前節でサイクロイドを学びましたが、媒介変数表示の世界にはさらに多彩な曲線が広がっています。星形のアステロイド、心臓形のカージオイド、振動が織りなすリサージュ曲線。これらの曲線は「回転×回転」や「回転×直進」の組合せから生まれ、それぞれに固有の美しい性質を持っています。
半径 $a$ の円の内側を、半径 $a/4$ の小円が滑らずに転がるとき、小円上の定点が描く曲線をアステロイド（星芒形）と呼びます。
$$x = a\cos^3 t, \quad y = a\sin^3 t \quad (0 \le t < 2\pi)$$
直交座標での方程式（$t$ を消去）：$x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$
※ 4つのカスプ（尖点）を持つ星形の閉曲線。周の長さは $6a$、囲む面積は $\dfrac{3}{8}\pi a^2$。
半径 $R$ の定円の内側を半径 $r$ の動円が転がる曲線をハイポサイクロイドと呼びます。アステロイドは $R/r = 4$ の特殊な場合です。
動円の中心は $(R-r)\cos t$ と $(R-r)\sin t$ で円運動し、定点は中心からの相対位置が回転角 $-(R-r)t/r$ で決まります。$R = a$, $r = a/4$ のとき、相対回転角は $-3t$ となり、三角関数の3倍角の公式が $\cos^3 t$ や $\sin^3 t$ を生み出すのです。
$x = a\cos^3 t$ より $x^{1/3} = a^{1/3}\cos t$、$y = a\sin^3 t$ より $y^{1/3} = a^{1/3}\sin t$
$$\left(\frac{x}{a}\right)^{2/3} + \left(\frac{y}{a}\right)^{2/3} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$$
よって $x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}$
✗ 誤：$x^{2/3}$ は $x \ge 0$ でのみ定義される
○ 正：$x^{2/3} = (x^{1/3})^2 = (\sqrt[3]{x})^2$ なので、$x < 0$ でも実数値をとる
例えば $(-8)^{2/3} = ((-8)^{1/3})^2 = (-2)^2 = 4$ です。アステロイドの方程式が4象限すべてで有効なのはこのためです。
実はアステロイドは、長さ $a$ の線分の両端が $x$ 軸と $y$ 軸の上を動くときの包絡線でもあります。直線 $\dfrac{x}{\cos t} + \dfrac{y}{\sin t} = a$ の $t$ に関する包絡線を計算するとアステロイドが得られます。これは「はしご問題」（壁に立てかけたはしごが滑り落ちるとき通過する領域の境界）としても知られています。
カージオイド（心臓形）は、半径 $a$ の円の外側を同じ半径 $a$ の円が転がるとき、動円上の定点が描く曲線です。名前の通り、ハート型（正確には心臓の形）をしています。
$$x = a(2\cos t - \cos 2t), \quad y = a(2\sin t - \sin 2t) \quad (0 \le t < 2\pi)$$
極座標での方程式：$r = 2a(1 + \cos\theta)$（もしくは $r = 2a(1 - \cos\theta)$）
※ 1つのカスプを持つ閉曲線。面積は $6\pi a^2$、周の長さは $16a$。
カージオイドの極方程式 $r = 2a(1 + \cos\theta)$ は非常にシンプルで、極座標表示の代表例として頻出します。$\theta = \pi$ で $r = 0$ となり、これがカスプに対応します。
✗ 誤：カージオイドの極方程式は $r = 2a(1+\cos\theta)$ の1通りのみ
○ 正：$r = 2a(1-\cos\theta)$, $r = 2a(1+\sin\theta)$, $r = 2a(1-\sin\theta)$ もカージオイドを表す
$\cos$ と $\sin$ の選択、符号の選択によってカスプの位置（右・左・上・下）が変わります。問題の条件をよく確認しましょう。
極方程式 $r = a + b\cos\theta$ で表される曲線をリマソン（パスカルの蝸牛線）と呼びます。カージオイドは $a = b$ の特殊な場合です。
$a > b$ のとき：くびれのない卵形、$a = b$ のとき：カージオイド（1つのカスプ）、$a < b$ のとき：内側にループを持つ形
円に巻き付けた糸をピンと張ったまま巻き戻すとき、糸の先端が描く曲線をインボリュート（伸開線）と呼びます。
半径 $a$ の円のインボリュート：
$$x = a(\cos t + t\sin t), \quad y = a(\sin t - t\cos t)$$
※ $t \ge 0$ で、原点から渦巻き状に広がっていく曲線。$t$ は糸が円に接する点の偏角。
半径 $a$ の円上の点 $A(a\cos t, a\sin t)$ から、糸をほどいた分だけ接線方向に伸ばします。$A$ における円の接線方向の単位ベクトルは $(-\sin t, \cos t)$ で、ほどいた糸の長さは弧 $at$ です。したがって先端 $P$ は：
$$P = (a\cos t, a\sin t) + at(-\sin t, \cos t) \cdot (-1)$$
（巻き戻す方向なので符号に注意）整理すると上の公式を得ます。
✗ 誤：$t$ を $0$ から $2\pi$ まで動かせばインボリュートの全体が得られる
○ 正：インボリュートは $t \to \infty$ で無限に広がる開曲線。$t$ の範囲を大きくするほど外側に渦を巻く
$t = 0$ で曲線は円上の点 $(a, 0)$ から始まり、$t$ が増加するにつれて渦巻き状に広がっていきます。
インボリュート曲線は工業的に極めて重要です。インボリュート歯車の歯の形状はこの曲線に基づいており、歯車の中心間距離が多少ずれても滑らかに噛み合うという優れた性質を持ちます。18世紀にオイラーが提案し、現代の機械工学の基盤となっています。
リサージュ曲線は、$x$ 方向と $y$ 方向にそれぞれ異なる周波数で振動する点が描く曲線です。
$$x = A\sin(at + \delta), \quad y = B\sin bt$$
ここで $A$, $B$ は振幅、$a$, $b$ は角振動数、$\delta$ は位相差。
※ $a : b$ が有理数のとき曲線は閉じる。$a : b = 1 : 1$ で $\delta = \pi/2$ のとき楕円、$\delta = 0$ のとき直線となる。
リサージュ曲線の形は周波数比 $a : b$ と位相差 $\delta$ で決まります。
$a : b = 1 : 1$：楕円（$\delta$ によって傾きが変わる）
$a : b = 1 : 2$：8の字や放物線に似た形
$a : b = 2 : 3$：より複雑な閉曲線
$a : b$ が無理数のとき、曲線は閉じず、長方形 $|x| \le A$, $|y| \le B$ の内部を稠密に埋め尽くします。
$a = b = 1$, $A = B = 1$ のとき、$x = \sin(t + \delta)$, $y = \sin t$ です。
✗ 誤：リサージュ曲線は常に閉曲線
○ 正：$a/b$ が有理数のときのみ閉じる。無理数のときは閉じない
$a/b$ が無理数のとき、$t$ をいくら大きくしても曲線は同じ点を通らず、限りなく複雑なパターンを描き続けます。
リサージュ曲線は19世紀にフランスの物理学者リサージュが発見しました。2つの音叉の振動をオシロスコープで直交する方向に入力すると画面にリサージュ図形が現れます。周波数比の微妙なずれが曲線をゆっくり変化させ、「見える音」として周波数の比較に利用されました。現代の電子工学でも信号の位相関係の確認に使われています。
前節で学んだサイクロイドは「円周上の点」が描く曲線でしたが、円周上ではなく円の内部や外部の点が描く曲線をトロコイドと呼びます。
半径 $a$ の円が $x$ 軸上を転がるとき、中心から距離 $d$ の点が描く曲線：
$$x = at - d\sin t, \quad y = a - d\cos t$$
※ $d = a$ でサイクロイド。$d < a$ で波形（プロレートサイクロイド）、$d > a$ でループ付き（カーテートサイクロイド）。
| $d$ の範囲 | 名称 | 形状の特徴 |
|---|---|---|
| $d < a$ | 縮閉トロコイド | 波形。カスプなし。$x$ 軸に接しない |
| $d = a$ | サイクロイド | カスプを持つ。$x$ 軸に接する |
| $d > a$ | 伸長トロコイド | ループ（自己交差）を持つ。$x$ 軸の下にも入る |
サイクロイド、トロコイド、エピサイクロイド（外転）、ハイポサイクロイド（内転）はすべて「円が別の曲線の上を転がるときの軌跡」として統一的に理解できます。
直線上 → サイクロイド・トロコイド、円の外側 → エピサイクロイド（カージオイドなど）、円の内側 → ハイポサイクロイド（アステロイドなど）
パラメータ（半径の比、描画点の位置）を変えることで、無限の曲線のバリエーションが生まれます。
✗ 誤：「車輪の回転が描く曲線」は常にサイクロイド
○ 正：車輪の縁（$d = a$）ならサイクロイド、ハブやスポーク（$d \neq a$）の点ならトロコイド
自転車のバルブ（タイヤの外側、$d > a$）はループ付きのトロコイドを、ハブの点（$d < a$）は波形のトロコイドを描きます。
Q1. アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ のカスプの数は？
Q2. カージオイドの極方程式 $r = 2a(1+\cos\theta)$ で $r = 0$ となる $\theta$ は？
Q3. リサージュ曲線 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ は閉曲線か？
Q4. トロコイドで $d > a$ のとき、曲線にはどんな特徴がある？
Q5. アステロイドを $x$-$y$ の関係式で表すと？
アステロイド $x = 2\cos^3 t$, $y = 2\sin^3 t$ について、$t = \dfrac{\pi}{4}$ に対応する点の座標と、その点における $\dfrac{dy}{dx}$ の値を求めよ。
$t = \pi/4$ のとき：$x = 2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^3 = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
同様に $y = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$。点は $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
$\dfrac{dx}{dt} = -6\cos^2 t \sin t$, $\dfrac{dy}{dt} = 6\sin^2 t \cos t$
$$\frac{dy}{dx} = \frac{6\sin^2 t \cos t}{-6\cos^2 t \sin t} = -\frac{\sin t}{\cos t} = -\tan t$$
$t = \pi/4$ で $\dfrac{dy}{dx} = -\tan\dfrac{\pi}{4} = -1$
媒介変数表示 $x = \sin t$, $y = \sin 2t$ から $t$ を消去して $x$ と $y$ の関係式を求めよ。また、この曲線の概形を述べよ。
$y = \sin 2t = 2\sin t \cos t = 2x\cos t$
$\cos t = \pm\sqrt{1 - \sin^2 t} = \pm\sqrt{1 - x^2}$ より：
$$y = \pm 2x\sqrt{1 - x^2}$$
両辺を2乗すると $y^2 = 4x^2(1 - x^2)$
$$y^2 = 4x^2 - 4x^4$$
概形：$-1 \le x \le 1$ の範囲で、原点を通り $x$ 軸に関して対称な8の字型の曲線。$x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ のとき $|y|$ は最大値 $1$ をとる。
アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ の第1象限部分（$0 \le t \le \pi/2$）の弧長を求めよ。
$\dfrac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t$, $\dfrac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t \cos t$
$$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 9a^2\cos^4 t\sin^2 t + 9a^2\sin^4 t\cos^2 t$$
$$= 9a^2\cos^2 t\sin^2 t(\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2\cos^2 t\sin^2 t$$
$0 \le t \le \pi/2$ で $\cos t \ge 0$, $\sin t \ge 0$ より：
$$L = \int_0^{\pi/2} 3a\cos t\sin t\,dt = 3a\int_0^{\pi/2}\frac{\sin 2t}{2}\,dt = \frac{3a}{2}\left[-\frac{\cos 2t}{2}\right]_0^{\pi/2}$$
$$= \frac{3a}{4}(1 + 1) = \frac{3a}{2}$$
全周は $4 \times \dfrac{3a}{2} = 6a$。
カージオイド $r = a(1 + \cos\theta)$（$a > 0$）で囲まれた部分の面積を求めよ。
極座標の面積公式 $S = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_0^{2\pi} r^2\,d\theta$ を用いる。
$$S = \frac{1}{2}\int_0^{2\pi} a^2(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)\,d\theta$$
$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を使って：
$$= \frac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}\left(\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{\cos 2\theta}{2}\right)d\theta$$
$$= \frac{a^2}{2}\left[\frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{2\pi} = \frac{a^2}{2} \cdot 3\pi = \frac{3\pi a^2}{2}$$
極座標の面積公式は、微小な扇形の面積 $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ を足し合わせたものです。$\cos\theta$ や $\cos 2\theta$ の $[0, 2\pi]$ 上の積分はゼロになるという性質を使うと、計算が大幅に簡略化されます。