極座標を使えば、直交座標では複雑になる曲線を驚くほど簡潔に表すことができます。この記事では、直線・円の極方程式から始めて、カージオイド・バラ曲線・レムニスケートといった美しい曲線の世界を探求します。「なぜ $r = a(1+\cos\theta)$ がハート型になるのか」── その仕組みを原理から理解しましょう。
極座標 $(r,\theta)$ で曲線を表す式を極方程式といいます。直交座標の方程式 $F(x,y)=0$ に $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を代入すれば極方程式が得られます。まずは最も基本的な直線と円の極方程式を確認しましょう。
原点を通り、始線（正の $x$ 軸）と角 $\alpha$ をなす直線は、極方程式で次のように表されます。
$$\theta = \alpha \quad (\alpha \text{は定数})$$
※ $r$ に制限がないので、$r$ は正にも負にもなれます。$r < 0$ の部分は角 $\alpha + \pi$ の方向を表します。
原点から直線に下ろした垂線の足を $\mathrm{H}(d,\,\alpha)$（$d > 0$）とすると、直線上の任意の点 $\mathrm{P}(r,\,\theta)$ について $\mathrm{OH} = r\cos(\theta - \alpha)$ が成り立ちます。
$$r\cos(\theta - \alpha) = d$$
※ 特に始線に垂直な直線（$\alpha = 0$）は $r\cos\theta = d$ となります。
中心と半径の位置関係に応じて、さまざまな形になります。
原点中心・半径 $a$：$r = a$
中心 $(a,\,0)$・半径 $a$（原点を通る）：$r = 2a\cos\theta$
中心 $(a,\,\pi/2)$・半径 $a$（原点を通る）：$r = 2a\sin\theta$
※ 原点を通る円の極方程式は、直交座標の $(x-a)^2 + y^2 = a^2$ を展開して $x^2 + y^2 = 2ax$ とし、$r^2 = 2ar\cos\theta$ から得られます。
極座標は「原点からの距離 $r$」と「角度 $\theta$」で点を指定します。そのため、原点を中心とする対称性を持つ曲線は極方程式で自然かつ簡潔に表現できます。
直交座標で $x^2+y^2 = a^2$ と書くべき円が、極座標では $r = a$ のたった一文字で済むのは、極座標が「距離」を直接扱うからです。
✗ 誤：$\theta$ は $0 \le \theta < 2\pi$ の全範囲で考える → 同じ点を2回数えてしまう
○ 正：$r = 2a\cos\theta$ で円を1周するには $0 \le \theta \le \pi$ で十分
$\pi/2 < \theta < 3\pi/2$ では $\cos\theta < 0$ なので $r < 0$ になりますが、これは $r > 0$ のときの点と同じ点を表します。面積計算の際に積分範囲を間違えやすいポイントです。
両辺に $r$ をかけると $r^2 = 2ar\cos\theta$。
$r^2 = x^2 + y^2$、$r\cos\theta = x$ を代入して $x^2 + y^2 = 2ax$。
整理すると $(x-a)^2 + y^2 = a^2$。これは中心 $(a,0)$、半径 $a$ の円です。
カージオイド（心臓形）は、極方程式の中でも最も有名な曲線の一つです。その名前はギリシャ語の「kardia（心臓）」に由来します。
$$r = a(1 + \cos\theta) \quad (a > 0)$$
※ $\cos$ を $\sin$ に置き換えると、$90°$ 回転したカージオイドになります。$1+\cos\theta$ を $1-\cos\theta$ にすると左右反転します。
$\theta$ を $0$ から $2\pi$ まで変化させたとき、$r = a(1+\cos\theta)$ がどう振る舞うかを追ってみましょう。
| $\theta$ | $\cos\theta$ | $r = a(1+\cos\theta)$ | 点の位置 |
|---|---|---|---|
| $0$ | $1$ | $2a$ | 始線上、最も遠い点 |
| $\pi/2$ | $0$ | $a$ | 上方向に $a$ |
| $\pi$ | $-1$ | $0$ | 原点（尖点） |
| $3\pi/2$ | $0$ | $a$ | 下方向に $a$ |
| $2\pi$ | $1$ | $2a$ | 始線上に戻る |
$r$ は常に $0$ 以上（$1+\cos\theta \ge 0$）で、$\theta = \pi$ のとき $r = 0$ となります。この点が尖点（カスプ）です。曲線は始線に関して対称で、全体としてハート型の輪郭を描きます。
カージオイドは、半径 $a$ の円の外側を、同じ半径 $a$ の円が滑らずに転がるとき、動く円上の1点が描く軌跡です（外サイクロイドの特殊ケース）。
この幾何学的な生い立ちが、$r = a(1+\cos\theta)$ という美しい式を生み出しています。$\theta = \pi$ で $r = 0$ となる「尖点」は、動く円上の点がちょうど固定円と接する瞬間に対応します。
$r = a + b\cos\theta$（$a, b > 0$）の形の曲線をリマソン（パスカルの蝸牛形）といいます。$a$ と $b$ の比によって形状が変わります。
✗ 誤：$\displaystyle S = \int_0^{2\pi} \frac{1}{2}r^2\,d\theta$ で上下対称だから $\displaystyle = 2\int_0^{\pi}\frac{1}{2}r^2\,d\theta$ と正しく計算するが、$r^2$ の展開で $\cos^2\theta$ の処理を忘れる
○ 正：$r^2 = a^2(1+\cos\theta)^2 = a^2(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)$ で、$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を使う
カージオイドの面積は $S = \dfrac{3}{2}\pi a^2$ です。半倍角の公式を使う方法もあります。
カージオイドは音響工学で重要な曲線です。単一指向性マイクの感度パターンはカージオイドの形をしており、正面の音を最大感度で拾い、背面（$\theta = \pi$）の音を完全に拒否します。$r = a(1+\cos\theta)$ という式がまさにこの特性を表しています。
バラ曲線（ロドネア）は、極方程式の中でも特に美しい曲線です。花弁のような形を描きます。
$$r = a\sin n\theta \quad \text{または} \quad r = a\cos n\theta \quad (a > 0,\; n \text{は正の整数})$$
※ $\sin$ 型と $\cos$ 型は $\dfrac{\pi}{2n}$ だけ回転した関係にあります。
バラ曲線の最も興味深い性質は、$n$ の偶奇によって花弁の枚数が変わることです。
$n$ が奇数のとき：花弁は $n$ 枚。$\theta$ が $0$ から $\pi$ の範囲で全ての花弁が現れます。
$n$ が偶数のとき：花弁は $2n$ 枚。$\theta$ が $0$ から $2\pi$ の範囲が必要です。
この違いは、$n$ が奇数のとき $r = a\sin n(\theta + \pi) = -a\sin n\theta$（$r$ の符号が反転）となり、$r < 0$ の部分が $r > 0$ の部分と同じ花弁を描くためです。偶数のときは新たな花弁になります。
| $n$ | 花弁数 | $\theta$ の範囲 | 形状 |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $0 \le \theta \le \pi$ | 円（直径 $a$） |
| $2$ | $4$ | $0 \le \theta \le 2\pi$ | 四つ葉 |
| $3$ | $3$ | $0 \le \theta \le \pi$ | 三つ葉 |
| $4$ | $8$ | $0 \le \theta \le 2\pi$ | 八枚花弁 |
✗ 誤：$r = a\sin 2\theta$（四つ葉）の面積を $\displaystyle\int_0^{2\pi}\frac{1}{2}r^2\,d\theta$ とする → $r^2$ は常に非負なので全花弁の面積の2倍になる
○ 正：1枚分の花弁を $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}a^2\sin^2 2\theta\,d\theta$ で求め、4倍する
面積を求めるときは、まず $r \ge 0$ となる $\theta$ の範囲を特定し、花弁1枚分の積分を行うのが確実です。
$r = a\sin 2\theta$ は $\theta = 0$ で $r = 0$、$\theta = \pi/4$ で $r = a$（最大）、$\theta = \pi/2$ で $r = 0$ となります。この $0 \le \theta \le \pi/2$ が第1象限の花弁1枚に対応します。
1枚分の面積は：
$$S_1 = \int_0^{\pi/2}\frac{1}{2}a^2\sin^2 2\theta\,d\theta = \frac{a^2}{2}\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta = \frac{\pi a^2}{8}$$
4枚分の全面積は $S = 4 \times \dfrac{\pi a^2}{8} = \dfrac{\pi a^2}{2}$ です。
バラ曲線は、直交座標で $x = \sin n\theta \cdot \cos\theta$, $y = \sin n\theta \cdot \sin\theta$ と媒介変数表示できます。これは三角関数の積を含む曲線で、リサージュ図形と似た構造を持ちます。大学数学ではフーリエ級数の視覚的な例としても扱われます。
レムニスケート（連珠形）は $\infty$ の形をした曲線で、2つの焦点からの距離の積が一定という幾何学的条件から生まれます。
$$r^2 = a^2\cos 2\theta \quad \text{（ベルヌーイのレムニスケート）}$$
$$r^2 = a^2\sin 2\theta \quad \text{（$45°$ 回転したもの）}$$
※ $\cos 2\theta \ge 0$ となる $\theta$ の範囲でのみ曲線が存在します。$r^2 \ge 0$ より、$\cos 2\theta < 0$ の範囲では点がありません。
$r^2 = 2c^2\cos 2\theta$ のレムニスケートは、2点 $(\pm c, 0)$ からの距離の積が $c^2$ である点の軌跡です。
2点 $F_1(c,0)$, $F_2(-c,0)$ からの距離の積が $c^2$ となる点 $(x,y)$ の軌跡を求めます。
$$\sqrt{(x-c)^2+y^2}\cdot\sqrt{(x+c)^2+y^2} = c^2$$
両辺を2乗して展開すると：
$$\{(x^2+y^2) - 2cx + c^2\}\{(x^2+y^2) + 2cx + c^2\} = c^4$$
$$(x^2+y^2)^2 + 2c^2(x^2+y^2) + c^4 - 4c^2x^2 = c^4$$
$$(x^2+y^2)^2 = 2c^2(2x^2 - x^2 - y^2) = 2c^2(x^2 - y^2)$$
$r^2 = x^2+y^2$, $x^2 - y^2 = r^2\cos 2\theta$ を代入して $r^4 = 2c^2 r^2\cos 2\theta$、すなわち $r^2 = 2c^2\cos 2\theta$。
✗ 誤：$0 \le \theta \le 2\pi$ の全範囲で曲線が存在する
○ 正：$\cos 2\theta \ge 0$、すなわち $0 \le \theta \le \pi/4$ と $3\pi/4 \le \theta \le 5\pi/4$ と $7\pi/4 \le \theta \le 2\pi$ の範囲でのみ点が存在する
レムニスケートは全周にわたって存在するのではなく、$\infty$ 型の2つのループだけで構成されます。存在範囲の確認は面積計算の前提です。
$r^2 = a^2\cos 2\theta$ の全面積を求めます。曲線は原点に関して対称なので、第1象限のループ（$0 \le \theta \le \pi/4$）の面積を4倍します。
$$S = 4 \times \int_0^{\pi/4}\frac{1}{2}r^2\,d\theta = 4 \times \frac{a^2}{2}\int_0^{\pi/4}\cos 2\theta\,d\theta = 2a^2\left[\frac{\sin 2\theta}{2}\right]_0^{\pi/4} = a^2$$
面積が $a^2$ というきれいな値になるのは偶然ではありません。レムニスケート $r^2 = a^2\cos 2\theta$ の面積は、辺の長さ $a$ の正方形の面積と等しいのです。このような「面積の等価性」は、曲線の幾何学的な本質を反映しています。
楕円が「2点からの距離の和が一定」の軌跡であるのに対し、レムニスケートは「距離の積が一定」の軌跡です。この対応関係は大学数学のカッシニの卵形線という一般化につながります。距離の積の値を変えると、$\infty$ 型 → 卵型 → 分離した2つの閉曲線へと連続的に変形します。
極方程式の問題では、直交座標に変換して考えた方が見通しがよい場合と、逆に直交座標の式を極方程式に変換した方が簡潔になる場合があります。変換の基本公式を整理し、使い分けの指針を身に付けましょう。
極 → 直交：$x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$
直交 → 極：$r^2 = x^2 + y^2$, $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$
よく使う関係：$r\cos\theta = x$, $r\sin\theta = y$, $r^2 = x^2+y^2$
カージオイド $r = a(1+\cos\theta)$ を直交座標に変換してみましょう。両辺に $r$ をかけると：
$$r^2 = ar + ar\cos\theta$$
$$x^2 + y^2 = a\sqrt{x^2+y^2} + ax$$
このように直交座標では無理式を含む複雑な式になります。逆に言えば、極座標だからこそ $r = a(1+\cos\theta)$ という簡潔な式で表せるのです。
✗ 誤：$r = f(\theta)$ の両辺に $r$ を掛けて変換 → $r = 0$（原点）の情報が失われる可能性を無視
○ 正：$r = 0$ が元の曲線上の点かどうかを確認してから変換する
例えば $r = \sin\theta$ に $r$ を掛けて $r^2 = r\sin\theta$、すなわち $x^2+y^2 = y$ を得ますが、原点 $(r=0)$ は $\theta = 0$ で実現されるので情報は失われません。しかし一般には注意が必要です。
| 場面 | 適する座標 | 理由 |
|---|---|---|
| 原点中心の対称性がある曲線 | 極座標 | $r$ と $\theta$ の関係が簡潔 |
| 接線・法線の計算 | 直交座標 | 微分の計算が容易 |
| 曲線の囲む面積 | 状況による | 極座標の面積公式 $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$ が使える場合は極座標 |
| 2曲線の交点 | 直交座標 | 連立方程式の処理が標準的 |
$\displaystyle S = \frac{1}{2}\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$ は、微小扇形の面積 $\dfrac{1}{2}r^2\,d\theta$ を足し合わせたものです。これは直交座標の $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$（微小長方形の足し合わせ）の極座標版です。「短冊」から「扇形」への発想の転換が、この公式の本質です。
Q1. 中心 $(a,0)$、半径 $a$ で原点を通る円の極方程式は？
Q2. カージオイド $r = a(1+\cos\theta)$ で $r = 0$ となる $\theta$ の値は？
Q3. バラ曲線 $r = a\sin 3\theta$ の花弁の枚数は？
Q4. レムニスケート $r^2 = a^2\cos 2\theta$ の全面積は？
Q5. 極方程式 $r = 2\sin\theta$ を直交座標の方程式に変換すると？
次の極方程式を直交座標の方程式に変換し、どのような曲線か答えよ。
(1) $r = 4\cos\theta$
(2) $r\cos\theta = 3$
(3) $r = \dfrac{2}{1+\cos\theta}$
(1) 両辺に $r$ を掛けて $r^2 = 4r\cos\theta$、すなわち $x^2+y^2 = 4x$。整理して $(x-2)^2+y^2 = 4$。中心 $(2,0)$、半径 $2$ の円。
(2) $r\cos\theta = x$ より $x = 3$。$x$ 軸に垂直な直線 $x = 3$。
(3) $r(1+\cos\theta) = 2$ より $r + r\cos\theta = 2$、$\sqrt{x^2+y^2} + x = 2$、$\sqrt{x^2+y^2} = 2 - x$。両辺を2乗して $x^2+y^2 = 4-4x+x^2$、$y^2 = -4x+4 = -4(x-1)$。頂点 $(1,0)$、焦点が原点の放物線。
カージオイド $r = 2(1+\cos\theta)$ について、次の問いに答えよ。
(1) $r$ が最大となる $\theta$ と、そのときの $r$ の値を求めよ。
(2) この曲線で囲まれる面積を求めよ。
(1) $r = 2(1+\cos\theta)$ は $\cos\theta = 1$、すなわち $\theta = 0$ で最大値 $r = 4$ をとる。
(2) 曲線は始線に関して対称なので：
$$S = 2 \times \frac{1}{2}\int_0^{\pi} r^2\,d\theta = \int_0^{\pi}4(1+\cos\theta)^2\,d\theta$$
$$= 4\int_0^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)\,d\theta$$
$\cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を用いて：
$$= 4\int_0^{\pi}\left(\frac{3}{2} + 2\cos\theta + \frac{\cos 2\theta}{2}\right)d\theta$$
$$= 4\left[\frac{3}{2}\theta + 2\sin\theta + \frac{\sin 2\theta}{4}\right]_0^{\pi} = 4 \cdot \frac{3\pi}{2} = 6\pi$$
バラ曲線 $r = 2\cos 2\theta$ について、次の問いに答えよ。
(1) 花弁の枚数を答え、$r \ge 0$ となる $\theta$ の範囲を全て求めよ。
(2) 曲線で囲まれる全面積を求めよ。
(1) $n = 2$（偶数）なので花弁は $2n = 4$ 枚。
$r \ge 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta \ge 0 \Leftrightarrow -\dfrac{\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{4}$（$0 \le \theta < 2\pi$ では $0 \le \theta \le \dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{3\pi}{4} \le \theta \le \dfrac{5\pi}{4}$, $\dfrac{7\pi}{4} \le \theta < 2\pi$）
(2) 1枚分（$0 \le \theta \le \pi/4$）の面積：
$$S_1 = \frac{1}{2}\int_0^{\pi/4}4\cos^2 2\theta\,d\theta = 2\int_0^{\pi/4}\frac{1+\cos 4\theta}{2}\,d\theta = \left[\theta + \frac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4}$$
全面積 $S = 4S_1 = \pi$
カージオイド $r = a(1+\cos\theta)$ と円 $r = \dfrac{3a}{2}$ で囲まれる部分の面積を求めよ。
交点を求める。$a(1+\cos\theta) = \dfrac{3a}{2}$ より $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$、$\theta = \pm\dfrac{\pi}{3}$。
始線に関して対称なので、上半分（$0 \le \theta \le \pi$）の面積を2倍する。
$0 \le \theta \le \pi/3$ ではカージオイドの方が外側（$r_{\text{card}} \ge 3a/2$）。
$\pi/3 \le \theta \le \pi$ ではカージオイドの方が内側（$r_{\text{card}} \le 3a/2$）。
カージオイドの内部と円の内部の共通部分ではなく、2曲線で囲まれる領域を考える：
$$S = 2\left\{\frac{1}{2}\int_0^{\pi/3}\left[a^2(1+\cos\theta)^2 - \frac{9a^2}{4}\right]d\theta + \frac{1}{2}\int_{\pi/3}^{\pi}\left[\frac{9a^2}{4} - a^2(1+\cos\theta)^2\right]d\theta\right\}$$
各積分を計算すると（$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ を使用）：
$$\int_0^{\pi/3}(1+\cos\theta)^2\,d\theta = \int_0^{\pi/3}\left(\frac{3}{2}+2\cos\theta+\frac{\cos 2\theta}{2}\right)d\theta = \frac{\pi}{2} + \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{8} \cdot 2 = \frac{\pi}{2}+\frac{9\sqrt{3}}{8}$$
同様に計算を進めて：
$$S = \frac{9\sqrt{3}}{4}a^2 - \frac{7\pi}{4}a^2 + \frac{9\sqrt{3}}{4}a^2 = \left(\frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{7\pi}{4}\right)a^2$$
（計算の詳細は省略。対称性を活用し、各積分を丁寧に実行します。）
2曲線で囲まれる面積では、「どちらが外側か」を交点ごとに判定することが重要です。$\theta$ の値を1つ代入して大小を確認するのが確実です。積分計算自体は半角公式の反復練習で確実にしましょう。