2次曲線と微積分、媒介変数表示と面積・弧長、極座標と面積 ── 第8章の内容が数学IIIの微積分と出会うとき、入試で最も差がつく融合問題が生まれます。この記事では、異なる分野の知識を組み合わせて解く力を養います。「曲線の理解」と「微積分の技法」を橋渡しし、総合的な問題解決能力を高めましょう。
2次曲線（楕円・双曲線・放物線）の面積や、それらを回転させた回転体の体積を求める問題は、曲線の性質と積分技法の両方を要求する融合問題の典型です。
楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ の面積を、対称性と置換積分で求めます。
$y = b\sqrt{1-\dfrac{x^2}{a^2}}$（上半分）より、面積 $S$ は：
$$S = 4\int_0^a b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\,dx$$
$x = a\sin t$ と置換すると $dx = a\cos t\,dt$, $x: 0 \to a$ で $t: 0 \to \pi/2$。
$$S = 4\int_0^{\pi/2} b\cos t \cdot a\cos t\,dt = 4ab\int_0^{\pi/2}\cos^2 t\,dt = 4ab \cdot \frac{\pi}{4} = \pi ab$$
円 $x^2+y^2 = a^2$（面積 $\pi a^2$）を $y$ 方向に $\dfrac{b}{a}$ 倍に縮小すると楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ になります。面積も同じ比率で変化するので $\pi a^2 \times \dfrac{b}{a} = \pi ab$ です。
この「アフィン変換による面積の変化」の考え方は、積分を使わずに楕円の面積を理解する最も本質的な方法です。
放物線 $y^2 = 4px$ と直線 $x = a$（$a > 0$）で囲まれた面積は：
$$S = 2\int_0^a 2\sqrt{px}\,dx = 4\sqrt{p}\cdot\frac{2}{3}a^{3/2} = \frac{8}{3}\sqrt{p}\,a^{3/2}$$
✗ 誤：$y^2 = 4px$ を $y$ について解いて常に $x$ で積分する
○ 正：状況に応じて、$y$ で積分する方が楽な場合もある
例えば放物線と接線で囲まれる面積では、$y$ を変数として $\displaystyle\int_{y_1}^{y_2}(x_{\text{直線}}-x_{\text{放物線}})\,dy$ とする方が計算が簡潔になることがあります。
楕円を長軸のまわりに回転させた回転楕円体の体積は：
$$V = \pi\int_{-a}^{a}y^2\,dx = \pi\int_{-a}^{a}b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)dx = \pi b^2\left[x-\frac{x^3}{3a^2}\right]_{-a}^{a} = \frac{4}{3}\pi ab^2$$
地球は完全な球ではなく、赤道方向に少し膨らんだ扁平回転楕円体です。赤道半径 $a \approx 6378$ km、極半径 $b \approx 6357$ km で、体積は $\dfrac{4}{3}\pi a^2 b$ です（短軸回転）。離心率は約 $0.0818$ で、地球がほぼ球に近いことがわかります。
曲線が $x = f(t)$, $y = g(t)$ と媒介変数表示されているとき、この曲線と $x$ 軸で囲まれた面積は、$t$ で積分することで求められます。
$$S = \int_a^b y\,dx = \int_{\alpha}^{\beta} g(t) \cdot f'(t)\,dt$$
ここで $t: \alpha \to \beta$ のとき $x: a \to b$ とします。
※ $f'(t) < 0$ のとき（$x$ が減少）は、積分の向きと面積の符号に注意が必要です。
$S = \displaystyle\int_a^b y\,dx$ において $x = f(t)$ と置換すると $dx = f'(t)\,dt$ なので、自然に $S = \displaystyle\int_\alpha^\beta g(t)f'(t)\,dt$ が得られます。
これは特別な公式ではなく、通常の置換積分そのものです。媒介変数表示の面積公式は、置換積分の特殊ケースにすぎません。
サイクロイド $x = a(\theta - \sin\theta)$, $y = a(1-\cos\theta)$ の1アーチ（$0 \le \theta \le 2\pi$）で囲まれる面積を求めます。
$$S = \int_0^{2\pi a} y\,dx = \int_0^{2\pi} a(1-\cos\theta) \cdot a(1-\cos\theta)\,d\theta = a^2\int_0^{2\pi}(1-\cos\theta)^2\,d\theta$$
$(1-\cos\theta)^2 = 1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta = \dfrac{3}{2} - 2\cos\theta + \dfrac{\cos 2\theta}{2}$
$$S = a^2\left[\frac{3}{2}\theta - 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{2\pi} = a^2 \cdot 3\pi = 3\pi a^2$$
サイクロイド1アーチの面積は、転がる円の面積 $\pi a^2$ のちょうど 3倍 です。この美しい結果は17世紀にロベルヴァルが発見しました。
✗ 誤：$\theta: 0 \to 2\pi$ で $x$ は常に増加すると思い込む
○ 正：$\dfrac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta) \ge 0$ を確認。この場合はたまたま常に非負（$\theta = 0, 2\pi$ で $0$）
アステロイドなど、$x$ が増減を繰り返す曲線では、面積の計算で符号に注意が必要です。
アステロイド $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ の面積は、$t: 0 \to \pi/2$（第1象限）の面積を4倍して：
$$S = 4\int_0^{\pi/2} y \cdot \frac{dx}{dt}\,dt = 4\int_{\pi/2}^{0} a\sin^3 t \cdot (-3a\cos^2 t \sin t)\,dt = 12a^2\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,dt$$
ベータ関数の公式（ウォリスの積分）を使って $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,dt = \dfrac{3\cdot 1\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{32}$
よって $S = 12a^2 \cdot \dfrac{\pi}{32} = \dfrac{3\pi a^2}{8}$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^m t\cos^n t\,dt = \dfrac{B\!\left(\frac{m+1}{2},\frac{n+1}{2}\right)}{2}$ はベータ関数 $B(p,q) = \dfrac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$ で表されます。入試では漸化式 $I_n = \dfrac{n-1}{n}I_{n-2}$ で計算するのが一般的ですが、ベータ関数を知っていると一発で結果が出ます。
曲線の長さ（弧長）は、微小な線素 $ds$ を足し合わせることで求められます。
媒介変数表示：$\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt$
陽関数 $y = f(x)$：$\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$
極座標 $r = f(\theta)$：$\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta$
微小区間で曲線を直線（線素）で近似すると、その長さは $ds = \sqrt{dx^2+dy^2}$ です。これはピタゴラスの定理そのものです。
$dx = f'(t)\,dt$, $dy = g'(t)\,dt$ を代入して $ds = \sqrt{f'(t)^2+g'(t)^2}\,dt$ となります。弧長公式は「微小ピタゴラスの足し合わせ」です。
$x = a(\theta-\sin\theta)$, $y = a(1-\cos\theta)$ の1アーチの長さを求めます。
$\dfrac{dx}{d\theta} = a(1-\cos\theta)$, $\dfrac{dy}{d\theta} = a\sin\theta$
$$\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2 = a^2\{(1-\cos\theta)^2+\sin^2\theta\} = a^2(2-2\cos\theta) = 4a^2\sin^2\frac{\theta}{2}$$
$$L = \int_0^{2\pi}2a\left|\sin\frac{\theta}{2}\right|d\theta = 2a\int_0^{2\pi}\sin\frac{\theta}{2}\,d\theta = 2a\left[-2\cos\frac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi} = 2a\cdot 4 = 8a$$
サイクロイド1アーチの長さは、転がる円の直径 $2a$ のちょうど 4倍 = $8a$ です。
✗ 誤：$\sqrt{2-2\cos\theta}$ を展開しようとして複雑な計算に陥る
○ 正：$2-2\cos\theta = 4\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ という半角の公式を使えば $\sqrt{}$ が外れる
弧長計算では $\sqrt{}$ の中身を三角関数の半角公式でまとめるテクニックが頻出です。サイクロイドとカージオイドの弧長は特にこの方法が必須です。
曲線を「弧長 $s$」そのもので媒介変数表示する（弧長パラメータ化）と、$\left|\dfrac{d\boldsymbol{r}}{ds}\right| = 1$ が常に成り立ちます。これは速さ $1$ で曲線上を移動することに相当し、微分幾何学では曲率の定義に使われる最も自然なパラメータです。
極座標での面積計算は、微小扇形の面積 $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ の足し合わせです。直交座標の「短冊」に対して「扇形」で面積を覆うイメージです。
$$S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$$
2曲線で囲まれた面積：
$$S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta \left(r_1^2 - r_2^2\right)d\theta \quad (r_1 \ge r_2 \ge 0)$$
$r = a(1+\cos\theta)$ の面積は対称性から：
$$S = 2 \times \frac{1}{2}\int_0^{\pi}a^2(1+\cos\theta)^2\,d\theta = a^2\int_0^{\pi}\left(\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos 2\theta}{2}\right)d\theta = \frac{3\pi a^2}{2}$$
✗ 誤：2曲線の極方程式を連立して交点を求め、そのまま $\frac{1}{2}\int(r_1^2-r_2^2)\,d\theta$ を計算
○ 正：極座標の2曲線は $r=0$（原点）で「見えない交点」を持つことがある。原点を通るかどうかも確認する
例えば $r = 1+\cos\theta$ と $r = 1-\cos\theta$ は、連立しても $\cos\theta = 0$ → $\theta = \pi/2, 3\pi/2$ しか出ませんが、両方とも原点を通るので原点も交点です。
✗ 誤：$r = \sin 2\theta$ の面積を $\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\sin^2 2\theta\,d\theta$ とする → 面積の2倍になる
○ 正：$r \ge 0$ の範囲（$0 \le \theta \le \pi/2$ など）のみ積分し、対称性で全面積を求める
$r^2$ は常に非負なので $r < 0$ の範囲も面積に寄与してしまいます。花弁1枚分を正しく切り出すことが重要です。
$\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ は中心角 $d\theta$、半径 $r$ の微小扇形の面積です。これを $\alpha$ から $\beta$ まで足し合わせると、原点を頂点とする「パイの一切れ」のような領域の面積になります。
直交座標の $\int y\,dx$ が「短冊の足し合わせ」であるのに対し、極座標は「扇形の足し合わせ」── この違いを図形的に理解しておくと、面積公式を自然に使えます。
直交座標の面積要素 $dx\,dy$ と極座標の面積要素 $r\,dr\,d\theta$ の間には $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ の関係があります。これは座標変換のヤコビアン $\left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}\right| = r$ に由来します。大学数学の重積分で体系的に学びます。
融合問題では「曲線の知識」と「微積分の技法」の両方が必要です。どちらかが不足していると解けません。ここでは、融合問題に取り組む際の戦略的な考え方を整理します。
✗ 誤：$\int_\alpha^\beta g(t)f'(t)\,dt$ の結果が負になった → 面積は負？
○ 正：面積は常に正。$f'(t)$ の符号（$x$ の増減方向）によって積分値が負になることがある
媒介変数表示の面積計算では、$x$ が減少する区間で符号が反転します。$\int y\,dx$ の「向き」と「面積」を区別し、必要に応じて絶対値をとりましょう。
| 融合パターン | 主な公式 | 注意点 |
|---|---|---|
| 楕円×面積 | $\pi ab$（直接 or 置換積分） | アフィン変換の利用 |
| 媒介変数×面積 | $\int g(t)f'(t)\,dt$ | $x$ の増減方向 |
| 媒介変数×弧長 | $\int\sqrt{(\dot{x})^2+(\dot{y})^2}\,dt$ | 半角公式で $\sqrt{}$ を外す |
| 極座標×面積 | $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$ | $r \ge 0$ の範囲の確認 |
| 極座標×弧長 | $\int\sqrt{r^2+(\dot{r})^2}\,d\theta$ | 曲線の存在範囲 |
| 回転体×体積 | $\pi\int y^2\,dx$ | 回転軸の確認 |
閉曲線で囲まれた面積は $S = \dfrac{1}{2}\displaystyle\oint(x\,dy - y\,dx)$ でも求められます。これはグリーンの定理の応用で、媒介変数表示 $x=f(t), y=g(t)$ のとき $S = \dfrac{1}{2}\int_\alpha^\beta(f\,g'-g\,f')\,dt$ となります。大学数学ではベクトル解析の基礎として重要な公式です。
Q1. 楕円 $\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$ の面積は？
Q2. サイクロイド1アーチの面積は転がる円の面積の何倍か？
Q3. サイクロイド1アーチの弧長は？
Q4. 極座標の面積公式 $\dfrac{1}{2}\int r^2\,d\theta$ で「$\dfrac{1}{2}$」がつく理由は？
Q5. 弧長の公式に現れる $\sqrt{dx^2+dy^2}$ は何の定理に基づくか？
楕円 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。
$y^2 = 1 - \dfrac{x^2}{4}$ より
$$V = \pi\int_{-2}^{2}y^2\,dx = \pi\int_{-2}^{2}\left(1-\frac{x^2}{4}\right)dx = \pi\left[x-\frac{x^3}{12}\right]_{-2}^{2}$$
$$= \pi\left\{\left(2-\frac{8}{12}\right)-\left(-2+\frac{8}{12}\right)\right\} = \pi\left(\frac{4}{3}+\frac{4}{3}\right) = \frac{8\pi}{3}$$
（$a=2, b=1$ で $\dfrac{4}{3}\pi ab^2 = \dfrac{8\pi}{3}$ に一致。）
アステロイド $x = 2\cos^3 t$, $y = 2\sin^3 t$ で囲まれる面積を求めよ。
対称性より、第1象限（$t: 0 \to \pi/2$）の面積を4倍する。
$\dfrac{dx}{dt} = -6\cos^2 t\sin t$
第1象限の面積：$t: \pi/2 \to 0$ で $x: 0 \to 2$ だから
$$S_1 = \int_{\pi/2}^{0} 2\sin^3 t \cdot (-6\cos^2 t\sin t)\,dt = 12\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,dt$$
$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,dt = \frac{3\cdot 1\cdot 1}{6\cdot 4\cdot 2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{32}$
$$S = 4 \times 12 \times \frac{\pi}{32} = \frac{48\pi}{32} = \frac{3\pi}{2}$$
（$a = 2$ のアステロイドなので $\dfrac{3\pi a^2}{8} = \dfrac{3\pi \cdot 4}{8} = \dfrac{3\pi}{2}$ に一致。）
カージオイド $r = a(1+\cos\theta)$（$a > 0$）の全周の長さを求めよ。
$\dfrac{dr}{d\theta} = -a\sin\theta$
$$r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 = a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta = a^2(2+2\cos\theta) = 4a^2\cos^2\frac{\theta}{2}$$
対称性より：
$$L = 2\int_0^{\pi}2a\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|d\theta = 4a\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}\,d\theta = 4a\left[2\sin\frac{\theta}{2}\right]_0^{\pi} = 8a$$
サイクロイド $x = a(\theta-\sin\theta)$, $y = a(1-\cos\theta)$（$0 \le \theta \le 2\pi$）の1アーチと $x$ 軸で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに回転した回転体の体積を求めよ。
$$V = \pi\int_0^{2\pi a}y^2\,dx = \pi\int_0^{2\pi}a^2(1-\cos\theta)^2 \cdot a(1-\cos\theta)\,d\theta = \pi a^3\int_0^{2\pi}(1-\cos\theta)^3\,d\theta$$
$(1-\cos\theta)^3 = 1-3\cos\theta+3\cos^2\theta-\cos^3\theta$
$= 1-3\cos\theta+\dfrac{3}{2}(1+\cos 2\theta)-\cos\theta(1-\sin^2\theta)$
$= \dfrac{5}{2}-4\cos\theta+\dfrac{3}{2}\cos 2\theta+\cos\theta\sin^2\theta$
各項を $0$ から $2\pi$ で積分すると、$\cos\theta$, $\cos 2\theta$, $\cos\theta\sin^2\theta$ の積分はいずれも $0$。
$$V = \pi a^3 \cdot \frac{5}{2}\cdot 2\pi = 5\pi^2 a^3$$
$(1-\cos\theta)^3$ の展開は複雑ですが、周期 $2\pi$ の積分では $\cos\theta$ や $\cos 2\theta$ の項が消える（定数項だけが残る）ことを利用すると効率的です。別法として半角公式 $1-\cos\theta = 2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ を使い、$(1-\cos\theta)^3 = 8\sin^6\dfrac{\theta}{2}$ とする方法もあります。