (a^2 + b^2)$
$2(a^2 + b^2) \geq 1$、$a^2 + b^2 \geq \dfrac{1}{2}$。 ■
条件つき不等式では、「条件は自由度を制限する」と考えましょう。$a + b = 1$ という条件は、2変数の問題を実質1変数にします。自由度が下がれば2次関数の最小値問題に帰着でき、不等式が示せます。
不等式 $A \geq B$ を証明したら、等号がいつ成り立つかを述べることが大切です。
差 $A - B$ を $(\text{何か})^2$ の形にしたとき、等号は $(\text{何か}) = 0$ のとき成立。
複数の完全平方の和なら、すべての平方が同時に $0$ になる条件を求める。
✗ 等号条件を書き忘れる
✓ $\geq$ の証明では必ず「等号は ○○ のとき成立」と明記する
✗ 複数条件のうち一部だけ確認する
✓ すべての平方 $= 0$ が同時成立するか確認
$a > 0, b > 0, a \neq b$ のとき $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} > 2$ を証明せよ。
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 = \dfrac{a^2 + b^2 - 2ab}{ab} = \dfrac{(a-b)^2}{ab}$
$a > 0, b > 0$ より $ab > 0$。$a \neq b$ より $(a-b)^2 > 0$。
したがって $\dfrac{(a-b)^2}{ab} > 0$、すなわち $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} > 2$。 ■
$a \neq b$ の条件があるため、等号は成立しません（$>$ が証明できている）。
| パターン | 手法 | 具体例 |
|---|---|---|
| 差が完全平方 | $A - B = (\cdots)^2 \geq 0$ | $a^2 + b^2 \geq 2ab$ |
| 2倍して平方和 | $2(A-B) = \Sigma(\cdots)^2$ | $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ |
| 分母の符号利用 | $\dfrac{(\cdots)^2}{\text{正}} \geq 0$ | $a+\dfrac{1}{a} \geq 2$（$a>0$） |
| 条件で文字消去 | 1変数に帰着 → 2次関数 | $a+b=1$ で $a^2+b^2 \geq \frac{1}{2}$ |
実数体 $\mathbb{R}$ は順序体であり、「任意の $x \in \mathbb{R}$ に対して $x^2 \geq 0$」は順序体の基本的な性質です。
逆に、すべての不等式の証明は最終的に「実数の2乗 $\geq 0$」に帰着できます（半正定値性）。大学の線形代数では、これが「正定値2次形式」として一般化されます。
ここで学ぶ「差を平方の和に分解する」技術は、大学の内積空間の理論に直結します。コーシー・シュワルツの不等式や三角不等式も、すべて内積の正定値性（$\langle x, x \rangle \geq 0$）に帰着します。高校での $(a-b)^2 \geq 0$ は、最も単純な内積空間での議論なのです。
Q1. $a^2 + b^2 \geq 2ab$ の等号成立条件は？
Q2. $a > 0$ のとき $a + \dfrac{4}{a}$ の最小値は？
Q3. $x + y = 4$ のとき $xy$ の最大値は？
Q4. $a^2 + 4b^2 \geq \square ab$ の $\square$ に入る最大の正の整数は？
Q5. 不等式の証明で「差を作る」ことが基本である理由は？
次の不等式を証明せよ。また等号成立条件を述べよ。
$$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$$
$$2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$$
$$= (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2)$$
$$= (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \geq 0$$
よって $a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$。
等号は $(a-b)^2 = (b-c)^2 = (c-a)^2 = 0$、すなわち $a = b = c$ のとき成立。 ■
$a > 0, b > 0$ のとき、次の不等式を証明せよ。
$$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{a^2} \geq 4$$
$t = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}$ とおく。$a > 0, b > 0$ より $t \geq 2$（等号 $a = b$）。
$\dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} = \left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\right)^2 - 2 = t^2 - 2$
よって左辺 $= t + t^2 - 2 = t^2 + t - 2 = (t-1)(t+2)$
$t \geq 2$ より $t - 1 \geq 1 > 0$、$t + 2 \geq 4 > 0$。
したがって左辺 $= (t-1)(t+2) \geq 1 \cdot 4 = 4$。
等号は $t = 2$、すなわち $a = b$ のとき成立。 ■
左辺 $-4 = \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - 2 + \dfrac{a^2}{b^2} + \dfrac{b^2}{a^2} - 2 = \dfrac{(a-b)^2}{ab} + \dfrac{(a^2-b^2)^2}{a^2b^2} \geq 0$。 ■
$a + b + c = 1$ のとき、$a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{1}{3}$ を証明せよ。
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$（問題1の結果）より
$(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \leq a^2 + b^2 + c^2 + 2(a^2+b^2+c^2) = 3(a^2+b^2+c^2)$
$a + b + c = 1$ より $1 \leq 3(a^2+b^2+c^2)$。
したがって $a^2 + b^2 + c^2 \geq \dfrac{1}{3}$。
等号は $a = b = c = \dfrac{1}{3}$ のとき成立。 ■
コーシー・シュワルツの不等式 $(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2) \geq (a+b+c)^2$ より
$3(a^2+b^2+c^2) \geq 1$。よって $a^2+b^2+c^2 \geq \dfrac{1}{3}$。
$a, b, c$ が実数で $a + b + c = 3$ のとき、次の2つの不等式を証明せよ。
(1) $a^2 + b^2 + c^2 \geq 3$
(2) $ab + bc + ca \leq 3$
$a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca$ …(*) は既に示した。
$(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 9$ …(**)
(1) の証明：
(*) より $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ なので (**) に代入：
$9 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \leq a^2+b^2+c^2 + 2(a^2+b^2+c^2) = 3(a^2+b^2+c^2)$
よって $a^2+b^2+c^2 \geq 3$。等号は $a = b = c = 1$。 ■
(2) の証明：
(*) より $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ なので (**) に代入：
$9 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \geq ab+bc+ca + 2(ab+bc+ca) = 3(ab+bc+ca)$
よって $ab+bc+ca \leq 3$。等号は $a = b = c = 1$。 ■