複素数平面の総合問題（2）
数学Cの最終記事として、複素数平面の全範囲を横断する総合問題に挑戦します。極形式・ド・モアブルの定理・n乗根・図形への応用・軌跡・漸化式など、これまで学んだすべての知識を動員して解く入試レベルの問題を集めました。
1複素数平面の重要公式の総整理
総合問題に取り組む前に、複素数平面で用いる主要な公式・定理を一覧にまとめます。
【極形式】 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$
【積・商】 $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$, $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$
【ド・モアブル】 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$
【n乗根】 $z^n = \alpha$ の解は $z_k = \sqrt[n]{|\alpha|}\, e^{i(\arg\alpha + 2k\pi)/n}$
【共役】 $|z|^2 = z\bar{z}$, $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$
【距離】 $|z_1 - z_2|$
【中点】 $\dfrac{z_1 + z_2}{2}$ 【重心】 $\dfrac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$
【3点共線】 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ が実数
【垂直】 $\dfrac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ が純虚数
【正三角形】 $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$
総合問題での方針の立て方
総合問題では、まず何が与えられ何を求めるかを整理し、極形式に直すべきか成分表示が良いかを判断します。
- 回転・拡大が絡む → 極形式が有利
- 実部・虚部の条件が与えられている → $z = x + yi$ の成分表示
- 図形の性質を問う → 複素数の商 $\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ を活用
- 方程式の解との関連 → 根と係数の関係を活用
2極形式・ド・モアブルの定理の総合
ド・モアブルの定理は三角関数の $n$ 倍角の公式を導くだけでなく、複素数の冪乗の計算やn乗根との組み合わせで様々な問題に応用されます。
三角関数の恒等式への応用
ド・モアブルの定理 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ の左辺を二項定理で展開し、実部と虚部を比較すると $\cos n\theta$, $\sin n\theta$ を $\cos\theta$, $\sin\theta$ の多項式で表せます。
①左辺を二項定理で展開する
②$i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$ で整理する
③実部の比較 → $\cos n\theta$ の公式
④虚部の比較 → $\sin n\theta$ の公式
累乗と絶対値
$z = re^{i\theta}$ のとき $z^n = r^n e^{in\theta}$ なので、$|z^n| = r^n = |z|^n$ かつ $\arg z^n = n\theta = n\arg z$（$\bmod\, 2\pi$）です。
この関係は「$|z| < 1$ なら $z^n \to 0$」「$|z| > 1$ なら $|z^n| \to \infty$」という極限の議論にもつながります。
✗ $\arg z^2 = 2\arg z$ として $\arg z^2$ の範囲を考慮しない
✓ $\arg z$ を $0 \leq \theta < 2\pi$ などの主値で定義しているとき、$2\theta$ が $2\pi$ を超える場合は $2\pi$ で割った余りをとる
3図形と複素数の総合
複素数平面上の幾何学では、回転・拡大・対称移動などの変換を複素数の演算で表現できることが最大の強みです。
回転と相似
点 $z$ を点 $c$ を中心に角 $\theta$ 回転し $k$ 倍に拡大する変換は：
$$w - c = ke^{i\theta}(z - c)$$
つまり $w = ke^{i\theta}(z - c) + c$ です。$k = 1$ なら純粋な回転、$\theta = 0$ なら純粋な拡大です。
反転（逆数変換）
$w = \frac{1}{\bar{z}}$ は単位円に関する反転です。$|z| = r$ の点は $|w| = \frac{1}{r}$ の点に写り、偏角は保存されます。直線と円を入れ替える性質があり、幾何学的に重要です。
原点を通る直線は原点を通る直線に写る。原点を通らない直線は原点を通らない円に写る。原点を通る円は原点を通らない直線に写る。原点を通らない円は原点を通らない円に写る。
一次分数変換
$w = \frac{az + b}{cz + d}$（$ad - bc \neq 0$）の形の変換を一次分数変換（メビウス変換）といいます。円と直線を円と直線に写す性質をもち、複素数平面の総合問題でしばしば登場します。
・$w = \alpha z + \beta$ → 回転拡大＋平行移動（合同・相似変換）
・$w = \frac{az+b}{cz+d}$ → 一次分数変換（円円対応）
・$w = z^2$ → 角度2倍化、距離2乗化
問題中の変換がどの型に当たるかを最初に判別しましょう。
4漸化式・軌跡との融合
複素数漸化式の解法
$z_{n+1} = \alpha z_n + \beta$ の形の漸化式は、特殊解 $z^* = \frac{\beta}{1 - \alpha}$（$\alpha \neq 1$）を求めて $w_n = z_n - z^*$ とおくと $w_{n+1} = \alpha w_n$ となり、等比型に帰着します。
$$z_n = \alpha^n(z_0 - z^*) + z^* = \alpha^n z_0 + \frac{(1 - \alpha^n)\beta}{1 - \alpha}$$
軌跡の求め方
$z$ がある条件を満たしながら動くとき、$w = f(z)$ で定まる点 $w$ の軌跡を求める問題です。
① $z$ の動く範囲を明確にする（例：$|z| = 1$, $\arg z = \theta$ ($0 \leq \theta < 2\pi$)）
② $w = f(z)$ に $z$ のパラメータ表示を代入する
③ $w$ の実部・虚部を求めてパラメータを消去する
④ 軌跡の方程式を得る
$|z| = 1$ 上の点の変換
$z$ が単位円上を動くとき、$\bar{z} = \frac{1}{z}$ が使えます。$w = z + \frac{1}{z}$ とおくと、$z = e^{i\theta}$ のとき $w = 2\cos\theta$ となり、$w$ は実軸上の区間 $[-2, 2]$ を動きます。
$w = z + \frac{a}{z}$（$a$ は実数）の場合は、$w = (r + \frac{a}{r})\cos\theta + i(r - \frac{a}{r})\sin\theta$ となり、$r = |z|$ が一定のとき楕円を描きます（ジューコフスキー変換）。
✗ パラメータ消去で得た方程式だけを答える
✓ $\theta$ の範囲から $w$ が方程式の曲線全体を動くのか一部なのかを確認する
「円の一部」「線分」になるケースに注意しましょう。
5分野横断の総合問題
入試の総合問題では、複素数平面の知識に加えて、三角関数・ベクトル・微積分・数列など他分野の知識が求められます。
複素数と面積
2つの複素数 $z_1, z_2$ が作る平行四辺形の面積は $|\text{Im}(z_1 \bar{z}_2)|$ で計算でき、$\triangle O z_1 z_2$ の面積はその半分です。
$$S_{\triangle} = \frac{1}{2}|\text{Im}(z_1 \bar{z}_2)| = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1|$$
複素数と整数論
ガウス整数（実部・虚部がともに整数である複素数）の世界では、$|z|^2 = a^2 + b^2$ が整数の2乗の和として表されるかどうかが重要になります。入試ではガウス整数の素因数分解に関連する問題が出題されることがあります。
① まず問題構造を把握：「何が動き、何が固定か」を見極める
② 使う道具を選ぶ：極形式か成分表示か、変換の型は何か
③ 中間結果を可視化：計算途中で複素数平面上の図を描く
④ 検算：特殊な値（$\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$）を代入して確認
・「漸化式＋極限」：$|z| < 1$ の回転で渦巻き的に収束
・「n乗根＋面積」：正n角形の面積を求める
・「軌跡＋最大最小」：$w = f(z)$ の軌跡上で $|w|$ の最大最小
・「ド・モアブル＋数列」：$\cos n\theta$ の漸化式
まとめ
- 極形式の活用：回転・拡大は $ke^{i\theta}$ の掛け算。ド・モアブルの定理で冪乗を計算。
- 図形判定の道具：$\frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ の絶対値と偏角が辺の比と角度を与える。
- 変換の分類：合同・相似変換、一次分数変換など、変換の型を見抜くことが問題の鍵。
- 漸化式と軌跡：$z_{n+1} = \alpha z_n + \beta$ は等比型に帰着。$|z| = 1$ 上の変換ではパラメータ表示が有効。
- 分野横断：面積、整数論、数列の極限など他分野との融合に対応できる柔軟性が重要。
確認テスト
Q1. $z = 1 + i$ の極形式を答えよ。
Q2. 点 $z$ を原点中心に $90°$ 回転した点を複素数で表せ。
Q3. $z_1 = 1$, $z_2 = i$ とするとき、$\triangle Oz_1z_2$ の面積を求めよ。
Q4. $z_{n+1} = iz_n$, $z_0 = 1$ のとき、$z_4$ の値は？
Q5. $z$ が単位円上を動くとき、$w = z + \frac{1}{z}$ の軌跡を述べよ。
入試問題演習
$z = \dfrac{1 + \sqrt{3}i}{1 - i}$ を極形式で表し、$z^{12}$ の値を求めよ。
解答
$z = \sqrt{2}\,e^{i \cdot 5\pi/12}$, $z^{12} = 64$
解説
$1 + \sqrt{3}i = 2e^{i\pi/3}$, $1 - i = \sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}$。
$z = \frac{2e^{i\pi/3}}{\sqrt{2}\,e^{-i\pi/4}} = \sqrt{2}\,e^{i(\pi/3 + \pi/4)} = \sqrt{2}\,e^{i \cdot 7\pi/12}$。
$z^{12} = (\sqrt{2})^{12} e^{i \cdot 12 \cdot 7\pi/12} = 2^6 \cdot e^{i \cdot 7\pi} = 64 \cdot e^{i\pi} = 64 \cdot (-1) = -64$。
【修正】$e^{i \cdot 7\pi} = e^{i\pi} = -1$（$7\pi = 3 \cdot 2\pi + \pi$）なので $z^{12} = -64$。
再確認：$\arg z = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{12}$。
$z^{12} = 2^6 e^{i \cdot 7\pi} = 64(-1) = -64$。
複素数の数列 $\{z_n\}$ が $z_0 = 2$, $z_{n+1} = \frac{1+i}{2}z_n + 1$ を満たす。
(1) $\lim_{n \to \infty} z_n$ を求めよ。
(2) $z_n$ の表す点が描く軌跡の概形を述べよ。
解答
(1) $\dfrac{2+2i}{1+i} = \dfrac{2(1+i)}{1+i} \cdot \dfrac{2}{1-\frac{1+i}{2}}$... 特殊解を求める。
$z^* = \frac{1}{1 - \frac{1+i}{2}} = \frac{1}{\frac{1-i}{2}} = \frac{2}{1-i} = \frac{2(1+i)}{2} = 1 + i$
$\lim_{n \to \infty} z_n = 1 + i$
(2) 点 $1 + i$ を中心とする渦巻き（螺旋状に収束する）
解説
(1) $\alpha = \frac{1+i}{2}$ とおく。$|\alpha| = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$。
特殊解：$z^* = \alpha z^* + 1$ より $z^* = \frac{1}{1-\alpha} = \frac{1}{1 - \frac{1+i}{2}} = \frac{2}{1-i} = 1+i$。
$w_n = z_n - z^*$ とおくと $w_{n+1} = \alpha w_n$ なので $w_n = \alpha^n w_0$。
$w_0 = z_0 - z^* = 2 - (1+i) = 1 - i$。
$|\alpha| < 1$ より $|w_n| = |\alpha|^n|w_0| \to 0$ なので $z_n \to z^* = 1 + i$。
(2) $\arg\alpha = \frac{\pi}{4}$ より、各ステップで $45°$ 回転しつつ距離が $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になる。よって $z_n$ は点 $1+i$ を中心に反時計回りの渦巻き（対数螺旋）を描きながら $1+i$ に収束する。
$|z| = 2$ のとき、$w = z + \frac{4}{z}$ が描く曲線を求め、その曲線で囲まれる面積を求めよ。
解答
曲線は実軸上の線分 $[-4, 4]$。囲む面積は $0$。
解説
$z = 2e^{i\theta}$ とおくと $\frac{4}{z} = \frac{4}{2e^{i\theta}} = 2e^{-i\theta}$。
$w = 2e^{i\theta} + 2e^{-i\theta} = 2(\cos\theta + i\sin\theta) + 2(\cos\theta - i\sin\theta) = 4\cos\theta$
よって $w$ は実数で $-4 \leq w \leq 4$ の範囲を動く。軌跡は実軸上の線分。
線分は面積をもたない（$0$）。
注：$|z| = r \neq 2$ のとき $w = re^{i\theta} + \frac{4}{r}e^{-i\theta}$ で楕円になるが、$r = 2$ のときに楕円が潰れて線分になる。
$n$ を3以上の整数とし、$\omega = e^{i \cdot 2\pi/n}$ とする。正 $n$ 角形の頂点を $P_k$（$P_k$ に対応する複素数を $\omega^k$, $k = 0, 1, \ldots, n-1$）とする。
(1) $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}|\omega^k - 1|^2$ を求めよ。
(2) $\displaystyle\sum_{0 \leq j < k \leq n-1}|\omega^j - \omega^k|^2$ を求めよ。
解答
(1) $2n$ (2) $n^2$
解説
(1) $|\omega^k - 1|^2 = (\omega^k - 1)\overline{(\omega^k - 1)} = (\omega^k - 1)(\omega^{-k} - 1)$
$= \omega^k \cdot \omega^{-k} - \omega^k - \omega^{-k} + 1 = 2 - (\omega^k + \omega^{-k})$
$\sum_{k=0}^{n-1}|\omega^k - 1|^2 = \sum_{k=0}^{n-1}\left[2 - (\omega^k + \omega^{-k})\right] = 2n - \sum_{k=0}^{n-1}\omega^k - \sum_{k=0}^{n-1}\omega^{-k} = 2n - 0 - 0 = 2n$
(2) $\sum_{0 \leq j < k \leq n-1}|\omega^j - \omega^k|^2 = \frac{1}{2}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}|\omega^j - \omega^k|^2 - \frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}|\omega^k - \omega^k|^2$
$= \frac{1}{2}\sum_{j=0}^{n-1}\sum_{k=0}^{n-1}|\omega^j - \omega^k|^2$
$|\omega^j - \omega^k|^2 = |\omega^j|^2 + |\omega^k|^2 - \omega^j\overline{\omega^k} - \overline{\omega^j}\omega^k = 2 - \omega^{j-k} - \omega^{k-j}$
$\sum_j\sum_k |\omega^j - \omega^k|^2 = \sum_j\sum_k[2 - \omega^{j-k} - \omega^{k-j}]$
$= 2n^2 - \sum_j\left(\sum_k\omega^{j-k}\right) - \sum_j\left(\sum_k\omega^{k-j}\right)$
$\sum_k\omega^{j-k} = \omega^j \sum_k\omega^{-k} = \omega^j \cdot 0 = 0$（$j$ を固定、$k$ について和）。同様にもう一方も $0$。
よって $= 2n^2$。求める和 $= \frac{1}{2} \cdot 2n^2 = n^2$。
- $|\omega^k - 1|^2$ の展開と1のn乗根の和の利用（4点）
- 二重和を対称性で処理（3点）
- 最終結果の正確な導出（3点）