直交座標 $(x, y)$ では横と縦の距離で点の位置を表しますが、極座標 $(r, \theta)$ では「原点からの距離」と「基準線からの角度」で表します。円や螺旋のように「中心からの距離」が主役になる曲線は、極座標で記述すると驚くほどシンプルな式になります。
平面上に固定された点 $O$（極）と $O$ から出る半直線（始線）を定めます。平面上の任意の点 $P$ に対して：
この組 $(r, \theta)$ を点 $P$ の極座標といいます。
直交座標は「横にいくつ、縦にいくつ」と平行移動で位置を指定します。極座標は「どの方向にどれだけ」と回転と拡大で位置を指定します。
円対称な図形は極座標が、格子状の図形は直交座標が得意 ── 問題に応じて使い分けましょう。
極座標 → 直交座標：
$$x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$$
直交座標 → 極座標：
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$
$\theta$ の値域に注意。$\tan\theta = y/x$ だけでは $\theta$ が一意に定まりません。$x$, $y$ の符号から象限を判定して偏角を決めます。
✗ $\tan\theta = 1$ だから $\theta = \dfrac{\pi}{4}$
✓ $(x, y) = (-1, -1)$ なら $\theta = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$。$\arctan$ の値域は $(-\pi/2, \pi/2)$ なので、象限の補正が必要です。
直交座標 $(1, \sqrt{3})$ → $r = \sqrt{1+3} = 2$、$\theta = \arctan\sqrt{3} = \dfrac{\pi}{3}$。極座標 $\left(2, \dfrac{\pi}{3}\right)$
極座標 $\left(3, \dfrac{3\pi}{4}\right)$ → $x = 3\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$、$y = 3\sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
原点を中心とする半径 $a$ の円は極座標で $r = a$ と表されます。非常にシンプルです。
中心が $(a, 0)$、半径 $a$ の円（原点を通る円）は $r = 2a\cos\theta$ と書けます。これは $x^2 + y^2 = 2ax$ を極座標に変換すると得られます。
原点を通り、始線と角 $\alpha$ をなす直線は $\theta = \alpha$。
原点から距離 $d$ にある直線は $r\cos(\theta - \alpha) = d$ の形になります（$\alpha$ は法線の方向）。
直交座標では複雑だが、極座標では単純になる曲線：
アルキメデスの螺旋 $r = a\theta$、カージオイド $r = a(1 + \cos\theta)$、バラ曲線 $r = a\sin n\theta$、レムニスケート $r^2 = a^2\cos 2\theta$
✗ $r$ は距離だから常に正
✓ 極方程式では $r < 0$ を許すことがあります。$r < 0$ のとき、$(r, \theta)$ は $(|r|, \theta + \pi)$ と同じ点を表します。バラ曲線の描画で重要です。
直交座標では各点に座標が一意に対応しますが、極座標では同じ点に複数の表し方があります。
$r = 0$ のとき $\theta$ は何でもよいので、極 $O$ を $(0, 0)$ と表すこともあれば $(0, \pi)$ と表すこともあります。曲線が極を通るかどうかは「ある $\theta$ で $r = 0$ になるか」で判定します。
特に断りがなければ $r \ge 0$、$0 \le \theta < 2\pi$ とするのが一般的です。ただし曲線の議論では $r < 0$ や $\theta$ の範囲を拡張する場合もあります。
複素数 $z = x + yi$ の極形式 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ は、まさに極座標 $(r, \theta)$ そのものです。第9章で学ぶ複素数平面は、極座標の「複素数版」ともいえます。
極座標は以下の場面で特に威力を発揮します。
直交座標か極座標か、どちらで考えるかは「問題の対称性」で判断します。中心からの距離が重要な問題は極座標、水平・垂直方向の関係が重要な問題は直交座標。適切な座標系を選ぶことが、問題を解く最初のステップです。
次の記事では、極座標を使った様々な曲線（極方程式）を詳しく見ていきます。
Q1. 直交座標 $(\sqrt{3}, 1)$ を極座標で表せ。
Q2. 極座標 $\left(4, \dfrac{2\pi}{3}\right)$ を直交座標で表せ。
Q3. 原点を中心とする半径5の円の極方程式は？
Q4. $(r, \theta)$ と同じ点を $r < 0$ で表すと？
Q5. $x^2 + y^2 = 4x$ を極方程式に変換せよ。
次の直交座標を極座標に変換せよ。$(1, -1)$, $(-\sqrt{3}, -1)$
$(1, -1)$：$r = \sqrt{2}$, $\tan\theta = -1$ で第4象限より $\theta = \dfrac{7\pi}{4}$。答え $\left(\sqrt{2}, \dfrac{7\pi}{4}\right)$
$(-\sqrt{3}, -1)$：$r = 2$, $\tan\theta = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$ で第3象限より $\theta = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}$。答え $\left(2, \dfrac{7\pi}{6}\right)$
直交座標での方程式 $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ を極方程式に変換せよ。
$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $x^2+y^2 = r^2$ を代入：
$r^2 - 6r\cos\theta + 2r\sin\theta = 0$
$r(r - 6\cos\theta + 2\sin\theta) = 0$
$r \neq 0$ として $r = 6\cos\theta - 2\sin\theta$
極方程式 $r = \dfrac{2}{1 + \cos\theta}$ が表す曲線を直交座標の方程式で表せ。
$r(1+\cos\theta) = 2$ より $r + r\cos\theta = 2$
$r = \sqrt{x^2+y^2}$, $r\cos\theta = x$ を代入：
$\sqrt{x^2+y^2} + x = 2$、$\sqrt{x^2+y^2} = 2 - x$
両辺を2乗：$x^2 + y^2 = 4 - 4x + x^2$
$y^2 = -4x + 4 = -4(x-1)$
頂点 $(1, 0)$、焦点 $(0, 0)$ の放物線
極座標で表された2点 $A(r_1, \theta_1)$, $B(r_2, \theta_2)$ の距離 $AB$ を $r_1$, $r_2$, $\theta_1 - \theta_2$ で表せ。
直交座標に変換して距離の公式を適用：
$AB^2 = (r_1\cos\theta_1 - r_2\cos\theta_2)^2 + (r_1\sin\theta_1 - r_2\sin\theta_2)^2$
$= r_1^2(\cos^2\theta_1 + \sin^2\theta_1) + r_2^2(\cos^2\theta_2 + \sin^2\theta_2) - 2r_1 r_2(\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2)$
$= r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2\cos(\theta_1 - \theta_2)$
$$AB = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2\cos(\theta_1 - \theta_2)}$$
これは余弦定理そのものです。三角形 $OAB$ において $OA = r_1$, $OB = r_2$, $\angle AOB = |\theta_1 - \theta_2|$ とすれば余弦定理から直接得られます。